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8.2: Identificar y simplificar raíces - Matemáticas


Objetivos de aprendizaje

  • Raíces cuadradas
    • Use la notación de raíz cuadrada para escribir raíces cuadradas principales
    • Simplifique las raíces cuadradas principales usando factorización
  • Raíces cúbicas
    • Utilice la notación de raíz cúbica para escribir raíces cúbicas
    • Simplifica raíces cúbicas usando factorización
  • Simplificar raíces cuadradas
    • Simplifica raíces cuadradas con variables
    • Determinar cuándo una raíz simplificada necesita un valor absoluto
  • Exponentes racionales
    • Convertir entre notación radical y exponencial
    • Usa las leyes de los exponentes para simplificar expresiones con exponentes racionales
    • Usa exponentes racionales para simplificar expresiones radicales

Sabemos cómo elevar un número al cuadrado:

( left (-5 right) ^ 2 = 25 )

Sacar una raíz cuadrada es lo opuesto a elevar al cuadrado, por lo que podemos hacer estas afirmaciones:

  • 5 es la raíz cuadrada no nativa de 25
  • -5 es la raíz cuadrada negativa de 25

Encuentra las raíces cuadradas de los siguientes números:

  1. 36
  2. 81
  3. -49
  4. 0
  1. Queremos encontrar un número cuyo cuadrado sea 36. (6 ^ 2 = 36 ) por lo tanto, la raíz cuadrada no negativa de 36 es 6 y la raíz cuadrada negativa de 36 es -6
  2. Queremos encontrar un número cuyo cuadrado sea 81. (9 ^ 2 = 81 ) por lo tanto, la raíz cuadrada no negativa de 81 es 9 y la raíz cuadrada negativa de 81 es -9
  3. Queremos encontrar un número cuyo cuadrado sea -49. Cuando eleva al cuadrado un número real, el resultado siempre es positivo. Detente y piensa en eso por un segundo. Un número negativo multiplicado por sí mismo es positivo y un número positivo multiplicado por sí mismo es positivo. Por lo tanto, -49 no tiene raíces cuadradas, no hay soluciones de números reales para esta pregunta.
  4. Queremos encontrar un número cuyo cuadrado sea 0. (0 ^ 2 = 0 ) por lo tanto, la raíz cuadrada no negativa de 0 es 0. No le asignamos un signo a 0, por lo que solo tiene una raíz cuadrada, y esa es 0.

La notación que usamos para expresar una raíz cuadrada para cualquier número real, a, es la siguiente:

Escribir una raíz cuadrada

El símbolo de la raíz cuadrada se llama símbolo radical. Para un número real, a la raíz cuadrada de a está escrito como ( sqrt {a} )

El número que está escrito debajo del símbolo radical se llama radicando.

Por definición, el símbolo de raíz cuadrada, ( sqrt { hphantom {5}} ) siempre significa encontrar la raíz no negativa, llamada raíz principal.

( sqrt {a} ) está definido para (a> 0 )

Hagamos un ejemplo similar al ejemplo anterior, esta vez usando la notación de raíz cuadrada. Tenga en cuenta que usar la notación de raíz cuadrada significa que solo está encontrando la raíz principal, la raíz no negativa.

Ejemplo

Simplifica las siguientes raíces cuadradas:

  1. ( sqrt {16} )
  2. ( sqrt {9} )
  3. ( sqrt {-9} )
  4. ( sqrt {5 ^ 2} )

[revel-answer q = ”614386 ″] Mostrar solución [/ revel-answer]
[respuesta oculta a = ”614386 ″]

  1. ( sqrt {16} = 4 ). Solo escribimos la raíz no negativa porque así es como se define el símbolo de la raíz.
  2. ( sqrt {9} = 3 ). Solo escribimos la raíz no negativa porque así es como se define el símbolo de la raíz.
  3. ( sqrt {-9} ). Buscamos un número cuyo cuadrado sea -9. No hay números reales cuyo cuadrado sea -9, por lo que este radical no es un número real.
  4. (5 ^ 2 ). Ya tenemos el número cuyo cuadrado es (5 ^ 2 ), ¡es 5!

[/ respuesta-oculta]

El último problema del ejemplo anterior nos muestra una relación importante entre cuadrados y raíces cuadradas, y podemos resumirlo de la siguiente manera:

La raíz cuadrada de un cuadrado

Para un número real no negativo, a, ( sqrt {a ^ 2} = a )

En el video que sigue, simplificamos más raíces cuadradas usando el hecho de que ( sqrt {a ^ 2} = a ) significa encontrar la raíz cuadrada principal.

Se ha excluido un elemento de YouTube de esta versión del texto. Puede verlo en línea aquí: pb.libretexts.org/ba/?p=140

¿Qué sucede si está trabajando con un número cuyo cuadrado no conoce de inmediato? Podemos usar la factorización y la regla del producto para raíces cuadradas para encontrar raíces cuadradas como ( sqrt {225} ).

La regla del producto para raíces cuadradas

Dado que ayb son números reales no negativos, ( sqrt {a cdot {b}} = sqrt {a} cdot sqrt {b} )

En los ejemplos que siguen, reuniremos estas ideas para simplificar las raíces cuadradas de números que no son obvias a primera vista:

  • raíz cuadrada de un cuadrado,
  • la regla del producto para raíces cuadradas
  • factorización

Ejemplo

Simplificar ( sqrt {144} )

[revel-answer q = ”620082 ″] Mostrar solución [/ revel-answer]
[respuesta oculta a = ”620082 ″]

Determina los factores primos de 144.

( begin {array} {c} sqrt {144} \ sqrt {2 cdot 72} \ sqrt {2 cdot 2 cdot 36} \ sqrt {2 cdot 2 cdot 2 cdot 18} \ sqrt {2 cdot 2 cdot 2 cdot 2 cdot 9} \ sqrt {2 cdot 2 cdot 2 cdot 2 cdot 3 cdot 3} end {matriz} )

Debido a que estamos encontrando una raíz cuadrada, reagrupamos estos factores en cuadrados.

( sqrt {2 ^ 2 cdot 2 ^ 2 cdot3 ^ 2} )

Ahora podemos usar la regla del producto para raíces cuadradas y la raíz cuadrada de una idea cuadrada para terminar de encontrar la raíz cuadrada.

( begin {matriz} {c} sqrt {2 ^ 2 cdot 2 ^ 2 cdot3 ^ 2} = sqrt {2 ^ 2} cdot sqrt {2 ^ 2} cdot sqrt {3 ^ 2} = 2 cdot3 cdot2 = 12 end {matriz} )

Respuesta

( sqrt {144} = 12 )

[/ respuesta-oculta]

Ejemplo

Simplifica ( sqrt {225} )
[revel-answer q = ”686109 ″] Mostrar solución [/ revel-answer]
[respuesta oculta a = ”686109 ″]

Primero, factor 225:

( begin {array} {c} sqrt {225} = sqrt {5 cdot45} = sqrt {5 cdot5 cdot9} = sqrt {5 cdot5 cdot3 cdot3} end {matriz} )

Debido a que estamos encontrando una raíz cuadrada, reagrupamos estos factores en cuadrados. Termina de simplificar con la regla del producto para raíces y el cuadrado de una idea cuadrada.

( begin {matriz} {c} sqrt {5 ^ 2 cdot3 ^ 2} = sqrt {5 ^ 2} cdot sqrt {3 ^ 2} = 5 cdot3 = 15 end {matriz} )

Respuesta

( sqrt {225} = 15 )

[/ respuesta-oculta]

¡Precaución! La regla de la raíz cuadrada de un producto se aplica cuando tienes la multiplicación ÚNICAMENTE debajo de la raíz cuadrada. No puede aplicar la regla a las sumas:

( sqrt {a + b} ne sqrt {a} + sqrt {b} )

Pruébelo a sí mismo con algunos números reales: sea a = 64 y b = 36, luego use el orden de las operaciones para simplificar cada expresión.

