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5.1: Funciones con valores vectoriales y curvas espaciales - Matemáticas

5.1: Funciones con valores vectoriales y curvas espaciales - Matemáticas


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Nuestro estudio de funciones con valores vectoriales combina ideas de nuestro examen anterior del cálculo de una sola variable con nuestra descripción de vectores en tres dimensiones del capítulo anterior. Estas definiciones y teoremas apoyan la presentación de material en el resto de este capítulo y también en los capítulos restantes del texto.

Definición de una función con valores vectoriales

Nuestro primer paso para estudiar el cálculo de funciones con valores vectoriales es definir qué es exactamente una función con valores vectoriales. Luego podemos mirar gráficos de funciones con valores vectoriales y ver cómo definen curvas en dos y tres dimensiones.

Definición: funciones con valores vectoriales

Una función con valores vectoriales es una función de la forma

[ vecs r (t) = f (t) , hat { mathbf {i}} + g (t) , hat { mathbf {j}} ; ; text {o} ; ; vecs r (t) = f (t) , hat { mathbf {i}} + g (t) , hat { mathbf {j}} + h (t) , hat { mathbf {k}}, ]

donde las funciones componentes (f ), (g ) y (h ), son funciones de valor real del parámetro (t ). Las funciones con valores vectoriales también se escriben en la forma

[ vecs r (t) = ⟨f (t), , g (t)⟩ ; ; text {o} ; ; vecs r (t) = ⟨f (t), , g (t), , h (t)⟩. ]

En ambos casos, la primera forma de la función define una función bidimensional con valores vectoriales; la segunda forma describe una función tridimensional con valores vectoriales.

El parámetro (t ) puede estar entre dos números reales: (a≤t≤b ). Otra posibilidad es que el valor de (t ) adopte todos los números reales. Por último, las funciones de los componentes en sí mismas pueden tener restricciones de dominio que imponen restricciones sobre el valor de (t ). A menudo usamos (t ) como parámetro porque (t ) puede representar el tiempo.

Ejemplo ( PageIndex {1} ): evaluación de funciones con valores vectoriales y determinación de dominios

Para cada una de las siguientes funciones con valores vectoriales, evalúe ( vecs r (0) ), ( vecs r ( frac { pi} {2}) ) y ( vecs r ( frac {2 pi} {3}) ). ¿Alguna de estas funciones tiene restricciones de dominio?

  1. ( vecs r (t) = 4 cos t , hat { mathbf {i}} + 3 sin t , hat { mathbf {j}} )
  2. ( vecs r (t) = 3 tan t , hat { mathbf {i}} + 4 sec t , hat { mathbf {j}} + 5t , hat { mathbf { k}} )

Solución

  1. Para calcular cada uno de los valores de la función, sustituya el valor apropiado de t en la función:

    begin {align *} vecs r (0) ; & = 4 cos (0) hat { mathbf {i}} + 3 sin (0) hat { mathbf {j}} [5pt] & = 4 hat { mathbf {i}} +0 hat { mathbf {j}} = 4 hat { mathbf {i}} [5pt] vecs r left ( frac { pi} {2} right) ; & = 4 cos left ( frac {π} {2} right) hat { mathbf {i}} + 3 sin left ( frac {π} {2} right) hat { mathbf {j}} [5pt] & = 0 hat { mathbf {i}} + 3 hat { mathbf {j}} = 3 hat { mathbf {j}} [5pt] vecs r left ( frac {2 pi} {3} right) ; & = 4 cos left ( frac {2π} {3} right) hat { mathbf {i}} + 3 sin left ( frac {2π} {3} right) hat { mathbf {j}} [5pt] & = 4 (- frac {1} {2}) hat { mathbf {i}} + 3 ( frac { sqrt {3}} {2}) hat { mathbf {j}} = - 2 hat { mathbf {i}} + frac {3 sqrt {3}} {2} hat { mathbf {j}} end {align *}

