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11.4: Aplicaciones - Matemáticas

11.4: Aplicaciones - Matemáticas



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En las secciones anteriores sobre aplicaciones, vimos situaciones en las que se utilizó la trigonometría del triángulo rectángulo para encontrar distancias y ángulos. En esta sección, usaremos la Ley de los senos y la Ley de los cosenos para encontrar distancias y ángulos.

Ejemplo ( PageIndex {1} )

Un automóvil viaja por una carretera recta, se dirige hacia el oeste durante 1 hora y luego viaja por otra carretera recta hacia el noroeste durante media hora. Si la velocidad del automóvil era constante de 50 mph, ¿a qué distancia está el automóvil de su punto de partida?

Solución

Primero, dibujemos un diagrama:

En la imagen de arriba, conocemos los ángulos (45 ^ { circ} ) y (135 ^ { circ} ) debido a la dirección en la que viajaba el automóvil. La dirección noroeste corta exactamente a la mitad entre el norte y el oeste creando un ángulo (45 ^ { circ} ). En el otro lado de este ángulo (45 ^ { circ} ) hay un ángulo (135 ^ { circ} ) que está en el triángulo que usaremos para responder la pregunta (triángulo (ABC ) ).

La longitud de ( overline {A B} ) es de 50 millas y la longitud de ( overline {B C} ) es de 25 millas. Esto proviene de la información sobre la velocidad y el tiempo de viaje que se proporciona en el problema. Entonces, el triángulo que necesitamos para responder la pregunta se muestra a continuación:

Podemos usar la Ley de los cosenos para resolver este problema:
[ begin {array} {c}
b ^ {2} = a ^ {2} + c ^ {2} -2 a c cos B
b ^ {2} = 25 ^ {2} + 50 ^ {2} -2 * 25 * 50 * cos 135 ^ { circ}
b ^ {2} aproximadamente 625 + 2500-2500 * (- 0,7071)
b ^ {2} aproximadamente 3125 + 1767.75
b ^ {2} aproximadamente 4892,75
b approx 69.9 mathrm {millas}
end {matriz}
]

Ejemplo ( PageIndex {2} )

Un piloto vuela un avión en línea recta durante 2,5 horas y luego hace una corrección de rumbo, dirigiéndose (10 ​​^ { circ} ) a la izquierda del rumbo original. Luego, el piloto vuela en esta dirección durante 1 hora. Si la rapidez del avión es constante (350 mathrm {mph} ), ¿qué tan lejos está el avión de su posición inicial?

Solución

Nuevamente, comenzaremos haciendo un diagrama:

En este problema, trabajaremos con el triángulo (A B C ), que se muestra a continuación. Podemos calcular las longitudes de ( overline {A B} ) y ( overline {B C} ) a partir de la información proporcionada en el problema y usar esto para calcular la longitud de ( overline {A C} ):

Usando la ley de los cosenos:
[ begin {array} {c}
b ^ {2} = a ^ {2} + c ^ {2} -2 a c cos B
b ^ {2} = 350 ^ {2} + 875 ^ {2} -2 * 350 * 1050 * cos 170 ^ { circ}
b ^ {2} aproximadamente 122,500 + 765,625-735,000 * (- 0.9848)
b ^ {2} aproximadamente 888,125 + 723,828
b ^ {2} aproximadamente 1,611,953
b approx 1270 mathrm {millas}
end {matriz}
]

Ejemplo ( PageIndex {3} )

Un piloto sale del aeropuerto de Bend, se dirige hacia Corvallis con el rumbo (N 70 ^ { circ} W. ) Recorre las 103 millas y hace una entrega antes de despegar y volar con un rumbo de (N 25 ^ { circ} E ) durante 72 millas para llegar a Portland.

a) Con base en esta información, encuentre la distancia aérea entre Portland y Bend.
b) Encuentre el rumbo de Portland a Bend.

Solución

En este problema, se ha proporcionado un diagrama. Enmendaremos esto para convertirlo en un triángulo:

Completar las medidas de los ángulos es complicado en este problema, así que veamos el diagrama original nuevamente:

Si extendemos la línea discontinua hacia el este desde Corvallis de modo que se encuentre con la línea discontinua
corriendo hacia el norte desde Bend, podemos crear un triángulo que nos muestre que el ángulo ( angle BCX = 20 ^ { circ}. ) Además, observe que ( angle PCX = left (90 ^ { circ} -25 ^ { circ} right) = 65 ^ { circ} )

Esto significa que ( angle BCP = 85 ^ { circ}. ) Sabemos por el problema que ( overline {BC} = 103 ) y ( overline {CP} = 72. ) We ' Necesitaré encontrar la longitud de ( overline {BP} ) y la medida de ( angle CPB ) para responder las preguntas.

Ahora estamos trabajando con un triángulo como el que se muestra arriba, por lo que podemos usar la Ley de los cosenos para encontrar la distancia aérea de Portland a Bend:
[ begin {array} {c}
c ^ {2} = b ^ {2} + p ^ {2} -2 b p cos C
c ^ {2} = 72 ^ {2} + 103 ^ {2} -2 * 72 * 103 * cos 85 ^ { circ}
c ^ {2} approx 5184 + 10,609-14,832 * (0.087156)
c ^ {2} aproximadamente 15,793-1292.7
c ^ {2} aproximadamente 14,500.3
c approx 120.4 text {millas}
end {matriz}
]

Para encontrar ( angle P, ) usaremos la Ley de los senos:

[ begin {array} {c}
frac { sin 85 ^ { circ}} {120.4} = frac { sin P} {103}
103 * frac { sin 85 ^ { circ}} {120.4} = sin P
103 * frac {0.9962} {120.4} approx sin P
0.85223 aprox sin P
58,4 ^ { circ} aprox P
end {matriz}
]

Ahora que conocemos la medida de ( angle P ), podemos determinar el rumbo de Bend desde Portland.

En la imagen de abajo, observe que ( angle YPC = 25 ^ { circ}. ) Esto significa que el rumbo de Portland a Bend estará al este del sur por la diferencia entre ( angle P = 58.4 ^ { circ } ) y ( angle YPC = 25 ^ { circ}. ) Esto hace que el rumbo de Bend desde Portland sea igual a (S 33.4 ^ { circ} E )

Ejemplo ( PageIndex {4} )

Una torre de 125 pies está ubicada en la ladera de una montaña que está inclinada (32 ^ { circ} ) a la horizontal. Se debe sujetar un cable de sujeción a la parte superior de la torre y anclarlo en un punto a 55 pies cuesta abajo desde la base de la torre. Encuentre la longitud más corta de cable necesaria.

Solución

Un aspecto importante para resolver este problema es identificar un triángulo en el problema que involucra la cantidad desconocida que se nos pide que encontremos. Si estamos buscando la longitud del cable de sujeción, podemos usar un triángulo que involucre el cable, la distancia desde el cable al centro de la torre y la altura de la torre:

El ángulo entre la horizontal y la colina permanecerá (32 ^ { circ} ) en cualquier punto de la colina. Si dejamos caer una perpendicular a la horizontal, podremos encontrar el ángulo incluido entre los dos lados dados.