( begin {matriz} {c} sqrt {64 + 36} = sqrt {100} = 10 \ sqrt {64} + sqrt {36} = 8 + 6 = 14 10 ne14 end {matriz} )

Hasta ahora, has visto ejemplos que son cuadrados perfectos. Es decir, cada uno es un número cuya raíz cuadrada es un número entero. Pero muchas expresiones radicales no son cuadrados perfectos. Algunos de estos radicales aún se pueden simplificar encontrando factores cuadrados perfectos. El siguiente ejemplo ilustra cómo factorizar el radicando, buscando pares de factores que se puedan expresar como un cuadrado.

Ejemplo

Simplificar. ( sqrt {63} )

[revel-answer q = ”908978 ″] Mostrar solución [/ revel-answer]
[respuesta oculta a = ”908978 ″] Factor 63

( sqrt {7 cdot 3 cdot3} )

Reagrupar factores en cuadrados

( sqrt {7 cdot3 ^ 2} )

Termina de simplificar con la regla del producto para raíces y el cuadrado de una idea cuadrada.

( sqrt {7 cdot3 ^ 2} = sqrt {7} cdot sqrt {3 ^ 2} = sqrt {7} cdot3 )

Dado que 7 es primo y no podemos escribirlo como un cuadrado, tendrá que permanecer bajo el signo de radical. Por convención, escribimos la constante 3 delante del radical. Esto ayuda al lector a saber que el 3 ya no está bajo el radical.

(3 cdot sqrt {7} )

Respuesta

( sqrt {63} = 3 sqrt {7} )

[/ respuesta-oculta]

La respuesta final (3 sqrt {7} ) puede parecer un poco extraña, pero está en forma simplificada. Puede leer esto como "tres radicales siete" o "tres veces la raíz cuadrada de siete".

Atajo de esta manera

En el siguiente ejemplo, tomamos un atajo haciendo uso de los cuadrados comunes que conocemos, en lugar de usar factores primos. Es útil tener los cuadrados de los números entre 0 y 10 frescos en su mente para simplificar los radicales más rápido.

  • (0^2=0)
  • (2^2=4)
  • (3^2=9)
  • (4^2=16)
  • (5^2=25)
  • (6^2=36)
  • (7^2=49)
  • (8^2=64)
  • (9^2=81)
  • (10^2=100)

Ejemplo

Simplificar. ( sqrt {2,000} )

[revel-answer q = ”932245 ″] Mostrar solución [/ revel-answer]
[hidden-answer a = ”932245 ″] Factoriza 2,000 para encontrar cuadrados perfectos.

( begin {matriz} {r} sqrt {100 cdot 20} = sqrt {100 cdot 4 cdot 5} end {matriz} )

(100=10^2,4=2^2)

( begin {matriz} sqrt {100 cdot 4 cdot 5} = sqrt {10 ^ 2 cdot 4 ^ 2 cdot 5} = sqrt {10 ^ 2} cdot sqrt {4 ^ 2} cdot sqrt {5} = 10 cdot4 cdot sqrt {5} )

Multiplicar.

(20 cdot sqrt {5} )

Respuesta

( sqrt {2,000} = 20 sqrt {5} )

[/ respuesta-oculta]

En este último video, mostramos ejemplos de simplificación de radicales que no son cuadrados perfectos.

Se ha excluido un elemento de YouTube de esta versión del texto. Puede verlo en línea aquí: pb.libretexts.org/ba/?p=140

Raíces cúbicas

Cune de Rubik

Si bien las raíces cuadradas son probablemente el radical más común, también puede encontrar la tercera raíz, la quinta raíz, la décima raíz o realmente cualquier otra nortela raíz de un número. Así como la raíz cuadrada es un número que, cuando se eleva al cuadrado, da el radicando, el raíz cúbica es un número que, cuando se eleva al cubo, da el radicando.

Encuentra las raíces cúbicas de los siguientes números:

  1. 27
  2. 8
  3. -8
  4. 0
  1. Queremos encontrar un número cuyo cubo sea 27. (9 = 3 ^ 2 ), entonces (3 / cdot3 / cdot3 = 3 ^ 3 = 27 )
  2. Queremos encontrar un número cuyo cubo es 8. (2 cdot2 cdot2 = 8 ) la raíz cúbica de 8 es 2.
  3. Queremos encontrar un número cuyo cubo sea -8. Sabemos que 2 es la raíz cúbica de 8, así que tal vez podamos probar con -2. (- 2 cdot {-2} cdot {-2} = - 8 ), entonces la raíz cúbica de -8 es -2. Esto es diferente de las raíces cuadradas porque multiplicar tres números negativos juntos da como resultado un número negativo.
  4. Queremos encontrar un número cuyo cubo sea 0. (0 ) por sí solo, siempre obtendrá (0 ).

La raíz cúbica de un número se escribe con un número pequeño 3, llamado índice, justo fuera y encima del símbolo radical. Parece ( sqrt [3] ). Este pequeño 3 distingue las raíces cúbicas de las raíces cuadradas que se escriben sin un número pequeño fuera y encima del símbolo de radical.

(3 sqrt {x} ), tres veces la cuadrado Raíz de X. Pueden parecer similares al principio, ¡pero te llevan a expresiones muy diferentes!

También podemos usar la factorización para simplificar raíces cúbicas como ( sqrt [3] {125} ). Puede leer esto como "la tercera raíz de 125" o "la raíz cúbica de 125". Para simplificar esta expresión, busque un número que, cuando se multiplique por sí mismo dos veces (para un total de tres factores idénticos), sea igual a 125. Factoricemos 125 y encontremos ese número.

Ejemplo

Simplificar. ( sqrt [3] {125} )

[revel-answer q = ”517592 ″] Mostrar solución [/ revel-answer]
[hidden-answer a = ”517592 ″] 125 termina en 5, por lo que sabe que 5 es un factor. Expanda 125 en (5 cdot25 ).

( sqrt [3] {5 cdot 25} )

Factoriza 25 en 5 y 5.

( sqrt [3] {5 cdot 5 cdot 5} )

Los factores son (5 ^ {3} ).

( sqrt [3]

ParseError: se esperan dos puntos (haga clic para obtener más detalles)

Pila de llamadas: at (Courses / Lumen_Learning / Book: _Beginning_Algebra_ (Lumen) /08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), / content / body / div [10] / div [3] / p [7] / span, línea 1, columna 3

)

Respuesta

( sqrt [3] {125} = 5 )

[/ respuesta-oculta]

Los factores primos de 125 son (5 ^ {3} ). La raíz cúbica de un número al cubo es el número en sí, por lo que ( sqrt [3]

ParseError: se esperan dos puntos (haga clic para obtener más detalles)

Pila de llamadas: at (Courses / Lumen_Learning / Book: _Beginning_Algebra_ (Lumen) /08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), / content / body / div [10] / div [3] / div / p [3] / span, línea 1 , columna 3

= 5 ). Has encontrado la raíz cúbica, los tres factores idénticos que cuando se multiplican juntos dan 125. 125 se conoce como cubo perfecto porque su raíz cúbica es un número entero.

A continuación, se muestra un ejemplo de cómo simplificar un radical que no es un cubo perfecto.

Ejemplo

Simplificar. ( sqrt [3] {32

ParseError: EOF esperado (haga clic para obtener más detalles)

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})

[revel-answer q = ”617053 ″] Mostrar solución [/ revel-answer]
[hidden-answer a = ”617053 ″] Factoriza 32 en factores primos.

( sqrt [3] {2 cdot 2 cdot 2 cdot 2 cdot 2 cdot

ParseError: EOF esperado (haga clic para obtener más detalles)

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})

Ya que está buscando la raíz cúbica, necesita encontrar factores que aparezcan 3 veces debajo del radical. Volver a escribir (

ParseError: EOF esperado (haga clic para obtener más detalles)

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).

( sqrt [3]

ParseError: se esperan dos puntos (haga clic para obtener más detalles)

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)

Volver a escribir (

ParseError: EOF esperado (haga clic para obtener más detalles)

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cdot

ParseError: EOF esperado (haga clic para obtener más detalles)

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).

( sqrt [3]

ParseError: se esperan dos puntos (haga clic para obtener más detalles)

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)

Reescribe la expresión como producto de varios radicales.

( sqrt [3]

ParseError: se esperan dos puntos (haga clic para obtener más detalles)

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cdot sqrt [3] {2 cdot 2} cdot sqrt [3]

ParseError: se esperan dos puntos (haga clic para obtener más detalles)

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cdot sqrt [3]

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)

Simplifica y multiplica.