    Para determinar si esta función tiene restricciones de dominio, considere las funciones del componente por separado. La función del primer componente es (f (t) = 4 cos t ) y la función del segundo componente es (g (t) = 3 sin t ). Ninguna de estas funciones tiene una restricción de dominio, por lo que el dominio de ( vecs r (t) = 4 cos t , hat { mathbf {i}} + 3 sin t , hat { mathbf { j}} ) son todos números reales.
  2. Para calcular cada uno de los valores de la función, sustituya el valor apropiado de t en la función: [ begin {align *} vecs r (0) ; & = 3 tan (0) hat { mathbf {i}} + 4 sec (0) hat { mathbf {j}} + 5 (0) hat { mathbf {k}} [ 5pt] & = 0 hat { mathbf {i}} + 4j + 0 hat { mathbf {k}} = 4 hat { mathbf {j}} [5pt] vecs r left ( frac { pi} {2} derecha) ; & = 3 tan left ( frac { pi} {2} right) hat { mathbf {i}} + 4 sec left ( frac { pi} {2} right) hat { mathbf {j}} + 5 left ( frac { pi} {2} right) hat { mathbf {k}}, , text {que no existe} [5pt] vecs r left ( frac {2 pi} {3} right) ; & = 3 tan left ( frac {2 pi} {3} right) hat { mathbf {i}} + 4 sec left ( frac {2 pi} {3} right) hat { mathbf {j}} + 5 left ( frac {2 pi} {3} right) hat { mathbf {k}} [5pt] & = 3 (- sqrt {3 }) hat { mathbf {i}} + 4 (−2) hat { mathbf {j}} + frac {10π} {3} hat { mathbf {k}} [5pt] & = -3 sqrt {3}) hat { mathbf {i}} - 8 hat { mathbf {j}} + frac {10π} {3} hat { mathbf {k}} end { align *} ] Para determinar si esta función tiene restricciones de dominio, considere las funciones del componente por separado. La función del primer componente es (f (t) = 3 tan t ), la función del segundo componente es (g (t) = 4 sec t ) y la función del tercer componente es (h (t) = 5t ). Las dos primeras funciones no están definidas para múltiplos impares de ( frac { pi} {2} ), por lo que la función no está definida para múltiplos impares de ( frac { pi} {2} ). Por lo tanto, [ text {D} _ { vecs r} = {t , | , t ≠ frac {(2n + 1) pi} {2} }, nonumber ] donde ( n ) es cualquier número entero.

Ejercicio ( PageIndex {1} )

Para la función con valores vectoriales ( vecs r (t) = (t ^ 2−3t) , hat { mathbf {i}} + (4t + 1) , hat { mathbf {j}} ), evalúa ( vecs r (0), , vecs r (1) ) y ( vecs r (−4) ). ¿Esta función tiene restricciones de dominio?

Insinuación

Sustituye los valores apropiados de (t ) en la función.

Respuesta

( vecs r (0) = hat { mathbf {j}}, , vecs r (1) = - 2 hat { mathbf {i}} + 5 hat { mathbf {j}} , , vecs r (−4) = 28 hat { mathbf {i}} - 15 hat { mathbf {j}} )

El dominio de ( vecs r (t) = (t ^ 2−3t) hat { mathbf {i}} + (4t + 1) hat { mathbf {j}} ) son todos números reales.

El ejemplo ( PageIndex {1} ) ilustra un concepto importante. El dominio de una función con valores vectoriales consta de números reales. El dominio puede ser todos los números reales o un subconjunto de los números reales. El rango de una función con valores vectoriales consta de vectores. Cada número real en el dominio de una función con valores vectoriales se asigna a un vector bidimensional o tridimensional.

Graficar funciones con valores vectoriales

Recuerde que un vector plano consta de dos cantidades: dirección y magnitud. Dado cualquier punto del plano (el punto inicial), si nos movemos en una dirección determinada durante una distancia determinada, llegamos a un segundo punto. Esto representa el punto terminal del vector. Calculamos los componentes del vector restando las coordenadas del punto inicial de las coordenadas del punto terminal.