En el pequeño triángulo rectángulo, conocemos el ángulo de 32 '. Eso significa que el otro ángulo agudo debe ser (58 ^ { circ} ), y el ángulo suplementario (que está en el triángulo que nos interesa () ) será (122 ^ { circ} )

Ahora podemos usar la Ley de los cosenos para encontrar la longitud del cable de sujeción:

[ begin {array} {c}
x ^ {2} = 125 ^ {2} + 55 ^ {2} -2 * 125 * 55 * cos 122 ^ { circ}
x ^ {2} = 15,625 + 3025-13,750 * cos 122 ^ { circ}
x ^ {2} aproximadamente 18,650 + 7286.39
x ^ {2} aproximadamente 25,936.39
x approx 161 text {pies}
end {matriz}
]

Ejercicios

1. Dos caminos rectos divergen en un ángulo de (50 ^ { circ} ). Dos autos salen de la intersección en (1 mathrm {pm}, ) uno viajando (60 mathrm {mph} ) y el otro viajando (45 mathrm {mph} ). ¿A qué distancia están los coches (en línea recta) en (1: 30 mathrm {pm}? )
2. Dos barcos salen del mismo puerto al mismo tiempo. Uno viaja a una velocidad de
(40 mathrm {mph} ) en la dirección (N 30 ^ { circ} E ) y el otro viaja a una velocidad de 28 mph en la dirección (S 75 ^ { circ} E. ) ¿A qué distancia están los dos barcos después de una hora?

3. El aeropuerto en Desert Junction está a 350 millas del aeropuerto en Valley Center en un rumbo de (N 57 ^ { circ} E. ) Un piloto que quiere volar desde Valley Center a Desert Junction vuela por error hacia el este en 225 mph durante 30 minutos antes de corregir el error. ¿Qué tan lejos está el avión de su destino cuando el piloto nota el error? ¿Qué rumbo debería utilizar el avión para llegar a Desert Junction?

4. Un avión sale del aeropuerto (A ) y viaja 520 millas hasta el aeropuerto (B ) con un rumbo de (N 35 ^ { circ} W. ) El avión sale del aeropuerto (B ) y viaja al aeropuerto (C 310 ) millas de distancia en un rumbo de (S 65 ^ { circ} W ) desde el aeropuerto (B. ) Encuentre la distancia desde el aeropuerto (A ) al aeropuerto (C. )

5. Dos aviones despegan al mismo tiempo de un aeropuerto. El primer avión vuela a 300 mph con un rumbo de (S 45 ^ { circ} E. ) El segundo avión vuela con un rumbo de (S 5 ^ { circ} W ) con una rapidez de 330 mph. ¿A qué distancia están después de 3 horas?

6. Dos aviones salen de un aeropuerto al mismo tiempo. Sus velocidades son (180 mathrm {mph} ) y (110 mathrm {mph}, ) y el ángulo entre sus trayectorias de vuelo es (43 ^ { circ}. ) ¿Qué tan lejos están después 2,5 horas?

7. Dos barcos salen de la entrada del puerto al mismo tiempo. El primero viaja a una velocidad de 23 mph y el segundo viaja a 17 mph. Si el ángulo entre los rumbos de los barcos es (110 ^ { circ}, ) ¿a qué distancia están después de una hora?

8. Un barco sale de la entrada de un puerto y viaja 15 millas con un oso ( operatorname {ing} S 10 ^ { circ} W, ) luego gira y viaja 45 millas con un rumbo de (N 43 ^ { circ} W. ) ¿A qué distancia de la entrada del puerto está el barco y cuál es el rumbo del barco desde el puerto?

9. Una montaña empinada está inclinada (77 ^ { circ} ) a la horizontal y se eleva 3000 pies sobre la llanura circundante. Se instalará un teleférico que conectará la llanura con la cima de la montaña. La distancia desde el pie de la montaña hasta el área de carga de entrada del teleférico es de 1200 pies (vea el diagrama a continuación). Encuentre la longitud más corta necesaria del cable.

10. Un árbol en la ladera de una colina proyecta una sombra (208 mathrm {ft} ) colina abajo. Si el ángulo de inclinación de la ladera es (25 ^ { circ} ) a la horizontal y el ángulo de elevación del ( operatorname {sun} ) es (51 ^ { circ}, ) encuentra la altura del árbol.


MAT 112 Matemáticas antiguas y contemporáneas

En lugar de usar base (10 ​​) o base (2 text <,> ) podemos usar cualquier otro número natural (b & gt1 ) como base. Para representar cualquier número en base (b text <,> ) debemos especificar (b ) símbolos únicos que representan los valores (b ) desde (0 ) a (b-1 text < .> ) Esos símbolos son los primeros (b ) símbolos de la lista

En el video de la Figura 11.4.1, introduzca los números representados en bases distintas de (2 ) y (10 ​​ text <.> ) A continuación se proporcionan más detalles.

La tabla 11.4.2 proporciona varios números escritos en base 2, 3, 8, 10, 12 y 16, así como en inglés y francés. Al contar en algunos idiomas, hay algunas irregularidades en las palabras que representan números, y muchas de esas irregularidades se originan en el uso tradicional de otros sistemas numéricos. En inglés, los números 11 y 12 no siguen el patrón de los otros números entre 10 y 20. En francés, los números del 11 al 16 siguen un patrón diferente que los números del 17 al 19, y los números del 30 al 79 siguen un patrón diferente. patrón que los números del 80 al 99.