(2 cdot sqrt [3] {4} cdot m cdot sqrt [3]

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)

Respuesta

( sqrt [3] {32

ParseError: EOF esperado (haga clic para obtener más detalles)

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} = 2 m sqrt [3] {4

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})

[/ respuesta-oculta]

En el siguiente ejemplo, usamos la siguiente idea:

( sqrt [3]

ParseError: se esperan dos puntos (haga clic para obtener más detalles)

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=-1)

para simplificar el radical. No tiene que hacer esto, pero puede ayudarlo a reconocer los cubos más fácilmente cuando no son negativos.

Ejemplo

Simplificar. ( sqrt [3] {- 27

ParseError: EOF esperado (haga clic para obtener más detalles)

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ParseError: EOF esperado (haga clic para obtener más detalles)

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})

[revel-answer q = ”670300 ″] Mostrar solución [/ revel-answer]
[hidden-answer a = ”670300 ″] Factoriza la expresión en cubos.

Separe los factores al cubo en radicales individuales.

( begin {matriz} {r} sqrt [3] {- 1 cdot 27 cdot

ParseError: EOF esperado (haga clic para obtener más detalles)

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cdot

ParseError: EOF esperado (haga clic para obtener más detalles)

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} sqrt [3]

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sqrt [3]

ParseError: se esperan dos puntos (haga clic para obtener detalles)

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cdot sqrt [3]

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cdot sqrt [3]

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cdot sqrt [3] {x} cdot sqrt [3]

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end {matriz} )

Simplifica las raíces cúbicas.

(- 1 cdot 3 cdot x cdot y cdot sqrt [3] {x} )

Respuesta

( sqrt [3] {- 27

ParseError: EOF esperado (haga clic para obtener más detalles)

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} = - 3xy sqrt [3] {x} )

[/ respuesta-oculta]

En el video que sigue, mostramos más ejemplos de simplificación de raíces cúbicas.

Se ha excluido un elemento de YouTube de esta versión del texto. Puede verlo en línea aquí: pb.libretexts.org/ba/?p=140

Puede verificar su respuesta realizando la operación inversa. Si tiene razón, cuando cubra (- 27

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).

( begin {matriz} {l} left (-3xy sqrt [3] {x} right) left (-3xy sqrt [3] {x} right) left (-3xy sqrt [ 3] {x} derecha) - 3 cdot -3 cdot -3 cdot x cdot x cdot x cdot y cdot y cdot y cdot sqrt [3] {x} cdot sqrt [3] {x} cdot sqrt [3] {x} - 27 cdot

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cdot

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cdot sqrt [3]

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\-27

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cdot x - 27

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ParseError: EOF esperado (haga clic para obtener más detalles)

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end {matriz} )

Puede encontrar la raíz impar de un número negativo, pero no puede encontrar la raíz par de un número negativo. Esto significa que puede simplificar los radicales ( sqrt [7] {- 2187} ), pero no puede simplificar los radicales ( sqrt [6] {- 2,500} ).

Veamos otro ejemplo.

Ejemplo

Simplificar. ( sqrt [3] {- 24

ParseError: EOF esperado (haga clic para obtener más detalles)

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})

[revel-answer q = ”473861 ″] Mostrar solución [/ revel-answer]
[hidden-answer a = ”473861 ″] Factor (- 1 ) y 8 son los cubos perfectos.

( sqrt [3] {- 1 cdot 8 cdot 3 cdot

ParseError: EOF esperado (haga clic para obtener más detalles)

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})

Variables de factor. Estás buscando exponentes de cubo, entonces factorizas (a ^ {3} ) y (a ^ {2} ).

( sqrt [3]

ParseError: se esperan dos puntos (haga clic para obtener detalles)

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)

Separe los factores en radicales individuales.

( sqrt [3]

ParseError: se esperan dos puntos (haga clic para obtener detalles)

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cdot sqrt [3]

ParseError: se esperan dos puntos (haga clic para obtener más detalles)

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cdot sqrt [3]

ParseError: se esperan dos puntos (haga clic para obtener detalles)

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cdot sqrt [3] {3 cdot

ParseError: EOF esperado (haga clic para obtener más detalles)

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})

Simplifica, usando la propiedad ( sqrt [3]

ParseError: se esperan dos puntos (haga clic para obtener detalles)

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= x ).

(- 1 cdot 2 cdot a cdot sqrt [3] {3 cdot

ParseError: EOF esperado (haga clic para obtener más detalles)

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})

Ésta es la forma más simple de esta expresión; todos los cubos se han eliminado de la expresión radical.

(- 2a sqrt [3] {3

ParseError: EOF esperado (haga clic para obtener más detalles)

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})

Respuesta

( sqrt [3] {- 24

ParseError: EOF esperado (haga clic para obtener más detalles)

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} = - 2a sqrt [3] {3

ParseError: EOF esperado (haga clic para obtener más detalles)

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})

[/ respuesta-oculta]

Los pasos a considerar al simplificar un radical se describen a continuación.

Simplificando un radical

Al trabajar con exponentes y radicales:

  • Si norte es impar, ( sqrt [n]

    ParseError: se esperan dos puntos (haga clic para obtener detalles)

    Pila de llamadas: at (Courses / Lumen_Learning / Book: _Beginning_Algebra_ (Lumen) /08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), / content / body / div [10] / div [6] / div [1] / div / div / ul / li [1] / span, línea 1, columna 3
    = x ).
  • Si norte es par, ( sqrt [n]

    ParseError: se esperan dos puntos (haga clic para obtener detalles)

    Pila de llamadas: at (Courses / Lumen_Learning / Book: _Beginning_Algebra_ (Lumen) /08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), / content / body / div [10] / div [6] / div [1] / div / div / ul / li [2] / span, línea 1, columna 3
    = left | x derecha | ). (El valor absoluto explica el hecho de que si X es negativo y elevado a una potencia par, ese número será positivo, al igual que el nortela raíz principal de ese número).

Ejemplo

Simplificar. ( sqrt {100

ParseError: EOF esperado (haga clic para obtener más detalles)

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ParseError: EOF esperado (haga clic para obtener más detalles)

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})

[revel-answer q = ”982628 ″] Mostrar solución [/ revel-answer]
[hidden-answer a = ”982628 ″] Factores separados; busque números cuadrados y variables. Factoriza 100 en (10 ​​ cdot10 ).

( sqrt {10 cdot 10 cdot

ParseError: EOF esperado (haga clic para obtener más detalles)

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cdot

ParseError: EOF esperado (haga clic para obtener más detalles)

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})

Factoriza ( left (y ^ {2} right) ^ {2} ).

( sqrt {10 cdot 10 cdot

ParseError: EOF esperado (haga clic para obtener más detalles)

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cdot

ParseError: "}" esperado (haga clic para obtener más detalles)

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})

Separe los factores al cuadrado en radicales individuales.

( sqrt

ParseError: se esperan dos puntos (haga clic para obtener detalles)

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cdot sqrt

ParseError: se esperan dos puntos (haga clic para obtener más detalles)

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cdot sqrt

ParseError: "}" esperado (haga clic para obtener más detalles)

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)

Saca la raíz cuadrada de cada radical. Como no sabes si X es positivo o negativo, use ( left | x right | ) para tener en cuenta ambas posibilidades, garantizando así que su respuesta será positiva.

(10 ​​ cdot left | x right | cdot {y} ^ {2} )

Simplifica y multiplica.

(10 ​​ left | x right | y ^ {2} )

Respuesta

( sqrt {100

ParseError: EOF esperado (haga clic para obtener más detalles)

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ParseError: EOF esperado (haga clic para obtener más detalles)

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} = 10 left | x right |

ParseError: EOF esperado (haga clic para obtener más detalles)

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)

[/ respuesta-oculta]

Puede verificar su respuesta elevándola al cuadrado para asegurarse de que sea igual a (100

ParseError: EOF esperado (haga clic para obtener más detalles)

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ParseError: EOF esperado (haga clic para obtener más detalles)

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).

En el último video, compartimos ejemplos de cómo encontrar raíces cúbicas con radicandos negativos.