Se considera que un vector está en posición estándar si el punto inicial se encuentra en el origen. Al graficar una función con valores vectoriales, normalmente graficamos los vectores en el dominio de la función en la posición estándar, porque hacerlo garantiza la unicidad del gráfico. Esta convención se aplica también a los gráficos de funciones tridimensionales con valores vectoriales. La gráfica de una función con valores vectoriales de la forma

[ vecs r (t) = f (t) , hat { mathbf {i}} + g (t) , hat { mathbf {j}} nonumber ]

consiste en el conjunto de todos los puntos ((f (t), , g (t)) ), y la ruta que traza se llama curva plana. La gráfica de una función con valores vectoriales de la forma

[ vecs r (t) = f (t) , hat { mathbf {i}} + g (t) , hat { mathbf {j}} + h (t) , hat { mathbf {k}} nonumber ]

consta del conjunto de todos los puntos ((f (t), , g (t), , h (t)) ), y la ruta que traza se llama curva espacial. Cualquier representación de una curva plana o curva espacial que utilice una función con valores vectoriales se denomina parametrización vectorial de la curva.

Cada curva plana y curva espacial tiene un orientación, indicado por flechas dibujadas en la curva, que muestra la dirección del movimiento a lo largo de la curva a medida que aumenta el valor del parámetro (t ).

Ejemplo ( PageIndex {2} ): Graficar una función con valores vectoriales

Cree una gráfica de cada una de las siguientes funciones con valores vectoriales:

  1. La curva plana representada por ( vecs r (t) = 4 cos t , hat { mathbf {i}} + 3 sin t , hat { mathbf {j}} ), ( 0≤t≤2 pi )
  2. La curva plana representada por ( vecs r (t) = 4 cos (t ^ 3) , hat { mathbf {i}} + 3 sin (t ^ 3) , hat { mathbf { j}} ), (0≤t≤ sqrt [3] {2 pi} )
  3. La curva espacial representada por ( vecs r (t) = 4 cos t , hat { mathbf {i}} + 4 sin t , hat { mathbf {j}} + t , sombrero { mathbf {k}} ), (0≤t≤4 pi )

Solución

1. Como con cualquier gráfico, comenzamos con una tabla de valores. Luego graficamos cada uno de los vectores en la segunda columna de la tabla en posición estándar y conectamos los puntos terminales de cada vector para formar una curva (Figura ( PageIndex {1} )). Esta curva resulta ser una elipse centrada en el origen.

Tabla ( PageIndex {1} ): Tabla de valores para ( vecs r (t) = 4 cos t , hat { mathbf {i}} + 3 sin t , hat { mathbf {j}} ), (0≤t≤2 pi )
(t ) ( vecs r (t) ) (t ) ( vecs r (t) )
(0) (4 hat { mathbf {i}} )(Pi) (- 4 hat { mathbf {i}} )
( dfrac { pi} {4} ) (2 sqrt {2} hat { mathbf {i}} + frac {3 sqrt {2}} {2} hat { mathbf {j}} ) ( dfrac {5 pi} {4} ) (- 2 sqrt {2} hat { mathbf {i}} - frac {3 sqrt {2}} {2} hat { mathbf {j}} )
( dfrac { pi} {2} ) ( mathrm {3 hat { mathbf {j}}} ) ( dfrac {3 pi} {2} ) ( mathrm {-3 hat { mathbf {j}}} )
( dfrac {3 pi} {4} ) (-2 sqrt {2} hat { mathbf {i}} + frac {3 sqrt {2}} {2} hat { mathbf {j}} ) ( dfrac {7 pi} {4} ) (2 sqrt {2} hat { mathbf {i}} - frac {3 sqrt {2}} {2} hat { mathbf {j}} )
(2 pi ) (4 hat { mathbf {i}} )

2. La tabla de valores para ( vecs r (t) = 4 cos (t ^ 3) , hat { mathbf {i}} + 3 sin (t ^ 3) , hat { mathbf {j}} ), (0≤t≤ sqrt [3] {2 pi} ) es el siguiente:

Tabla de valores para ( vecs r (t) = 4 cos (t ^ 3) , hat { mathbf {i}} + 3 sin (t ^ 3) , hat { mathbf {j }} ), (0≤t≤ sqrt [3] {2 pi} )
(t ) ( vecs r (t) ) (t ) ( vecs r (t) )
(0) ( mathrm {4 hat { mathbf {i}}} ) ( Displaystyle sqrt [3] { pi} ) ( mathrm {-4 hat { mathbf {i}}} )
( Displaystyle sqrt [3] { dfrac { pi} {4}} ) ( mathrm {2 sqrt {2} hat { mathbf {i}} + frac {3 sqrt {2}} {2} hat { mathbf {j}}} ) ( Displaystyle sqrt [3] { dfrac {5 pi} {4}} ) ( mathrm {-2 sqrt {2} hat { mathbf {i}} - frac {3 sqrt {2}} {2} hat { mathbf {j}}} )
( Displaystyle sqrt [3] { dfrac { pi} {2}} ) ( mathrm {3 hat { mathbf {j}}} ) ( Displaystyle sqrt [3] { dfrac {3 pi} {2}} ) ( mathrm {-3 hat { mathbf {j}}} )
( Displaystyle sqrt [3] { dfrac {3 pi} {4}} ) ( mathrm {-2 sqrt {2} hat { mathbf {i}} + frac {3 sqrt {2}} {2} hat { mathbf {j}}} ) ( Displaystyle sqrt [3] { dfrac {7 pi} {4}} ) ( mathrm {2 sqrt {2} hat { mathbf {i}} - frac {3 sqrt {2}} {2} hat { mathbf {j}}} )
( Displaystyle sqrt [3] {2 pi} ) ( mathrm {4 hat { mathbf {i}}} )

El gráfico de esta curva también es una elipse centrada en el origen.

3. Seguimos el mismo procedimiento para una función vectorial tridimensional.

Tabla de valores para ( mathrm {r (t) = 4 cos t hat { mathbf {i}} + 4 sin t hat { mathbf {j}} + t hat { mathbf {k }}} ), ( mathrm {0≤t≤4 pi} )
(t ) ( vecs r (t) ) (t ) ( vecs r (t) )
( mathrm {0} ) ( mathrm {4 hat { mathbf {i}}} ) ( mathrm { pi} ) ( mathrm {-4 hat { mathbf {i}}} + pi hat { mathbf {k}} )
( dfrac { pi} {4} ) ( mathrm {2 sqrt {2} hat { mathbf {i}} + 2 sqrt {2} hat { mathbf {j}} + frac { pi} {4} hat { mathbf {k}}} ) ( dfrac {5 pi} {4} ) ( mathrm {-2 sqrt {2} hat { mathbf {i}} - 2 sqrt {2} hat { mathbf {j}} + frac {5 pi} {4} hat { mathbf {k}}} )
( dfrac { pi} {2} ) ( mathrm {4 hat { mathbf {j}} + frac { pi} {2} hat { mathbf {k}}} ) ( dfrac {3 pi} {2} ) ( mathrm {-4 hat { mathbf {j}} + frac {3 pi} {2} hat { mathbf {k}}} )
( dfrac {3 pi} {4} ) ( mathrm {-2 sqrt {2} hat { mathbf {i}} + 2 sqrt {2} hat { mathbf {j}} + frac {3 pi} {4} hat { mathbf {k}}} ) ( dfrac {7 pi} {4} ) ( mathrm {2 sqrt {2} hat { mathbf {i}} - 2 sqrt {2} hat { mathbf {j}} + frac {7 pi} {4} hat { mathbf {k}}} )
( mathrm {2 pi} ) ( mathrm {4 hat { mathbf {j}} + 2 pi hat { mathbf {k}}} )

Luego, los valores se repiten, excepto por el hecho de que el coeficiente de ( hat { mathbf {k}} ) siempre aumenta ( ( PageIndex {3} )). Esta curva se llama hélice. Observe que si se elimina el componente ( hat { mathbf {k}} ), entonces la función se convierte en ( vecs r (t) = 4 cos t hat { mathbf {i}} + 4 sin t hat { mathbf {j}} ), que es un círculo de radio 4 centrado en el origen.