inglés francés binario ternario octal decimal docenales hexadecimal
(base 2) (base 3) (base 8) (base 10) (base 12) (base 16)
cero cero ( mathrm <0> _2 ) ( mathrm <0> _3 ) ( mathrm <0> _8 ) ( mathrm <0> ) ( mathrm <0> _ <12> ) ( mathrm <0> _ <16> )
uno Naciones Unidas ( mathrm <1> _2 ) ( mathrm <1> _3 ) ( mathrm <1> _8 ) ( mathrm <1> ) ( mathrm <1> _ <12> ) ( mathrm <1> _ <16> )
dos deux ( mathrm <10> _2 ) ( mathrm <2> _3 ) ( mathrm <2> _8 ) ( mathrm <2> ) ( mathrm <2> _ <12> ) ( mathrm <2> _ <16> )
Tres trois ( mathrm <11> _2 ) ( mathrm <10> _3 ) ( mathrm <3> _8 ) ( mathrm <3> ) ( mathrm <3> _ <12> ) ( mathrm <3> _ <16> )
cuatro quatre ( mathrm <100> _2 ) ( mathrm <11> _3 ) ( mathrm <4> _8 ) ( mathrm <4> ) ( mathrm <4> _ <12> ) ( mathrm <4> _ <16> )
cinco cinq ( mathrm <101> _2 ) ( mathrm <12> _3 ) ( mathrm <5> _8 ) ( mathrm <5> ) ( mathrm <5> _ <12> ) ( mathrm <5> _ <16> )
seis seis ( mathrm <110> _2 ) ( mathrm <20> _3 ) ( mathrm <6> _8 ) ( mathrm <6> ) ( mathrm <6> _ <12> ) ( mathrm <6> _ <16> )
Siete sept ( mathrm <111> _2 ) ( mathrm <21> _3 ) ( mathrm <7> _8 ) ( mathrm <7> ) ( mathrm <7> _ <12> ) ( mathrm <7> _ <16> )
ocho huit ( mathrm <1000> _2 ) ( mathrm <22> _3 ) ( mathrm <10> _8 ) ( mathrm <8> ) ( mathrm <8> _ <12> ) ( mathrm <8> _ <16> )
nueve neuf ( mathrm <1001> _2 ) ( mathrm <100> _3 ) ( mathrm <11> _8 ) ( mathrm <9> ) ( mathrm <9> _ <12> ) ( mathrm <9> _ <16> )
diez dix ( mathrm <1010> _2 ) ( mathrm <101> _3 ) ( mathrm <12> _8 ) ( mathrm <10> ) ( mathrm_ <12> ) ( mathrm_ <16> )
once onze ( mathrm <1011> _2 ) ( mathrm <102> _3 ) ( mathrm <13> _8 ) ( mathrm <11> ) ( mathrm_<12>) ( mathrm_<16>)
doce douze ( mathrm <1100> _2 ) ( mathrm <110> _3 ) ( mathrm <14> _8 ) ( mathrm <12> ) ( mathrm <10> _ <12> ) ( mathrm_<16>)
trece treize ( mathrm <1101> _2 ) ( mathrm <111> _3 ) ( mathrm <15> _8 ) ( mathrm <13> ) ( mathrm <11> _ <12> ) ( mathrm_<16>)
catorce quatorze ( mathrm <1110> _2 ) ( mathrm <112> _3 ) ( mathrm <16> _8 ) ( mathrm <14> ) ( mathrm <12> _ <12> ) ( mathrm_<16>)
quince quinze ( mathrm <1111> _2 ) ( mathrm <120> _3 ) ( mathrm <17> _8 ) ( mathrm <15> ) ( mathrm <13> _ <12> ) ( mathrm_<16>)
dieciséis aprovechar ( mathrm <10000> _2 ) ( mathrm <121> _3 ) ( mathrm <20> _8 ) ( mathrm <16> ) ( mathrm <14> _ <12> ) ( mathrm <10> _ <16> )
diecisiete dixsept ( mathrm <10001> _2 ) ( mathrm <122> _3 ) ( mathrm <21> _8 ) ( mathrm <17> ) ( mathrm <15> _ <12> ) ( mathrm <11> _ <16> )
veinte vingt ( mathrm <10100> _2 ) ( mathrm <202> _3 ) ( mathrm <24> _8 ) ( mathrm <20> ) ( mathrm <18> _ <12> ) ( mathrm <14> _ <16> )
sesenta soixante ( mathrm <111100> _2 ) ( mathrm <2020> _3 ) ( mathrm <74> _8 ) ( mathrm <60> ) ( mathrm <50> _ <12> ) ( mathrm <3C> _ <16> )
ochenta quatrevingt ( mathrm <1010000> _2 ) ( mathrm <2222> _3 ) ( mathrm <120> _8 ) ( mathrm <80> ) ( mathrm <68> _ <12> ) ( mathrm <50> _ <16> )
noventa quatrevingt-dix ( mathrm <1011010> _2 ) ( mathrm <10100> _3 ) ( mathrm <132> _8 ) ( mathrm <90> ) ( mathrm <76> _ <12> ) ( mathrm <5A> _ <16> )
centenar centavo ( mathrm <1100100> _2 ) ( mathrm <10201> _3 ) ( mathrm <144> _8 ) ( mathrm <100> ) ( mathrm <84> _ <12> ) ( mathrm <64> _ <16> )
Tabla 11.4.2. Números seleccionados en inglés, francés y bases 2, 3, 8, 10, 12, 16

Generalizamos la expansión decimal (base 10) a otras bases de la siguiente manera. Sea (b in N ) con (b & gt1 text <.> ) Podemos escribir cualquier número (a in N ) con (a lt b ^ n ) en la forma

donde (n ) es el número de dígitos en la representación (b ) base de (a ) y (0 le r_i lt b ) para (i in <0, dots , n-1 > text <.> )

Para escribir el número (a ) en base (b text <,> ) extraemos los coeficientes (r_0 ) a (r_) de la notación expandida. Para distinguir números en diferentes bases, agregamos un subíndice (b ) al número en la base (b ) if (b ne 10 text <.> ) Entonces, el número (a ) de arriba se escribiría como

en base (b text <.> ) En la tabla 11.4.3 y la tabla 11.4.4 damos ejemplos de números en base (7 ) y base (16 ) con sus dígitos, expansiones y números en base (10 ​​ text <.> )

(a ) en base (7 ) dígitos de (a ) base (7 ) expansión de (a ) (a ) en
base (7 ) (7^3) (7^2) (7^1) (7^0) base 10
(1_7) (1) (1 cdot 1 ) (1)
(10_7) (1) (0) (1 cdot 7 + 0 cdot 1 ) (7)
(100_7) (1) (0) (0) (1 cdot 7 ^ 2 + 0 cdot 7 + 0 cdot 1 ) (49)
(200_7) (2) (0) (0) (2 cdot 7 ^ 2 + 0 cdot 7 + 0 cdot 1 ) (98)
(6200_7) (6) (2) (0) (0) (6 cdot 7 ^ 3 + 2 cdot 7 ^ 2 + 0 cdot 7 + 0 cdot 1 ) (341)
Tabla 11.4.3. Números en base (7 text <,> ) su base (7 ) dígitos, su base (7 ) expansión y en base (10 ​​ text <.> ) El (7 ) los dígitos usados ​​en los números base (7 ) son (0 text <,> ) (1 text <,> ) (2 text <,> ) (3 text <,> ) (4 text <,> ) (5 text <,> ) y (6 text <.> )
(a ) en base 16 dígitos de (a ) base (16 ) expansión de (a ) (a ) en
base (16 ) (16^3) (16^2) (16^1) (16^0) base 10
(1_<16>) (1) (1 cdot 1 ) (1)
( mathrm_<16>) ( mathrm) (12 cdot 1 ) (12)
(10_<16>) (1) (0) (1 cdot 16 + 0 cdot 1 ) (16)
( mathrm0_ <16> ) ( mathrm ) (0) (10 ​​ cdot 16 + 0 cdot 1 ) (160)
( mathrm_<16>) ( mathrm) ( mathrm) (15 cdot 16 + 15 cdot 1 ) (255)
(100_<16>) (1) (0) (0) (1 cdot 16 ^ 2 + 0 cdot 16 + 0 cdot 1 ) (256)
(200_<16>) (2) (0) (0) (2 cdot 16 ^ 2 + 0 cdot 16 + 0 cdot 1 ) (512)
(6 mathrm00_<16>) (6) ( mathrm) (0) (0) (6 cdot 16 ^ 3 + 11 cdot 16 ^ 2 + 0 cdot 16 + 0 cdot 1 ) (27392)
Tabla 11.4.4. Números hexadecimales (base (16 )), su base (16 ) dígitos, su base (16 ) expansión y en base (10 ​​ text <.> ) Los (16 ) símbolos utilizados en números hexadecimales son (0 text <,> ) (1 text <,> ) (2 text <,> ) (3 text <,> ) (4 text < ,> ) (5 text <,> ) (6 text <,> ) (7 text <,> ) (8 text <,> ) (9 text < ,> ) ( mathrm text <,> ) ( mathrm text <,> ) ( mathrm text <,> ) ( mathrm text <,> ) ( mathrm text <,> ) y ( mathrm text <.> ) Tenemos ( mathrm_ <16> = 10 text <,> ) ( mathrm_ <16> = 11 text <,> ) ( mathrm_ <16> = 12 text <,> ) ( mathrm_ <16> = 13 text <,> ) ( mathrm_ <16> = 14 text <,> ) y ( mathrm_ <16> = 15 texto <.> )