Se ha excluido un elemento de YouTube de esta versión del texto. Puede verlo en línea aquí: pb.libretexts.org/ba/?p=140

Simplificar raíces cuadradas con variables

Expresiones radicales son expresiones que contienen radicales. Las expresiones radicales vienen en muchas formas, desde simples y familiares, como ( sqrt [3] {250

ParseError: EOF esperado (haga clic para obtener más detalles)

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y} ). Con la factorización, también puede simplificar estas expresiones radicales.

Radical

Simplificando raíces cuadradas

Las expresiones radicales a veces incluirán variables además de números. Considere la expresión ( sqrt {9

ParseError: EOF esperado (haga clic para obtener más detalles)

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} ). Simplificar una expresión radical con variables no es tan sencillo como los ejemplos que ya hemos mostrado con números enteros.

Considere la expresión ( sqrt

ParseError: se esperan dos puntos (haga clic para obtener detalles)

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). Esto parece que debería ser igual a X, ¿derecho? Probemos algunos valores para X y mira lo que pasa.

En el cuadro siguiente, mire a lo largo de cada fila y determine si el valor de X es el mismo que el valor de ( sqrt

ParseError: se esperan dos puntos (haga clic para obtener más detalles)

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). ¿Dónde son iguales? ¿Dónde no son iguales?

Después de hacer eso para cada fila, vuelva a mirar y determine si el valor de ( left | x right | ).

(x ^ {2} ) ( izquierda | x derecha | )
(−2)422
0000
63666
101001010

Aviso: en los casos en que X es un número negativo, ( sqrt {x ^ {2}} = left | x right | ). Debe considerar este hecho al simplificar radicales que contienen variables, porque por definición ( sqrt {x ^ {2}} ) siempre es no negativo.

Sacar la raíz cuadrada de una expresión radical

Al encontrar la raíz cuadrada de una expresión que contiene variables elevadas a una potencia, considere que ( sqrt {x ^ {2}} = left | x right | ).

Ejemplos: ( sqrt {16

ParseError: EOF esperado (haga clic para obtener más detalles)

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ParseError: EOF esperado (haga clic para obtener más detalles)

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} = 4 izquierda | xy derecha | )

Vamos a intentarlo.
El objetivo es encontrar factores debajo del radical que sean cuadrados perfectos para que puedas sacar su raíz cuadrada.

Ejemplo

Simplificar. ( sqrt {9

ParseError: EOF esperado (haga clic para obtener más detalles)

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})

[revel-answer q = ”41297 ″] Mostrar solución [/ revel-answer]
[hidden-answer a = ”41297 ″] Factoriza para encontrar pares idénticos.

( sqrt {3 cdot 3 cdot

ParseError: EOF esperado (haga clic para obtener más detalles)

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cdot

ParseError: EOF esperado (haga clic para obtener más detalles)

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})

Reescribe los pares como cuadrados perfectos, observa cómo usamos la regla de la potencia para los exponentes para simplificar ({x ^ 3} ^ 2 )

( sqrt

ParseError: se esperan dos puntos (haga clic para obtener más detalles)

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)

Separe en radicales individuales.

( sqrt

ParseError: se esperan dos puntos (haga clic para obtener más detalles)

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cdot sqrt

ParseError: "}" esperado (haga clic para obtener más detalles)

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)

Simplifica, usando la regla que ( sqrt

ParseError: se esperan dos puntos (haga clic para obtener más detalles)

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= izquierda | x derecha | ).

(3 left |

ParseError: EOF esperado (haga clic para obtener más detalles)

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derecha | )

Respuesta

( sqrt {9

ParseError: EOF esperado (haga clic para obtener más detalles)

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} = 3 left |

ParseError: EOF esperado (haga clic para obtener más detalles)

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derecha | )

[/ respuesta-oculta]

Los factores variables con exponentes pares se pueden escribir como cuadrados. En el ejemplo anterior, (

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=

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cdot

ParseError: EOF esperado (haga clic para obtener más detalles)

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= { left | x ^ 3 right |} ^ {2} ) y

(

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=

ParseError: EOF esperado (haga clic para obtener más detalles)

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cdot

ParseError: EOF esperado (haga clic para obtener más detalles)

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= { left (| y ^ 2 right |)} ^ {2} ).

Intentemos simplificar otra expresión radical.

Ejemplo

Simplificar. ( sqrt {49

ParseError: EOF esperado (haga clic para obtener más detalles)

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ParseError: EOF esperado (haga clic para obtener más detalles)

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})

[revel-answer q = ”283065 ″] Mostrar solución [/ revel-answer]
[hidden-answer a = ”283065 ″] Busque números cuadrados y variables. Factoriza 49 en (x ^ {10} ) en (y ^ {8} ) en (y ^ {4} cdot {y} ^ {4} ).

( sqrt {7 cdot 7 cdot

ParseError: EOF esperado (haga clic para obtener más detalles)

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cdot

ParseError: EOF esperado (haga clic para obtener más detalles)

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cdot

ParseError: EOF esperado (haga clic para obtener más detalles)

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cdot

ParseError: EOF esperado (haga clic para obtener más detalles)

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})

Reescribe los pares como cuadrados.

( sqrt

ParseError: se esperan dos puntos (haga clic para obtener más detalles)

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)

Separe los factores al cuadrado en radicales individuales.

( sqrt {7 ^ 2} cdot sqrt {({x ^ 5}) ^ 2} cdot sqrt {({y ^ 4}) ^ 2} )

Saca la raíz cuadrada de cada radical usando la regla que ( sqrt

ParseError: se esperan dos puntos (haga clic para obtener más detalles)

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= izquierda | x derecha | ).

(7 cdot left |

ParseError: EOF esperado (haga clic para obtener más detalles)

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right | cdot

ParseError: EOF esperado (haga clic para obtener más detalles)

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)

Multiplicar.

(7 left |

ParseError: EOF esperado (haga clic para obtener más detalles)

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right |

ParseError: EOF esperado (haga clic para obtener más detalles)

Pila de llamadas: at (Courses / Lumen_Learning / Book: _Beginning_Algebra_ (Lumen) /08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), / content / body / div [12] / div [3] / p [11] / span [2], line 1, columna 2

)

Respuesta

( sqrt {49

ParseError: EOF esperado (haga clic para obtener más detalles)

Pila de llamadas: at (Courses / Lumen_Learning / Book: _Beginning_Algebra_ (Lumen) /08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), / content / body / div [12] / div [3] / div / p [1] / span [1] , línea 1, columna 2

ParseError: EOF esperado (haga clic para obtener más detalles)

Pila de llamadas: at (Courses / Lumen_Learning / Book: _Beginning_Algebra_ (Lumen) /08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), / content / body / div [12] / div [3] / div / p [1] / span [2] , línea 1, columna 2

} = 7 left |

ParseError: EOF esperado (haga clic para obtener más detalles)

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right |

ParseError: EOF esperado (haga clic para obtener más detalles)

Pila de llamadas: at (Courses / Lumen_Learning / Book: _Beginning_Algebra_ (Lumen) /08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), / content / body / div [12] / div [3] / div / p [1] / span [4] , línea 1, columna 2

)

[/ respuesta-oculta]

Encuentra que la raíz cuadrada de (7 left |

ParseError: EOF esperado (haga clic para obtener más detalles)

Pila de llamadas: at (Courses / Lumen_Learning / Book: _Beginning_Algebra_ (Lumen) /08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), / content / body / div [12] / div [3] / div / p [3] / span [1] , línea 1, columna 2

right |

ParseError: EOF esperado (haga clic para obtener más detalles)

Pila de llamadas: at (Courses / Lumen_Learning / Book: _Beginning_Algebra_ (Lumen) /08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), / content / body / div [12] / div [3] / div / p [3] / span [2] , línea 1, columna 2

). Para comprobar este cálculo, puede elevar al cuadrado (49

ParseError: EOF esperado (haga clic para obtener más detalles)

Pila de llamadas: at (Courses / Lumen_Learning / Book: _Beginning_Algebra_ (Lumen) /08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), / content / body / div [12] / div [3] / div / p [3] / span [3] , línea 1, columna 2

ParseError: EOF esperado (haga clic para obtener más detalles)

Pila de llamadas: at (Courses / Lumen_Learning / Book: _Beginning_Algebra_ (Lumen) /08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), / content / body / div [12] / div [3] / div / p [3] / span [4] , línea 1, columna 2

). Y, de hecho, obtendría esta expresión si evaluara ({ left ({7 left |

ParseError: EOF esperado (haga clic para obtener más detalles)

Pila de llamadas: at (Courses / Lumen_Learning / Book: _Beginning_Algebra_ (Lumen) /08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), / content / body / div [12] / div [3] / div / p [3] / span [5] , línea 1, columna 2

right |

ParseError: EOF esperado (haga clic para obtener más detalles)

Pila de llamadas: at (Courses / Lumen_Learning / Book: _Beginning_Algebra_ (Lumen) /08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), / content / body / div [12] / div [3] / div / p [3] / span [6] , línea 1, columna 2

} derecha) ^ {2}} ).