Puede notar que las gráficas en las partes a. y B. Son identicos. Esto sucede porque la función que describe la curva b es lo que se denomina una reparametrización de la función que describe la curva a. De hecho, cualquier curva tiene un número infinito de reparametrizaciones; por ejemplo, podemos reemplazar (t ) con (2t ) en cualquiera de las tres curvas anteriores sin cambiar la forma de la curva. El intervalo sobre el que se define (t ) puede cambiar, pero eso es todo. Volveremos a esta idea más adelante en este capítulo cuando estudiemos la parametrización de la longitud del arco. Como se mencionó, el nombre de la forma de la curva del gráfico en ( PageIndex {3} ) es un hélice. La curva se asemeja a un resorte, con una sección transversal circular mirando hacia abajo a lo largo del eje (z ) -. También es posible que una hélice sea elíptica en sección transversal. Por ejemplo, la función con valores vectoriales ( vecs r (t) = 4 cos t , hat { mathbf {i}} + 3 sin t , hat { mathbf {j}} + t , hat { mathbf {k}} ) describe una hélice elíptica. La proyección de esta hélice en el plano (xy ) - es una elipse. Por último, las flechas en el gráfico de esta hélice indican la orientación de la curva a medida que (t ) progresa desde (0 ) a (4π ).

Ejercicio ( PageIndex {2} )

Cree una gráfica de la función con valores vectoriales ( vecs r (t) = (t ^ 2−1) hat { mathbf {i}} + (2t − 3) hat { mathbf {j}} ), (0≤t≤3 ).

Insinuación

Empiece por hacer una tabla de valores, luego grafique los vectores para cada valor de (t ).

Respuesta

En este punto, puede notar una similitud entre las funciones con valores vectoriales y las curvas parametrizadas. De hecho, dada una función con valores vectoriales ( vecs r (t) = f (t) , hat { mathbf {i}} + g (t) , hat { mathbf {j}} ) podemos definir (x = f (t) ) y (y = g (t) ). Si existe una restricción en los valores de (t ) (por ejemplo, (t ) está restringido al intervalo ([a, b] ) para algunas constantes (a

Límites y continuidad de una función con valores vectoriales

Ahora echamos un vistazo al límite de una función con valores vectoriales. Es importante comprender esto para estudiar el cálculo de funciones con valores vectoriales.

Definición: límite de una función con valores vectoriales

Una función con valores vectoriales ( vecs r ) se acerca al límite ( vecs L ) cuando (t ) se acerca a (a ), escrito

[ lim limits_ {t to a} vecs r (t) = vecs L, ]

previsto

[ lim limits_ {t to a} big | vecs r (t) - vecs L big | = 0. ]

Ésta es una definición rigurosa del límite de una función con valores vectoriales. En la práctica, utilizamos el siguiente teorema:

Teorema: límite de una función con valores vectoriales

Sea (f ), (g ), y (h ) ser funciones de (t ). Entonces el límite de la función con valores vectoriales ( vecs r (t) = f (t) hat { mathbf {i}} + g (t) hat { mathbf {j}} ) como t enfoques a es dado por

[ lim limits_ {t to a} vecs r (t) = [ lim limits_ {t to a} f (t)] hat { mathbf {i}} + [ lim limits_ {t to a} g (t)] hat { mathbf {j}}, label {Th1} ]

siempre que existan los límites ( lim limits_ {t to a} f (t) ) y ( lim limits_ {t to a} g (t) ).

De manera similar, el límite de la función con valores vectoriales ( vecs r (t) = f (t) hat { mathbf {i}} + g (t) hat { mathbf {j}} + h (t ) hat { mathbf {k}} ) cuando (t ) se acerca a (a ) viene dado por

[ lim limits_ {t to a} vecs r (t) = [ lim limits_ {t to a} f (t)] hat { mathbf {i}} + [ lim limits_ {t to a} g (t)] hat { mathbf {j}} + [ lim limits_ {t to a} h (t)] hat { mathbf {k}}, label { Th2} ]

siempre que los límites ( lim limits_ {t to a} f (t) ), ( lim limits_ {t to a} g (t) ) y ( lim limits_ {t a} h (t) ) existen.