Calculamos la representación decimal de un número base (b ) evaluando su expansión base (b ).

Ejemplo 11.4.5. Conversión a representación decimal.

Dados números en varias bases (b text <,> ) convertimos estos números a sus representaciones decimales escribiendo sus expansiones base (b ) y luego evaluándolas.

(1101_2 = 1 cdot2 ^ 3 + 1 cdot 2 ^ 2 + 0 cdot 2 + 1 cdot 1 = 13 )

(1101_3 = 1 cdot3 ^ 3 + 1 cdot 3 ^ 2 + 0 cdot 3 + 1 cdot 1 = 37 )

(201_3 = 2 cdot 3 ^ 2 + 0 cdot 3 + 1 cdot 1 = 19 )

(201_5 = 2 cdot 5 ^ 2 + 0 cdot 5 + 1 cdot 1 = 51 )

(201_ <16> = 2 cdot 16 ^ 2 + 0 cdot 16 + 1 cdot 1 = 513 )

Problema 11.4.6. Convierte de base (18 ) a base (10 ​​).

Dar la base (18 ) de expansión de (99GD872_ <18> ) y convertir (99GD872_ <18> ) a la representación decimal.

En base <18> usamos los caracteres (0 text <,> ) (1 text <,> ) (2 text <,> ) (3 text <,> ) (4 text <,> ) (5 text <,> ) (6 text <,> ) (7 text <,> ) (8 text <,> ) (9 text <,> ) (A text <,> ) (B text <,> ) (C text <,> ) (D text <,> ) (E text <,> ) (F text <,> ) (G text <,> ) (H ) para los dígitos. Los valores de estos son

(0_ <18>= 0) (1_ <18>= 1) (2_ <18>= 2) (3_ <18>= 3) (4_ <18>= 4) (5_ <18>= 5)
(6_ <18>= 6) (7_ <18>= 7) (8_ <18>= 8) (9_ <18>= 9) (A_ <18> = 10 ) (B_ <18> = 11 )
(C_ <18> = 12 ) (D_ <18> = 13 ) (E_ <18> = 14 ) (F_ <18> = 15 ) (G_ <18> = 16 ) (H_ <18> = 17 )

Entonces, como la expansión en base 18 de (99GD872 <18> ) obtenemos

(99GD872_ <18> ) (= 9 cdot <18> ^ 6 + 9 cdot <18> ^ 5 + 16 cdot <18> ^ 4 + 13 cdot <18> ^ 3 + 8 cdot <18> ^ 2 + 7 cdot <18> + 2 cdot 1 text <.> )

Al evaluar la expresión de la derecha se obtiene la representación decimal de (99GD872_ <18> text <:> )

(99GD872_ <18> ) (= 9 cdot <18> ^ 6 + 9 cdot <18> ^ 5 + 16 cdot <18> ^ 4 + 13 cdot <18> ^ 3 + 8 cdot <18> ^ 2 + 7 cdot <18> + 2 cdot 1 ) (= 324874280 )

Entonces, para convertir un número en la representación de la base (b ), donde (b ) a la representación de la base (10 ​​),


Solución

¡El patrón continúa! Tenemos $ 11 ^ 3 = 1331 $ y $ (x + 1) ^ 3 = x ^ 3 + 3x ^ 2 + 3x + 1 $, y $ 11 ^ 4 = 14641 $ y $ (x + 1) ^ 4 = x ^ 4 + 4x ^ 3 + 6x ^ 2 + 4x + 1 $. Para ver por qué sucede esto, comencemos con el caso simple de $ n = 2 $. Aquí tenemos $ 11 ^ 2 = 121 $ y $ (x + 1) ^ 2 = x ^ 2 + 2x + 1 $. El dígito de las centenas de $ 11 ^ 2 $ es el mismo que el coeficiente de $ x ^ 2 $ en $ (x + 1) ^ 2 $ y de manera similar para el dígito de las decenas y el dígito de las unidades. En este caso, sin embargo, podemos empezar a ver lo que está sucediendo sustituyendo $ x = 10 $ en la expresión $ (x + 1) ^ 2 $. Cuando $ x = 10 $ tenemos $ x + 1 = 11 $. Además, $ x ^ 2 = 100 $ y $ x = 10 $, por lo que el coeficiente de $ x ^ 2 $ en $ (x + 1) ^ 2 $ nos dice cuántas centenas tenemos (1), el coeficiente de $ x $ nos dice cuántas decenas (2) y el término constante es el número de unidades (1).

Ahora vemos por qué el patrón continúa: el teorema del binomio nos dice cómo expandir $ (x + 1) ^ n $, y los dígitos de $ 11 ^ n $ son los que obtenemos cuando sustituimos $ x = 10 $. Cuando $ n = 3 $, tenemos $ (x + 1) ^ 3 = x ^ 3 + 3x ^ 2 + 3x + 1. $ Sustituyendo $ x = 10 $ encontramos

Cuando $ n = 4 $ tenemos (usando el teorema del binomio o multiplicando polinomios sucesivamente) $ (x + 1) ^ 4 = x ^ 4 + 4x ^ 3 + 6x ^ 2 + 4x + 1. $ Sustituyendo $ x = 10 $ nosotros encontrar

Entonces Felicia tiene razón en que existe una relación muy estrecha entre los coeficientes del polinomio $ (x + 1) ^ n $ y los dígitos del número $ 11 ^ n $. Sin embargo, los dos no son siempre iguales, porque los coeficientes de $ (x + 1) ^ n $ dependen de $ n $ y aumentan a medida que crece $ n $. Sin embargo, los dígitos de $ 11 ^ n $ solo pueden oscilar entre 0 y 9 debido a nuestro sistema decimal para escribir números. Entonces, cuando $ n = 5 $, por ejemplo, $ (x + 1) ^ 5 = x ^ 5 + 5x ^ 4 + 10x ^ 3 + 10x ^ 2 + 5x + 1. $ Sustituyendo $ x = 10 $ encontramos

En este caso, tanto los cientos como los miles se reagrupan cuando escribimos este número en base 10. Si pudiéramos poner cualquier número entero que queramos en cada valor posicional, entonces los coeficientes de $ (x + 1) ^ n $ nos daría directamente una expresión de $ 11 ^ n $ para todos los valores de $ n $.