En el video que sigue mostramos varios ejemplos de simplificación de radicales con variables.

Se ha excluido un elemento de YouTube de esta versión del texto. Puede verlo en línea aquí: pb.libretexts.org/ba/?p=140

Ejemplo

Simplificar. ( sqrt

ParseError: se esperan dos puntos (haga clic para obtener más detalles)

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)

[revel-answer q = ”141094 ″] Mostrar solución [/ revel-answer]
[hidden-answer a = ”141094 ″] Factoriza para encontrar variables con exponentes pares.

( sqrt

ParseError: se esperan dos puntos (haga clic para obtener más detalles)

Pila de llamadas: at (Courses / Lumen_Learning / Book: _Beginning_Algebra_ (Lumen) /08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), / content / body / div [12] / div [4] / p [3] / span, línea 1, columna 3

)

Reescribe ( left (b ^ {2} right) ^ {2} ).

( sqrt

ParseError: se esperan dos puntos (haga clic para obtener más detalles)

Pila de llamadas: at (Courses / Lumen_Learning / Book: _Beginning_Algebra_ (Lumen) /08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), / content / body / div [12] / div [4] / p [5] / span, línea 1, columna 3

)

Separe los factores al cuadrado en radicales individuales.

( sqrt

ParseError: se esperan dos puntos (haga clic para obtener más detalles)

Pila de llamadas: at (Courses / Lumen_Learning / Book: _Beginning_Algebra_ (Lumen) /08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), / content / body / div [12] / div [4] / p [7] / span [1], line 1, columna 3

cdot sqrt

ParseError: "}" esperado (haga clic para obtener más detalles)

Pila de llamadas: at (Courses / Lumen_Learning / Book: _Beginning_Algebra_ (Lumen) /08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), / content / body / div [12] / div [4] / p [7] / span [2], line 1, columna 4

cdot sqrt

ParseError: se esperan dos puntos (haga clic para obtener más detalles)

Pila de llamadas: at (Courses / Lumen_Learning / Book: _Beginning_Algebra_ (Lumen) /08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), / content / body / div [12] / div [4] / p [7] / span [3], line 1, columna 3

cdot sqrt {a cdot b} )

Saca la raíz cuadrada de cada radical. Recuerda que ( sqrt

ParseError: se esperan dos puntos (haga clic para obtener más detalles)

Pila de llamadas: at (Courses / Lumen_Learning / Book: _Beginning_Algebra_ (Lumen) /08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), / content / body / div [12] / div [4] / p [8] / span, línea 1, columna 3

= left | a derecha | ).

( izquierda | a derecha | cdot

ParseError: EOF esperado (haga clic para obtener más detalles)

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cdot left | {c} right | cdot sqrt {a cdot b} )

Simplifica y multiplica. La cantidad total (b ^ 2 ) será positiva de todos modos.

( left | a

ParseError: EOF esperado (haga clic para obtener más detalles)

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c derecha | sqrt {ab} )

Respuesta

( sqrt

ParseError: se esperan dos puntos (haga clic para obtener más detalles)

Pila de llamadas: at (Courses / Lumen_Learning / Book: _Beginning_Algebra_ (Lumen) /08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), / content / body / div [12] / div [4] / div / p [1] / span [1] , línea 1, columna 3

= left | a

ParseError: EOF esperado (haga clic para obtener más detalles)

Pila de llamadas: at (Courses / Lumen_Learning / Book: _Beginning_Algebra_ (Lumen) /08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), / content / body / div [12] / div [4] / div / p [1] / span [2] , línea 1, columna 2

c derecha | sqrt {ab} )

[/ respuesta-oculta]

En la siguiente sección, exploraremos las raíces cúbicas y usaremos los métodos que mostramos aquí para simplificarlas. Las raíces cúbicas son únicas de las raíces cuadradas en que es posible tener un número negativo debajo de la raíz, como ( sqrt [3] {- 125} ).

Exponentes racionales

Las raíces también se pueden expresar como exponentes fraccionarios. La raíz cuadrada de un número se puede escribir con un símbolo radical o elevando el número a la potencia ( frac {1} {2} ). Esto se ilustra en la tabla siguiente.

Forma de exponenteForma raízRaíz de un cuadradoSimplificado
( sqrt {25} )(

ParseError: EOF esperado (haga clic para obtener más detalles)

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)
( sqrt

ParseError: se esperan dos puntos (haga clic para obtener más detalles)

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)
4
( sqrt {100} ) ( sqrt

ParseError: se esperan dos puntos (haga clic para obtener más detalles)

Pila de llamadas: at (Courses / Lumen_Learning / Book: _Beginning_Algebra_ (Lumen) /08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), / content / body / div [13] / table [1] / tbody / tr [2] / td [2] / span, línea 1, columna 4
)
10

Usa el siguiente ejemplo para familiarizarte con las diferentes formas de escribir raíces cuadradas.

Ejemplo

Complete las celdas que faltan en la tabla.

Forma de exponenteForma raízRaíz de un cuadradoSimplificado
( sqrt {81} )
( sqrt

ParseError: se esperan dos puntos (haga clic para obtener más detalles)

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)

[revel-answer q = ”990781 ″] Mostrar solución [/ revel-answer]
[respuesta oculta a = ”990781 ″]

Forma de exponenteForma raízRaíz de un cuadradoSimplificado
( sqrt {36} )(

ParseError: EOF esperado (haga clic para obtener más detalles)

Pila de llamadas: at (Courses / Lumen_Learning / Book: _Beginning_Algebra_ (Lumen) /08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), / content / body / div [13] / div [1] / table [2] / tbody / tr [1] / td [2] / span, línea 1, columna 3
)
( sqrt

ParseError: se esperan dos puntos (haga clic para obtener más detalles)

Pila de llamadas: at (Courses / Lumen_Learning / Book: _Beginning_Algebra_ (Lumen) /08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), / content / body / div [13] / div [1] / table [2] / tbody / tr [1] / td [3] / span, línea 1, columna 3
)
9
( sqrt {144} ) ( sqrt

ParseError: se esperan dos puntos (haga clic para obtener más detalles)

Pila de llamadas: at (Courses / Lumen_Learning / Book: _Beginning_Algebra_ (Lumen) /08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), / content / body / div [13] / div [1] / table [2] / tbody / tr [2] / td [2] / span, línea 1, columna 4
)
12

[/ respuesta-oculta]

En el siguiente video, mostramos otro ejemplo de cómo completar una tabla para conectar las diferentes notación utilizadas para las raíces.

Se ha excluido un elemento de YouTube de esta versión del texto. Puede verlo en línea aquí: pb.libretexts.org/ba/?p=140

Podemos extender el concepto de escritura ( sqrt {x} = x ^ { frac {1} {2}} ) a raíces cúbicas. Recuerde, al elevar un número al cubo, se eleva a la potencia de tres. Observe que en estos ejemplos, el denominador del exponente racional es el número 3.