En el siguiente ejemplo, mostramos cómo calcular el límite de una función con valores vectoriales.

Ejemplo ( PageIndex {3} ): Evaluación del límite de una función con valores vectoriales

Para cada una de las siguientes funciones con valores vectoriales, calcule ( lim limits_ {t to 3} vecs r (t) ) para

  1. ( vecs r (t) = (t ^ 2−3t + 4) hat { mathbf {i}} + (4t + 3) hat { mathbf {j}} )
  2. ( vecs r (t) = frac {2t − 4} {t + 1} hat { mathbf {i}} + frac {t} {t ^ 2 + 1} hat { mathbf {j }} + (4t − 3) hat { mathbf {k}} )

Solución

  1. Utilice la ecuación ref {Th1} y sustituya el valor (t = 3 ) en las dos expresiones componentes:

[ begin {align *} lim limits_ {t to 3} vecs r (t) ; & = lim limits_ {t to 3} [(t ^ 2−3t + 4) hat { mathbf {i}} + (4t + 3) hat { mathbf {j}}] [ 5pt] & = [ lim limits_ {t to 3} (t ^ 2−3t + 4)] hat { mathbf {i}} + [ lim limits_ {t to 3} (4t + 3 )] hat { mathbf {j}} [5pt] & = 4 hat { mathbf {i}} + 15 hat { mathbf {j}} end {align *} ]

  1. Utilice la Ecuación ref {Th2} y sustituya el valor (t = 3 ) en las tres expresiones componentes:

[ begin {align *} lim limits_ {t to 3} vecs r (t) ; & = lim limits_ {t to 3} ( dfrac {2t − 4} {t + 1} hat { mathbf {i}} + dfrac {t} {t ^ 2 + 1} hat { mathbf {j}} + (4t − 3) hat { mathbf {k}}) [5pt] & = [ lim limits_ {t to 3} ( dfrac {2t − 4} {t +1})] hat { mathbf {i}} + [ lim limits_ {t to 3} ( dfrac {t} {t ^ 2 + 1})] hat { mathbf {j}} [ lim limits_ {t to 3} (4t − 3)] hat { mathbf {k}} [5pt] & = dfrac {1} {2} hat { mathbf {i}} + dfrac {3} {10} hat { mathbf {j}} + 9 hat { mathbf {k}} end {align *} ]

Ejercicio ( PageIndex {3} )

Calcule ( lim limits_ {t to 2} vecs r (t) ) para la función ( vecs r (t) = sqrt {t ^ 2 + 3t - 1} , hat { mathbf {i}} - (4t-3) hat { mathbf {j}} - sin frac {(t + 1) pi} {2} hat { mathbf {k}} )

Insinuación

Utilice la ecuación ref {Th2} del teorema anterior.

Respuesta

[ lim limits_ {t to 2} vecs r (t) = 3 hat { mathbf {i}} - 5 hat { mathbf {j}} + hat { mathbf {k}} ]

Ahora que sabemos cómo calcular el límite de una función con valores vectoriales, podemos definir continuidad en un punto para tal función.

Definiciones

Sea (f ), (g ), y (h ) ser funciones de (t ). Entonces, la función con valores vectoriales ( vecs r (t) = f (t) hat { mathbf {i}} + g (t) hat { mathbf {j}} ) es continuo en el punto (t = a ) si se cumplen las siguientes tres condiciones:

  1. ( vecs r (a) ) existe
  2. ( lim limits_ {t to a} vecs r (t) ) existe
  3. ( lim limits_ {t to a} vecs r (t) = vecs r (a) )

De manera similar, la función con valores vectoriales ( vecs r (t) = f (t) hat { mathbf {i}} + g (t) hat { mathbf {j}} + h (t) hat { mathbf {k}} ) es continuo en el punto (t = a ) si se cumplen las siguientes tres condiciones:

  1. ( vecs r (a) ) existe
  2. ( lim limits_ {t to a} vecs r (t) ) existe
  3. ( lim limits_ {t to a} vecs r (t) = vecs r (a) )

Resumen

  • Una función con valores vectoriales es una función de la forma ( vecs r (t) = f (t) hat { mathbf {i}} + g (t) hat { mathbf {j}} ) o ( vecs r (t) = f (t) hat { mathbf {i}} + g (t) hat { mathbf {j}} + h (t) hat { mathbf {k}} ), donde el componente funciona (f ), (g ), y (h ) son funciones de valor real del parámetro (t ).
  • La gráfica de una función con valores vectoriales de la forma ( vecs r (t) = f (t) hat { mathbf {i}} + g (t) hat { mathbf {j}} ) es llamado a curva plana. La gráfica de una función con valores vectoriales de la forma ( vecs r (t) = f (t) hat { mathbf {i}} + g (t) hat { mathbf {j}} + h ( t) hat { mathbf {k}} ) se llama curva espacial.
  • Es posible representar una curva plana arbitraria mediante una función de valor vectorial.
  • Para calcular el límite de una función con valores vectoriales, calcule los límites de las funciones componentes por separado.

Ecuaciones clave

  • Función de valor vectorial
    ( vecs r (t) = f (t) hat { mathbf {i}} + g (t) hat { mathbf {j}} ) o ( vecs r (t) = f ( t) hat { mathbf {i}} + g (t) hat { mathbf {j}} + h (t) hat { mathbf {k}} ), o ( vecs r (t ) = ⟨F (t), g (t)⟩ ) o ( vecs r (t) = ⟨f (t), g (t), h (t)⟩ )
  • Límite de una función con valores vectoriales
    ( lim limits_ {t to a} vecs r (t) = [ lim limits_ {t to a} f (t)] hat { mathbf {i}} + [ lim limits_ {t to a} g (t)] hat { mathbf {j}} ) o ( lim limits_ {t to a} vecs r (t) = [ lim limits_ {t to a} f (t)] hat { mathbf {i}} + [ lim limits_ {t to a} g (t)] hat { mathbf {j}} + [ lim limits_ { t to a} h (t)] hat { mathbf {k}} )

Glosario

funciones de componentes
las funciones componentes de la función con valores vectoriales ( vecs r (t) = f (t) hat { mathbf {i}} + g (t) hat { mathbf {j}} ) son ( f (t) ) y (g (t) ), y las funciones componentes de la función con valores vectoriales ( vecs r (t) = f (t) hat { mathbf {i}} + g (t) hat { mathbf {j}} + h (t) hat { mathbf {k}} ) are (f (t) ), (g (t) ) y (h (t) )
hélice
una curva tridimensional en forma de espiral
límite de una función con valores vectoriales
una función con valores vectoriales ( vecs r (t) ) tiene un límite ( vecs L ) cuando (t ) se acerca a (a ) si ( lim limits {t to a} izquierda | vecs r (t) - vecs L derecha | = 0 )
curva plana
el conjunto de pares ordenados ((f (t), g (t)) ) junto con sus ecuaciones paramétricas definitorias (x = f (t) ) y (y = g (t) )
reparametrización
una parametrización alternativa de una función determinada con valores vectoriales
curva espacial
el conjunto de triples ordenados ((f (t), g (t), h (t)) ) junto con sus ecuaciones paramétricas definitorias (x = f (t) ), (y = g (t) ) y (z = h (t) )
parametrización vectorial
cualquier representación de un plano o curva espacial usando una función con valores vectoriales
función de valor vectorial
una función de la forma ( vecs r (t) = f (t) hat { mathbf {i}} + g (t) hat { mathbf {j}} ) o ( vecs r ( t) = f (t) hat { mathbf {i}} + g (t) hat { mathbf {j}} + h (t) hat { mathbf {k}} ), donde el componente funciones (f ), (g ), y (h ) son funciones de valor real del parámetro (t ).


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