11.4 Comparación de series

Introducción: En esta lección aprenderemos a mostrar si una serie converge o diverge comparando la serie con una serie cuya convergencia o divergencia se conoce.

Objetivos: Después de esta lección, debería poder:

  • Utilice la prueba de comparación directa para determinar si una serie converge o diverge.
  • Utilice la prueba de comparación de límites para determinar si una serie converge o diverge.

Notas de video y amplificador: Complete la hoja de notas para esta lección (11-4-Comparación-de-series) mientras mira el video. Si lo prefiere, puede leer la Sección 11.4 de su libro de texto y resolver los problemas en las notas por su cuenta como práctica. Recuerde, las notas deben cargarse en Blackboard semanalmente para obtener una calificación. Si por alguna razón el video a continuación no se carga, puede acceder a él en YouTube aquí.

Tarea: Vaya a WebAssign y complete la asignación & # 822011.4 Series and Convergence & # 8221. Solo hay una tarea para ambas partes de esta lección.


Descripción

Características

  • Abordar todos los aspectos del nuevo PD Matemáticas: aplicaciones e interpretación del plan de estudios del NS a través de un paquete de libros de cursos en línea mejorado, compuesto por un libro de texto impreso a todo color y un libro de texto en línea, que incluye extensas notas para el profesor.
  • Asegúrese de que los alumnos estén preparados para abordar cada tema con hojas de trabajo específicas de 'Conocimientos previos', vinculadas a los resúmenes y ejercicios de 'Antes de comenzar' al comienzo de cada capítulo.
  • Entregue una cobertura en profundidad de todos los temas a través de explicaciones claras y soluciones trabajadas, ejemplos animados animados, ejercicios diferenciados y hojas de trabajo, con respuestas proporcionadas.
  • Adopte un enfoque basado en conceptos con lentes conceptuales y microconceptos entretejidos en cada capítulo, además de investigaciones ricas que integran preguntas fácticas y conceptuales, lo que lleva a una comprensión conceptual significativa y específica del contenido.
  • Profundizar la comprensión matemática a través de tareas basadas en la indagación que se relacionan con el contenido de cada capítulo, características de 'mentalidad internacional', enlaces regulares a la teoría del conocimiento y actividades que se enfocan en las habilidades de ATL
  • Apoyar a los estudiantes en el desarrollo de un conjunto de herramientas matemáticas, como lo requiere el nuevo programa de estudios, con actividades de modelado e investigación presentadas en cada capítulo, incluidas sugerencias para la reflexión y sugerencias para estudios adicionales.
  • Prepare minuciosamente a los alumnos para la evaluación del IB a través de una cobertura en profundidad del contenido del curso, descripciones generales de todos los requisitos, preguntas y trabajos de práctica de estilo de examen, y un capítulo completo que respalde la nueva exploración matemática (IA).
  • Incluye soporte para los modelos de calculadora de pantalla gráfica más populares
  • Este libro de curso en línea estará disponible en Oxford Education Bookshelf hasta 2029. El acceso se facilita mediante un código único, que se envía por correo. El código debe estar vinculado a una dirección de correo electrónico, creando una cuenta de usuario.
  • El acceso se puede transferir una vez a un nuevo usuario, una vez que el usuario inicial ya no requiera acceso. Deberá ponerse en contacto con su asesor educativo local para organizar esto.

Incluso siete

¿Cómo se hace el número 7 incluso sin sumas, restas, multiplicaciones o divisiones?

Ocho ocho

¿Puedes escribir ocho ocho para que sumen mil?

Resta extraña

¿Cómo se puede sacar 2 de 5 y dejar 4?

CINCO

Quita las 2 letras F y E de cinco y tienes IV.

¿Qué pasa con los círculos?

¿Cuántos lados tiene un círculo?

Dos. El interior y el exterior.

Sustracción

¿Cuántas veces puedes restar el número 5 de 25?

Una vez, porque después de restar ya no son 25.

Un árbol en crecimiento

Cuando John tenía seis años, clavó un clavo en su árbol favorito para marcar su altura. Diez años más tarde, a los dieciséis años, John volvió a ver cuánto más alto estaba el clavo. Si el árbol creciera cinco centímetros cada año, ¿cuánto más alto sería el clavo?

El clavo estaría a la misma altura ya que los árboles crecen en sus copas.


La probabilidad condicional

En estas lecciones, aprenderemos qué es la probabilidad condicional y cómo usar la fórmula para la probabilidad condicional.

El siguiente diagrama muestra la fórmula para la probabilidad condicional. Desplácese hacia abajo en la página para ver más ejemplos y soluciones sobre cómo encontrar la probabilidad condicional.

¿Qué es la probabilidad condicional?

La probabilidad de que ocurra un evento dado que ya ha ocurrido otro evento se denomina la probabilidad condicional.

Recuerde que cuando dos eventos, A y B, son dependientes, la probabilidad de que ocurran ambos es:

P (A y B) = P (A) × P (B dado A)
o P (A y B) = P (A) × P (B | A)

Si dividimos ambos lados de la ecuación por P (A) obtenemos el
Fórmula de probabilidad condicional

¿Cómo encontrar la probabilidad condicional a partir de un problema de palabras?

Paso 1: escribe la fórmula de probabilidad condicional en términos del problema
Paso 2: Sustituye los valores y resuelve.

Ejemplo:
Susan hizo dos pruebas. La probabilidad de que apruebe ambas pruebas es de 0,6. La probabilidad de que pase la primera prueba es de 0,8. ¿Cuál es la probabilidad de que pase la segunda prueba dado que ha pasado la primera?

Ejemplo:
Una bolsa contiene canicas rojas y azules. Se extraen dos canicas sin reemplazo. La probabilidad de seleccionar una canica roja y luego una canica azul es 0.28. La probabilidad de seleccionar una canica roja en el primer sorteo es 0.5. ¿Cuál es la probabilidad de seleccionar una canica azul en el segundo sorteo, dado que la primera canica extraída fue roja?

Solución:
¿Cuál es la probabilidad de que el total de dos dados sea mayor que 9, dado que el primer dado es un 5?