Forma radical

Forma de exponente

Entero

(

ParseError: EOF esperado (haga clic para obtener más detalles)

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)
2
(

ParseError: EOF esperado (haga clic para obtener más detalles)

Pila de llamadas: at (Courses / Lumen_Learning / Book: _Beginning_Algebra_ (Lumen) /08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), / content / body / div [13] / table [2] / tbody / tr [2] / td [1] / span, línea 1, columna 4
)
5
(

ParseError: EOF esperado (haga clic para obtener más detalles)

Pila de llamadas: at (Courses / Lumen_Learning / Book: _Beginning_Algebra_ (Lumen) /08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), / content / body / div [13] / table [2] / tbody / tr [3] / td [1] / span, línea 1, columna 5
)
10

Estos ejemplos nos ayudan a modelar una relación entre radicales y exponentes racionales: a saber, que el norteLa raíz de un número se puede escribir como (

ParseError: EOF esperado (haga clic para obtener más detalles)

Pila de llamadas: at (Courses / Lumen_Learning / Book: _Beginning_Algebra_ (Lumen) /08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), / content / body / div [13] / p [5] / span, línea 1, columna 2

).

Forma radical

Forma de exponente

(

ParseError: EOF esperado (haga clic para obtener más detalles)

Pila de llamadas: at (Courses / Lumen_Learning / Book: _Beginning_Algebra_ (Lumen) /08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), / content / body / div [13] / table [3] / tbody / tr [1] / td / span, línea 1, columna 2
)
(

ParseError: EOF esperado (haga clic para obtener más detalles)

Pila de llamadas: at (Courses / Lumen_Learning / Book: _Beginning_Algebra_ (Lumen) /08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), / content / body / div [13] / table [3] / tbody / tr [2] / td / span, línea 1, columna 2
)
(

ParseError: EOF esperado (haga clic para obtener más detalles)

Pila de llamadas: at (Courses / Lumen_Learning / Book: _Beginning_Algebra_ (Lumen) /08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), / content / body / div [13] / table [3] / tbody / tr [3] / td / span, línea 1, columna 2
)
(

ParseError: EOF esperado (haga clic para obtener más detalles)

Pila de llamadas: at (Courses / Lumen_Learning / Book: _Beginning_Algebra_ (Lumen) /08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), / content / body / div [13] / table [3] / tbody / tr [5] / td / span, línea 1, columna 2
)

Convertir entre notación radical y exponente

Cuando te enfrentas a una expresión que contiene un exponente racional, puedes reescribirla usando un radical. En la tabla anterior, observe cómo el denominador del exponente racional determina el índice de la raíz. Entonces, un exponente de ( frac {1} {5} ) se traduce en la quinta raíz o ( frac {1} {8} ) se traduce en la octava raíz o ( sqrt [8]

ParseError: DekiScript no válido (haga clic para obtener más detalles)

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) .

Ejemplo

Escribir ( sqrt [4] ) se puede reescribir como el exponente ( frac {1} {4} ). Quita el radical y coloca el exponente al lado de la base.

(

ParseError: EOF esperado (haga clic para obtener más detalles)

Pila de llamadas: at (Courses / Lumen_Learning / Book: _Beginning_Algebra_ (Lumen) /08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), / content / body / div [14] / div [1] / p [2] / span, línea 1, columna 3

)

Respuesta

( sqrt [3] {81} =

ParseError: EOF esperado (haga clic para obtener más detalles)

Pila de llamadas: at (Courses / Lumen_Learning / Book: _Beginning_Algebra_ (Lumen) /08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), / content / body / div [14] / div [1] / div / p [1] / span, línea 1 , columna 3

)

[/ respuesta-oculta]

Ejemplo

Rápido (

ParseError: ")" esperado (haga clic para obtener más detalles)

Pila de llamadas: at (Courses / Lumen_Learning / Book: _Beginning_Algebra_ (Lumen) /08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), / content / body / div [14] / div [2] / p [1] / span, línea 1, columna 3

) en forma radical.

[revel-answer q = ”581351 ″] Mostrar solución [/ revel-answer]
[hidden-answer a = ”581351 ″] Vuelva a escribir la expresión con el exponente fraccionario como radical. El denominador de la fracción determina la raíz, en este caso la raíz cúbica.

( sqrt [3] {2x} )

Los paréntesis en (

ParseError: DekiScript no válido (haga clic para obtener más detalles)

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) indican que el exponente se refiere a todo lo que está entre paréntesis.

Respuesta

(

ParseError: ")" esperado (haga clic para obtener más detalles)

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= sqrt [3] {2x} )

[/ respuesta-oculta]

Recuerde que los exponentes solo se refieren a la cantidad inmediatamente a su izquierda, a menos que se use un símbolo de agrupación. El siguiente ejemplo es muy similar al ejemplo anterior con una diferencia importante: ¡no hay paréntesis! Mira lo que pasa.

Ejemplo

Expreso (2

ParseError: EOF esperado (haga clic para obtener más detalles)

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) en forma radical.

[revel-answer q = ”236347 ″] Mostrar solución [/ revel-answer]
[hidden-answer a = ”236347 ″] Vuelva a escribir la expresión con el exponente fraccionario como radical. El denominador de la fracción determina la raíz, en este caso la raíz cúbica.

(2 sqrt {x} )

El exponente se refiere solo a la parte de la expresión inmediatamente a la izquierda del exponente, en este caso X, pero no el 2.

Respuesta

(2

ParseError: EOF esperado (haga clic para obtener más detalles)

Pila de llamadas: at (Courses / Lumen_Learning / Book: _Beginning_Algebra_ (Lumen) /08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), / content / body / div [14] / div [3] / div / p [1] / span, línea 1 , columna 2

= 2 sqrt {x} )

[/ respuesta-oculta]

El siguiente ejemplo está destinado a ayudarte a practicar la colocación de un exponente racional en los términos apropiados en una expresión que está escrita en forma radical.

Ejemplo

Expresa (4 sqrt [3] {xy} ) con exponentes racionales.

[revel-answer q = ”527560 ″] Mostrar solución [/ revel-answer]
[hidden-answer a = ”527560 ″] Reescribe el radical usando un exponente racional. La raíz determina la fracción. En este caso, el índice del radical es 3, por lo que el exponente racional será ( frac {1} {3} ).

(4

ParseError: EOF esperado (haga clic para obtener más detalles)

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)

Dado que 4 está fuera del radical, no está incluido en el símbolo de agrupación y el exponente no se refiere a él.

Respuesta

(4 sqrt [3] {xy} = 4

ParseError: EOF esperado (haga clic para obtener más detalles)

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)

[/ respuesta-oculta]

En el siguiente video, mostramos ejemplos de conversión entre forma radical y exponente.

Se ha excluido un elemento de YouTube de esta versión del texto. Puede verlo en línea aquí: pb.libretexts.org/ba/?p=140

Cuando se convierte de notación radical a exponente racional, el grado de la raíz se convierte en el denominador del exponente. Si comienzas con una raíz cuadrada, tendrás un exponente de ( frac {1} {3} ) usarás una raíz cúbica. La siguiente declaración resume esta idea.

Escribir exponentes fraccionarios

Cualquier radical en la forma (a ^ { frac {1} {n}} ).

Simplificar expresiones radicales usando exponentes racionales y las leyes de los exponentes

Exploremos algunas expresiones radicales ahora y veamos cómo simplificarlas. Comencemos simplificando esta expresión, ( sqrt [3]

ParseError: se esperan dos puntos (haga clic para obtener más detalles)

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).

Un método para simplificar esta expresión es factorizar y extraer grupos de (a ^ {3} ), como se muestra a continuación en este ejemplo.

Ejemplo

Simplificar. ( sqrt [3]

ParseError: se esperan dos puntos (haga clic para obtener más detalles)

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)

[revel-answer q = ”235013 ″] Mostrar solución [/ revel-answer]
[hidden-answer a = ”235013 ″] Vuelva a escribir factorizando cubos.

( sqrt [3]

ParseError: se esperan dos puntos (haga clic para obtener más detalles)

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)

Escribe cada factor debajo de su propio radical y simplifica.