Solución:
Sea A = el primer dado es 5
Sea B = el total de dos dados es mayor que 9

Posibles resultados para A y B: (5, 5), (5, 6)

¿Cómo usar ejemplos del mundo real para explicar la probabilidad condicional?

La probabilidad condicional consiste en reducir el conjunto de posibles circunstancias para que las estadísticas se puedan medir con mayor precisión.

¿Cómo definir la probabilidad condicional?

Este video presenta la definición básica de probabilidad condicional tal como se define en la teoría de probabilidad estándar.

¿Cómo calcular la probabilidad condicional?

Tutorial sobre cómo calcular la probabilidad condicional para dos eventos P (A), P (B), P (B | A) con dos ejemplos.

  • Ejemplo 1: ¿Cuál es la probabilidad de lanzar un dado y su valor es menor que 4 sabiendo que el valor es un número impar?
  • Ejemplo 2: ¿Cuál es la probabilidad de lanzar un dado y su valor es 1 sabiendo que el valor es un número impar?

¿Cómo determinar la probabilidad condicional a partir de los problemas de palabras dados?

  1. Lanzas un dado de 6 caras, ¿cuál es la probabilidad de un 3 dado que sabes que el número es impar?
  2. En P-Town High School, la probabilidad de que un estudiante tome Programación de Computadoras y Español es 0.15. La probabilidad de que un estudiante tome Programación de Computadoras es 0.4.
    ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante aprenda español dado que está cursando Programación de Computadoras?
  3. Estos son los resultados de una encuesta que se completó con padres adultos con hijos. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona piense que la universidad es demasiado cara dado que tiene un hijo en la universidad?
  4. Se roban dos cartas sin reemplazo en sucesión. ¿Cuál es la probabilidad de que la segunda carta extraída sea un as, dado que la primera lata extraída fue un as?
  5. Se roban dos cartas sin reemplazo. ¿Cuál es la probabilidad de que la segunda carta sea una carta de cara roja dado que la primera carta es una carta de referencia?

Pruebe la calculadora Mathway gratuita y el solucionador de problemas a continuación para practicar varios temas matemáticos. Pruebe los ejemplos dados o escriba su propio problema y verifique su respuesta con las explicaciones paso a paso.

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11.4 Enfoques de aprendizaje

En contraste con los enfoques psicodinámicos de Freud y los neofreudianos, que relacionan la personalidad con procesos internos (y ocultos), los enfoques de aprendizaje se centran solo en la conducta observable. Esto ilustra una ventaja significativa de los enfoques de aprendizaje sobre la psicodinámica: debido a que los enfoques de aprendizaje involucran fenómenos observables y mensurables, pueden ser probados científicamente.

La perspectiva del comportamiento

Los conductistas no creen en el determinismo biológico: no ven los rasgos de personalidad como innatos. En cambio, ven la personalidad como significativamente moldeada por los refuerzos y las consecuencias fuera del organismo. En otras palabras, las personas se comportan de manera consistente en base al aprendizaje previo. B. F. Skinner, un conductista estricto, creía que el medio ambiente era el único responsable de todo comportamiento, incluidos los patrones de comportamiento duraderos y consistentes estudiados por los teóricos de la personalidad.

Como recordará de su estudio sobre la psicología del aprendizaje, Skinner propuso que demostremos patrones de conducta consistentes porque hemos desarrollado ciertas tendencias de respuesta (Skinner, 1953). En otras palabras, nosotros aprender comportarse de maneras particulares. Aumentamos los comportamientos que conducen a consecuencias positivas y disminuimos los comportamientos que conducen a consecuencias negativas. Skinner no estaba de acuerdo con la idea de Freud de que la personalidad se fija en la infancia. Argumentó que la personalidad se desarrolla a lo largo de toda nuestra vida, no solo en los primeros años. Nuestras respuestas pueden cambiar a medida que nos encontramos con situaciones nuevas, por lo tanto, podemos esperar más variabilidad a lo largo del tiempo en la personalidad de lo que anticiparía Freud. Por ejemplo, considere a una mujer joven, Greta, que toma riesgos. Conduce rápido y participa en deportes peligrosos como el ala delta y el kitesurf. Pero después de que se casa y tiene hijos, el sistema de refuerzos y castigos en su entorno cambia. El exceso de velocidad y los deportes extremos ya no se refuerzan, por lo que ya no se involucra en esos comportamientos. De hecho, Greta ahora se describe a sí misma como una persona cautelosa.

La perspectiva sociocognitiva

Albert Bandura estuvo de acuerdo con Skinner en que la personalidad se desarrolla a través del aprendizaje. Sin embargo, no estaba de acuerdo con el enfoque conductista estricto de Skinner para el desarrollo de la personalidad, porque sentía que el pensamiento y el razonamiento son componentes importantes del aprendizaje. Presentó una teoría sociocognitiva de la personalidad que enfatiza tanto el aprendizaje como la cognición como fuentes de diferencias individuales en la personalidad. En la teoría sociocognitiva, los conceptos de determinismo recíproco, aprendizaje observacional y autoeficacia juegan un papel en el desarrollo de la personalidad.

Determinismo recíproco

En contraste con la idea de Skinner de que el entorno solo determina la conducta, Bandura (1990) propuso el concepto de determinismo recíproco, en el que los procesos cognitivos, la conducta y el contexto interactúan, cada factor influye y es influenciado por los demás simultáneamente (Figura 11.10). Procesos cognitivos se refieren a todas las características aprendidas previamente, incluidas las creencias, expectativas y características de la personalidad. Comportamiento se refiere a cualquier cosa que hagamos que pueda ser recompensada o castigada. Finalmente, el contexto en el que ocurre el comportamiento se refiere al entorno o situación, que incluye estímulos gratificantes / castigadores.

Considere, por ejemplo, que está en un festival y una de las atracciones es el puenting desde un puente. ¿Tú lo haces? En este ejemplo, el comportamiento es puenting. Los factores cognitivos que pueden influir en este comportamiento incluyen sus creencias y valores, y sus experiencias pasadas con comportamientos similares. Finalmente, el contexto se refiere a la estructura de recompensa por el comportamiento. Según el determinismo recíproco, todos estos factores están en juego.

Aprendizaje por observacion

La contribución clave de Bandura a la teoría del aprendizaje fue la idea de que gran parte del aprendizaje es indirecto. Aprendemos observando el comportamiento de otra persona y sus consecuencias, lo que Bandura llamó aprendizaje por observación. Sintió que este tipo de aprendizaje también juega un papel en el desarrollo de nuestra personalidad. Así como aprendemos comportamientos individuales, aprendemos nuevos patrones de comportamiento cuando los vemos realizados por otras personas o modelos. Basándose en las ideas de los conductistas sobre el refuerzo, Bandura sugirió que si elegimos imitar el comportamiento de un modelo depende de si vemos el modelo reforzado o castigado. A través del aprendizaje observacional, aprendemos qué comportamientos son aceptables y recompensados ​​en nuestra cultura, y también aprendemos a inhibir los comportamientos desviados o socialmente inaceptables al ver qué comportamientos son castigados.

Podemos ver los principios del determinismo recíproco en acción en el aprendizaje por observación. Por ejemplo, los factores personales determinan qué comportamientos en el entorno una persona elige imitar, y esos eventos ambientales, a su vez, se procesan cognitivamente de acuerdo con otros factores personales. Una persona puede experimentar recibir atención como un refuerzo, y esa persona puede estar más inclinada a imitar comportamientos como jactarse cuando un modelo ha sido reforzado. Para otros, la jactancia puede verse de manera negativa, a pesar de la atención que pueda resultar, o recibir mayor atención puede percibirse como un escrutinio. En cualquier caso, es menos probable que la persona imite esos comportamientos aunque las razones para no hacerlo sean diferentes.

Autoeficacia

Bandura (1977, 1995) ha estudiado una serie de factores cognitivos y personales que afectan el aprendizaje y el desarrollo de la personalidad, y más recientemente se ha centrado en el concepto de autoeficacia. Self-efficacy is our level of confidence in our own abilities, developed through our social experiences. Self-efficacy affects how we approach challenges and reach goals. In observational learning, self-efficacy is a cognitive factor that affects which behaviors we choose to imitate as well as our success in performing those behaviors.

People who have high self-efficacy believe that their goals are within reach, have a positive view of challenges seeing them as tasks to be mastered, develop a deep interest in and strong commitment to the activities in which they are involved, and quickly recover from setbacks. Conversely, people with low self-efficacy avoid challenging tasks because they doubt their ability to be successful, tend to focus on failure and negative outcomes, and lose confidence in their abilities if they experience setbacks. Feelings of self-efficacy can be specific to certain situations. For instance, a student might feel confident in her ability in English class but much less so in math class.

Julian Rotter and Locus of Control

Julian Rotter (1966) proposed the concept of locus of control, another cognitive factor that affects learning and personality development. Distinct from self-efficacy, which involves our belief in our own abilities, locus of control refers to our beliefs about the power we have over our lives. In Rotter’s view, people possess either an internal or an external locus of control (Figure 11.11). Those of us with an internal locus of control (“internals”) tend to believe that most of our outcomes are the direct result of our efforts. Those of us with an external locus of control (“externals”) tend to believe that our outcomes are outside of our control. Externals see their lives as being controlled by other people, luck, or chance. For example, say you didn’t spend much time studying for your psychology test and went out to dinner with friends instead. When you receive your test score, you see that you earned a D. If you possess an internal locus of control, you would most likely admit that you failed because you didn’t spend enough time studying and decide to study more for the next test. On the other hand, if you possess an external locus of control, you might conclude that the test was too hard and not bother studying for the next test, because you figure you will fail it anyway. Researchers have found that people with an internal locus of control perform better academically, achieve more in their careers, are more independent, are healthier, are better able to cope, and are less depressed than people who have an external locus of control (Benassi, Sweeney, & Durfour, 1988 Lefcourt, 1982 Maltby, Day, & Macaskill, 2007 Whyte, 1977, 1978, 1980).

Link to Learning

Take the Locus of Control questionnaire to learn more. Scores range from 0 to 13. A low score on this questionnaire indicates an internal locus of control, and a high score indicates an external locus of control.

Walter Mischel and the Person-Situation Debate

Walter Mischel was a student of Julian Rotter and taught for years at Stanford, where he was a colleague of Albert Bandura. Mischel surveyed several decades of empirical psychological literature regarding trait prediction of behavior, and his conclusion shook the foundations of personality psychology. Mischel found that the data did not support the central principle of the field—that a person’s personality traits are consistent across situations. His report triggered a decades-long period of self-examination, known as the person-situation debate, among personality psychologists.

Mischel suggested that perhaps we were looking for consistency in the wrong places. He found that although behavior was inconsistent across different situations, it was much more consistent within situations—so that a person’s behavior in one situation would likely be repeated in a similar one. And as you will see next regarding his famous “marshmallow test,” Mischel also found that behavior is consistent in equivalent situations across time.

One of Mischel’s most notable contributions to personality psychology was his ideas on self-regulation. According to Lecci & Magnavita (2013), “Self-regulation is the process of identifying a goal or set of goals and, in pursuing these goals, using both internal (e.g., thoughts and affect) and external (e.g., responses of anything or anyone in the environment) feedback to maximize goal attainment” (p. 6.3). Self-regulation is also known as will power. When we talk about will power, we tend to think of it as the ability to delay gratification. For example, Bettina’s teenage daughter made strawberry cupcakes, and they looked delicious. However, Bettina forfeited the pleasure of eating one, because she is training for a 5K race and wants to be fit and do well in the race. Would you be able to resist getting a small reward now in order to get a larger reward later? This is the question Mischel investigated in his now-classic marshmallow test.

Mischel designed a study to assess self-regulation in young children. In the marshmallow study, Mischel and his colleagues placed a preschool child in a room with one marshmallow on the table. The children were told they could either eat the marshmallow now, or wait until the researcher returned to the room, and then they could have two marshmallows (Mischel, Ebbesen & Raskoff, 1972). This was repeated with hundreds of preschoolers. What Mischel and his team found was that young children differ in their degree of self-control. Mischel and his colleagues continued to follow this group of preschoolers through high school, and what do you think they discovered? The children who had more self-control in preschool (the ones who waited for the bigger reward) were more successful in high school. They had higher SAT scores, had positive peer relationships, and were less likely to have substance abuse issues as adults, they also had more stable marriages (Mischel, Shoda, & Rodriguez, 1989 Mischel et al., 2010). On the other hand, those children who had poor self-control in preschool (the ones who grabbed the one marshmallow) were not as successful in high school, and they were found to have academic and behavioral problems. A more recent study using a larger and more representative sample found associations between early delay of gratification (Watts, Duncan, & Quan, 2018) and measures of achievement in adolescence. However, researchers also found that the associations were not as strong as those reported during Mischel's initial experiment and were quite sensitive to situational factors such as early measures of cognitive capacity, family background, and home environment. This research suggests that consideration of situational factors is important to better understand behavior.

Link to Learning

Watch Joachim de Posada's TEDTalk about the marshmallow test to learn more and to see the test given to children in Columbia.

Today, the debate is mostly resolved, and most psychologists consider both the situation and personal factors in understanding behavior. For Mischel (1993), people are situation processors. The children in the marshmallow test each processed, or interpreted, the rewards structure of that situation in their own way. Mischel’s approach to personality stresses the importance of both the situation and the way the person perceives the situation. Instead of behavior being determined by the situation, people use cognitive processes to interpret the situation and then behave in accordance with that interpretation.