( begin {matriz} {r} sqrt [3]

ParseError: se esperan dos puntos (haga clic para obtener más detalles)

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cdot sqrt [3]

ParseError: se esperan dos puntos (haga clic para obtener más detalles)

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a cdot {a} end {matriz} )

Respuesta

( sqrt [3]

ParseError: se esperan dos puntos (haga clic para obtener más detalles)

Pila de llamadas: at (Courses / Lumen_Learning / Book: _Beginning_Algebra_ (Lumen) /08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), / content / body / div [15] / div [1] / div / p [1] / span [1] , línea 1, columna 3

=

ParseError: EOF esperado (haga clic para obtener más detalles)

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)

[/ respuesta-oculta]

También puede simplificar esta expresión pensando en el radical como una expresión con un exponente racional y utilizando el principio de que cualquier radical en la forma (

ParseError: EOF esperado (haga clic para obtener más detalles)

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).

Ejemplo

Simplificar. ( sqrt [3]

ParseError: se esperan dos puntos (haga clic para obtener más detalles)

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)

[revel-answer q = ”898415 ″] Mostrar solución [/ revel-answer]
[hidden-answer a = ”898415 ″] Vuelve a escribir el radical usando un exponente racional.

(

ParseError: EOF esperado (haga clic para obtener más detalles)

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)

Simplifica el exponente.

(

ParseError: EOF esperado (haga clic para obtener más detalles)

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)

Respuesta

( sqrt [3]

ParseError: se esperan dos puntos (haga clic para obtener más detalles)

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=

ParseError: EOF esperado (haga clic para obtener más detalles)

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)

[/ respuesta-oculta]

Tenga en cuenta que los exponentes racionales están sujetos a las mismas reglas que otros exponentes cuando aparecen en expresiones algebraicas.

Ambos métodos de simplificación dieron el mismo resultado, (a ^ {2} ). Dependiendo del contexto del problema, puede ser más fácil usar un método u otro, pero por ahora, notarás que pudiste simplificar esta expresión más rápidamente usando exponentes racionales que usando el método "pull-out" método.

Probemos con otro ejemplo.

Ejemplo

Simplificar. ( sqrt [4] {81

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})

[revel-answer q = ”324337 ″] Mostrar solución [/ revel-answer]
[hidden-answer a = ”324337 ″] Vuelve a escribir el radical usando exponentes racionales.

(

ParseError: "}" esperado (haga clic para obtener más detalles)

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)

Usa las reglas de los exponentes para simplificar la expresión.

( begin {matriz} {r}

ParseError: EOF esperado (haga clic para obtener más detalles)

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cdot

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cdot

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\

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\

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\3

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end {matriz} )

Cambia la expresión con el exponente racional a la forma radical.

(3

ParseError: EOF esperado (haga clic para obtener más detalles)

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sqrt [4]

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)

Respuesta

( sqrt [4] {81

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}=3

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sqrt [4]

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)

[/ respuesta-oculta]

Nuevamente, el método alternativo es trabajar en la simplificación bajo el radical usando factorización. Para el ejemplo que acaba de resolver, se ve así.

Ejemplo

Simplificar. ( sqrt [4] {81

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ParseError: EOF esperado (haga clic para obtener más detalles)

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})

[revel-answer q = ”295348 ″] Mostrar solución [/ revel-answer]
[hidden-answer a = ”295348 ″] Vuelva a escribir la expresión.

( sqrt [4] {81} cdot sqrt [4]

ParseError: se esperan dos puntos (haga clic para obtener más detalles)

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cdot sqrt [4]

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)

Factoriza cada radicando.

( sqrt [4] {3 cdot 3 cdot 3 cdot 3} cdot sqrt [4]

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cdot sqrt [4]

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)

Simplificar.

( begin {matriz} {r} sqrt [4]

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cdot sqrt [4]

ParseError: "}" esperado (haga clic para obtener más detalles)

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cdot sqrt [4]

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3 cdot

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cdot sqrt [4]

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end {matriz} )

Respuesta

( sqrt [4] {81x ^ {8} y ^ {3}} = 3x ^ {2} sqrt [4] {y ^ {3}} )

[/ respuesta-oculta]

El siguiente video muestra más ejemplos de cómo simplificar una expresión radical usando exponentes racionales.

Se ha excluido un elemento de YouTube de esta versión del texto. Puede verlo en línea aquí: pb.libretexts.org/ba/?p=140

Resumen

La raíz cuadrada de un número es el número que, cuando se multiplica por sí mismo, da el número original. Las raíces cuadradas principales son siempre positivas y la raíz cuadrada de 0 es 0. Solo puede sacar la raíz cuadrada de los valores que no son negativos. La raíz cuadrada de un cuadrado perfecto será un número entero. Otras raíces cuadradas se pueden simplificar identificando factores que son cuadrados perfectos y sacando su raíz cuadrada.

Una expresión radical es una forma matemática de representar la nortela raíz de un número. Las raíces cuadradas y las raíces cúbicas son los radicales más comunes, pero una raíz puede ser cualquier número. Para simplificar expresiones radicales, busque factores exponenciales dentro del radical y luego use la propiedad ( sqrt [n]

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= left | x right | ) si norte es incluso sacar cantidades. Todas las reglas de operaciones con números enteros y exponentes se aplican al simplificar expresiones radicales.

Un radical se puede expresar como una expresión con un exponente fraccionario siguiendo la convención ( sqrt [n]

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=

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). Reescribir radicales usando exponentes fraccionarios puede ser útil para simplificar algunas expresiones radicales. Cuando trabaje con exponentes fraccionarios, recuerde que los exponentes fraccionarios están sujetos a las mismas reglas que otros exponentes cuando aparecen en expresiones algebraicas.


Cómo simplificar surds

Cuando aprenden a simplificar, los estudiantes deben comprender la diferencia entre un número racional e irracional.

Los números racionales incluyen números enteros y decimales finales y periódicos. Se pueden escribir como una fracción con el numerador y el denominador como números enteros.

Un número irracional es un número que, en su forma decimal, no termina ni se repite. Esto significa que no se puede expresar como una fracción con dos números enteros. π es un ejemplo de un número irracional con el que los estudiantes se habrían encontrado al aprender sobre círculos.

Otro tipo de número irracional es un Surd. Un surd es un número escrito exactamente usando raíces cuadradas o cúbicas. Por ejemplo, √2 y 3 √7 son surds. √16 y 3 √8 no son surds, porque √16 = 4 y 3 √8 = 2.


Class_8_mathematics para Class 8 Math Capítulo 2 - Cuadrados, raíces cuadradas, cubos, raíces cúbicas

Class_8_mathematics Soluciones para matemáticas de clase 8 Capítulo 2 Cuadrados, raíces cuadradas, cubos, raíces cúbicas se proporcionan aquí con explicaciones sencillas paso a paso. Estas soluciones para Cuadrados, Raíces cuadradas, Cubos, Raíces cúbicas son extremadamente populares entre los estudiantes de Clase 8 para Matemáticas Cuadrados, Raíces cuadradas, Cubos, Las soluciones de raíces cúbicas son útiles para completar rápidamente su tarea y prepararse para los exámenes. Todas las preguntas y respuestas del libro Class_8_mathematics del capítulo 2 de matemáticas de la clase 8 se proporcionan aquí de forma gratuita. También te encantará la experiencia sin anuncios en Class_8_mathematics Solutions de Meritnation. Todas las soluciones de Class_8_mathematics para la clase de matemáticas de clase 8 están preparadas por expertos y son 100% precisas.

Página No 30:

Pregunta 1:

Exprese matemáticamente las siguientes afirmaciones:

(I) el cuadrado de 4 es 6 (ii) el cuadrado de 8 es 64 (iii) el cuadrado de 15 es 225.

Respuesta:

Página No 30:

Pregunta 2:

Identifica los cuadrados de prefecto entre los siguientes números

1, 2, 3, 8, 36, 49, 65, 67, 71, 81, 169, 625, 125, 900, 100, 1000, 100000.


8.2 Simplificar expresiones radicales

Simplificaremos expresiones radicales de una manera similar a como simplificamos fracciones. Una fracción se simplifica si no hay factores comunes en el numerador y denominador. Para simplificar una fracción, buscamos cualquier factor común en el numerador y denominador.

Expresión radical simplificada

Para números reales a y metroy n ≥ 2, n ≥ 2,

Para simplificar expresiones radicales, también usaremos algunas propiedades de las raíces. Las propiedades que usaremos para simplificar expresiones radicales son similares a las propiedades de los exponentes. Sabemos que (a b) n = a n b n. (a b) n = a n b n. El correspondiente de la propiedad del producto de las raíces dice que a b n = a n · b n. a b norte = a norte · b n.