Math 8: Unit 2B – Squares and Cubes

Math 8: Unit 2B – Squares and Cubes

UNIT 2B TEST – TUESDAY, NOVEMBER 19

(Squares, Cubes, and Number System)

In Class Test Review

Perfect Squares (10/30/19)
– Class Notes **You MUST memorize the first 25 perfect squares**
– Video Tutorial
– Video Tutorial 2
– Video Tutorial 3
Homework: Practice Worksheet – complete the “Square Roots” side

Perfect Squares Expressions (10/31/19)
– Class Notes
Homework: Practice Worksheet – complete the “Square Root Expressions” side

Perfect Cubes (11/1/19)
– Class Notes **You MUST memorize the first 10 perfect cubes**
– Video Tutorial
– Online Practice
– additional notes and practice (questions at bottom)
Homework: Practice Worksheet (1/2 page front and back)
Memorize Square and Cube Roots

Quiz – Wed., Nov. 6, 2019 Unit 2A Test Reflection & Analysis Homework: Leveled Review Worksheet

UNIT 2A CREDIT RECOVERY – THURS., NOV. 14, 2019
** MUST
have signed test reflection worksheet AND work attached
to show proof that you prepared for the assessment. **

Estimating Roots to the nearest Whole Number (11/7/19)
– Class Notes
Homework: Practice Worksheet

Estimating Roots to the nearest tenth (11/7/19)
– Class Notes
– Video Tutorial
– Video Tutorial
Homework: Practice Worksheet

Repeating Decimals (11/11/19)
– Class Notes
– Practice – Khan Academy
Homework: Practice Worksheet,Quiz Wed., Roots Performance Task Thurs.,
Unit 2A Credit Recovery Thurs.(8:15 AM or during Success Block)

Rational and Irrational Numbers (11/12/19)
– Class Notes
– Video Tutorial 1
– Video Tutorial – Classifying and Ordering
– Number Types Math Song
Homework: Practice Worksheet (on back of Monday’s HW)
Quiz Tomorrow
Unit 2A CREDIT RECOVERY Thursday (8:15 am or Success Block)

Roots, Repeating Decimals & Number Families Formative Assessment (11/13/19)
Homework: Unit 2 Choice Board
Unit 2A CREDIT RECOVERY Tomorrow
(8:15 am or Success Block)

Roots Performance Task (11/14/19)
Homework: Cumulative Review #5

Roots Performance Task – completion (11/15/19)
Homework: Unit 2B Test Review – That Quiz directions

In Class Test Review (11/18/19)
Homework: Unit 2B Review Worksheet STUDY – TEST TOMORROW

Unit 2B Test – Thursday, Nov. 19th


Common Core Math In The Classroom And Homework Help

How can the Common Core Math be implemented in the Classroom?
How can I teach the Common Core Math at home?
How can I get homework help for the Common Core Math?

NYS Common Core Lessons and Worksheets

The following lessons are based on the New York State (NYS) Common Core Math Standards. They consist of lesson plans, worksheets (from the NYSED) and videos to help you prepare to teach Common Core Math in the classroom or at home. There are lots of help for classwork and homework.

Each grade is divided into six or seven modules. Mid-module and End-Module Assessments are also included.

The lessons are divided into Fluency Practice, Application Problem, Concept Development, and Student Debrief.
The worksheets are divided into Problem Set, Exit Ticket, and Homework.

Kindergarten Mathematics
Numbers to 10
Two-Dimensional and Three-Dimensional Shapes
Comparison of Length, Weight, Capacity
Number Pairs, Addition and Subtraction to 10
Counting to 100
Analyzing, Comparing, and Composing Shapes

Grade 1 Mathematics
Sums and Differences to 10
Introduction to Place Value Through Addition and Subtraction Within 20
Ordering and Comparing Length Measurements as Numbers
Place Value, Comparison, Addition and Subtraction to 40
Identifying, Composing, and Partitioning Shapes
Place Value, Comparison, Addition and Subtraction to 100

Grade 2 Mathematics
Sums and Differences to 20
Addition and Subtraction of Length Units
Place Value, Counting, and Comparison of Numbers to 1,000
Addition and Subtraction Within 200 with Word Problems to 100
Addition and Subtraction Within 1,000 with Word Problems to 100
Foundations of Multiplication and Division
Problem Solving with Length, Money, and Data
Fractions as Equal Parts of Shapes, Time

Grade 3 Mathematics
Properties of Multiplication and Division and Solving Problems with Units of 2 and 10
Place Value and Problem Solving with Units of Measure
Multiplication and Division with Units of 0, 1, 6, and Multiples of 10
Multiplication and Area Fractions as Numbers on the Number Line
Collecting and Displaying Data
Geometry and Measurement Word Problems

Grade 4 Mathematics
Place Value, Rounding, and Algorithms for Addition and Subtraction
Unit Conversions and Problem Solving with Metric Measurement
Multi-Digit Multiplication and Division
Angle Measure and Plane Figures
Fraction Equivalence, Ordering, and Operations
Decimal Fractions
Exploring Measurement with Multiplication

Grade 5 Mathematics
Place Value and Decimal Fractions
Multi-Digit Whole Number and Decimal Fraction Operations
Addition and Subtraction of Fractions
Line Plots of Fraction Measurements
Addition and Multiplication with Volume and Area Problem Solving with the Coordinate Plane

Grade 6 Mathematics
Ratios and Unit Rates
Arithmetic Operations Including Division of Fractions
Rational Numbers
Expressions and Equations
Area, Surface Area, and Volume Problems Statistics

Grade 7 Mathematics
Ratios and Proportional Relationship
Rational Numbers
Expressions and Equations
Percent and Proportional Relationships
Statistics and Probability
Geometría

Grade 8 Mathematics
Exponentes enteros y notación científica
The Concept of Congruence
Similarity
Linear Equations
Examples of Functions from Geometry
Linear Functions
Introduction to Irrational Numbers
Using Geometry

High School Algebra I
Linear and Exponential Sequences
Functions and Their Graphs
Transformations of Functions
Using Functions and Graphs to Solve Problems

Have a look at the following videos for insights on how to implement the Core in classrooms and homes across America. We also have lesson plans, assessments and worksheets to help you in your preparation.

In this first video, we will join Sarah as she explains the Common Core State Standards and offers insights on how to implement the Core in classrooms. We will learn how teachers and students can shift their math classrooms to promote mathematical reasoning.

She emphasized on the need to focus on fewer concepts, coherence for mastery and an approach with more rigor. Focus means less rote memorization and more deep procedural knowledge and conceptual understanding. Rigor means having procedural fluency and conceptual understanding.

She talks about the six shifts in teaching Mathematics: Focus, Coherence, Fluency, Deep Understanding, Application, and Dual Intensity. Classrooms should be creative, engaged and even noisy. Families can be involved in applying the mathematical concepts.

In this video Sarah explains what is the Common Core and where did it come from.
How to read the Common Core State Standards with confidence and perspective.

She explains that &ldquoCommon doesn&rsquot mean the same and the Standards are not the curriculum&rdquo. She also shows how to read the grade level standards for mathematics and for reading and writing.

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Ver el vídeo: Aplicaciones Lineales parte 14 (Agosto 2022).