Propiedad del producto de norte th Raíces

Usamos la propiedad del producto de las raíces para eliminar todos los factores cuadrados perfectos de una raíz cuadrada.

Ejemplo 8.13

Simplificar raíces cuadradas usando la propiedad del producto de raíces

Solución

Tenga cuidado de escribir su número entero para que no se confunda con el índice. La expresión 7 2 7 2 es muy diferente de 2 7. 2 7.

Cómo

Simplifique una expresión radical usando la propiedad del producto.

  1. Paso 1. Encuentre el factor más grande en el radicando que sea una potencia perfecta del índice. Reescribe el radicando como un producto de dos factores, usando ese factor.
  2. Paso 2. Usa la regla del producto para reescribir el radical como el producto de dos radicales.
  3. Paso 3. Simplifique la raíz del poder perfecto.

Aplicaremos este método en el siguiente ejemplo. Puede ser útil tener una tabla de cuadrados perfectos, cubos y cuartas potencias.

Ejemplo 8.14

Solución

El siguiente ejemplo es muy parecido a los ejemplos anteriores, pero con variables. No olvide utilizar los signos de valor absoluto al sacar una raíz par de una expresión con una variable en el radical.

Ejemplo 8.15

Solución

Seguimos el mismo procedimiento cuando hay un coeficiente en el radicando. En el siguiente ejemplo, tanto la constante como la variable tienen factores de cuadrados perfectos.

Ejemplo 8.16

Solución

En el siguiente ejemplo, continuamos usando los mismos métodos aunque hay más de una variable debajo del radical.

Ejemplo 8.17

Solución

Ejemplo 8.18

Solución

Hemos visto cómo usar el orden de las operaciones para simplificar algunas expresiones con radicales. En el siguiente ejemplo, tenemos la suma de un número entero y una raíz cuadrada. Simplificamos la raíz cuadrada, pero no podemos agregar la expresión resultante al número entero, ya que un término contiene un radical y el otro no. El siguiente ejemplo también incluye una fracción con un radical en el numerador. Recuerda que para simplificar una fracción necesitas un factor común en el numerador y denominador.

Ejemplo 8.19

Solución

Los términos no se pueden agregar ya que uno tiene un radical y el otro no. Intentar sumar un entero y un radical es como intentar sumar un entero y una variable. ¡No son términos semejantes!

Utilice la propiedad del cociente para simplificar expresiones radicales

Siempre que tenga que simplificar una expresión radical, el primer paso que debe dar es determinar si el radicando es una potencia perfecta del índice. Si no es así, verifique el numerador y el denominador en busca de factores comunes y elimínelos. Puede encontrar una fracción en la que tanto el numerador como el denominador sean potencias perfectas del índice.

Ejemplo 8.20

Solución

En el último ejemplo, nuestro primer paso fue simplificar la fracción debajo del radical eliminando los factores comunes. En el siguiente ejemplo usaremos la propiedad del cociente para simplificar bajo el radical. Dividimos las bases semejantes restando sus exponentes,

Ejemplo 8.21

Solución

¿Recuerda el cociente de una propiedad de potencia? Decía que podíamos elevar una fracción a una potencia elevando el numerador y el denominador a la potencia por separado.

Podemos usar una propiedad similar para simplificar la raíz de una fracción. Después de eliminar todos los factores comunes del numerador y denominador, si la fracción no es una potencia perfecta del índice, simplificamos el numerador y el denominador por separado.

Propiedad del cociente de expresiones radicales

Ejemplo 8.22

Cómo simplificar el cociente de expresiones radicales

Solución

Cómo

Simplifique una raíz cuadrada usando la propiedad del cociente.

  1. Paso 1. Simplifique la fracción en el radicando, si es posible.
  2. Paso 2. Usa la propiedad del cociente para reescribir el radical como el cociente de dos radicales.
  3. Paso 3. Simplifique los radicales en el numerador y el denominador.

Ejemplo 8.23

Solución

Asegúrese de simplificar primero la fracción en el radicando, si es posible.

Ejemplo 8.24

Solución

En el siguiente ejemplo, no hay nada que simplificar en los denominadores. Dado que el índice de los radicales es el mismo, podemos usar la propiedad del cociente nuevamente para combinarlos en un solo radical. Luego miraremos para ver si podemos simplificar la expresión.

Ejemplo 8.25

Solución

Medios de comunicación

Acceda a estos recursos en línea para obtener instrucción adicional y práctica con la simplificación de expresiones radicales.

Sección 8.2 Ejercicios

La práctica hace la perfección

Utilice la propiedad del producto para simplificar expresiones radicales

En los siguientes ejercicios, use la propiedad del producto para simplificar expresiones radicales.

En los siguientes ejercicios, simplifique el uso de signos de valor absoluto según sea necesario.

Utilice la propiedad del cociente para simplificar expresiones radicales

En los siguientes ejercicios, use la propiedad del cociente para simplificar las raíces cuadradas.

Ejercicios de escritura

Explica cómo sabes que x 10 5 = x 2. x 10 5 = x 2.

Autochequeo

Ⓐ Después de completar los ejercicios, use esta lista de verificación para evaluar su dominio de los objetivos de esta sección.

Ⓑ Después de revisar esta lista de verificación, ¿qué hará para tener confianza en todos los objetivos?

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  • Utilice la siguiente información para generar una cita. Recomendamos utilizar una herramienta de citas como esta.
    • Autores: Lynn Marecek, Andrea Honeycutt Mathis
    • Editor / sitio web: OpenStax
    • Título del libro: Álgebra intermedia 2e
    • Fecha de publicación: 6 de mayo de 2020
    • Ubicación: Houston, Texas
    • URL del libro: https://openstax.org/books/intermediate-algebra-2e/pages/1-introduction
    • URL de la sección: https://openstax.org/books/intermediate-algebra-2e/pages/8-2-simplify-radical-expressions

    © 21 de enero de 2021 OpenStax. El contenido de los libros de texto producido por OpenStax tiene una licencia Creative Commons Attribution License 4.0. El nombre de OpenStax, el logotipo de OpenStax, las portadas de libros de OpenStax, el nombre de OpenStax CNX y el logotipo de OpenStax CNX no están sujetos a la licencia Creative Commons y no pueden reproducirse sin el consentimiento previo y expreso por escrito de Rice University.


    Cómo agregar raíces cuadradas

    El radicando se refiere al número bajo el signo de radical. En el siguiente radical, el radicando es el número '5'.

    Video en Cómo agregar raíces cuadradas

    ¿Cómo agregar raíces cuadradas simplificadas?

    Veamos el siguiente ejemplo

    Solo puede agregar raíces cuadradas (o radicales) que tengan el mismo radicando. Entonces, en el ejemplo anterior, puede agregar el primer y el último término:

    La misma regla se aplica a la resta. Considere el siguiente ejemplo:

    Puede restar raíces cuadradas con el mismo radicando, que es el primer y último término.

    Práctica Problemas

    Direcciones:Agrega las raíces cuadradas a continuación

    Problema 1

    Solo la primera y la última raíz cuadrada tienen el mismo radicando, por lo que puedes sumar estos dos términos.

    Problema 2

    Recuerde, la misma regla se aplica a la resta de raíces cuadradas, los radicandos deben ser iguales.

    Cómo agregar raíces cuadradas, que no están simplificadas

    Veamos el siguiente ejemplo

    Puede ver el problema de inmediato aquí: los radicandos no son los mismos. Por lo tanto, podemos no agréguelos en este momento. Sin embargo, si primero simplificamos las raíces cuadradas, podremos sumarlas. Usemos este problema de ejemplo para ilustrar los pasos generales para sumar raíces cuadradas.


    Ejemplos resueltos en Powers & # 038 Roots

    Dejanos considerar algunos ejemplos:

    Problema 1. Simplificar (7.5 * 10 5) / (25 * 10 -4)

    Cancelar 75 con 3 veces 25 y aplicar la fórmula de a m / a n = a m-n

    Problema 2. Encuentre x si 3 2x-1 + 3 2x + 1 = 270.

    Sacando un término común, obtenemos

    Observe que aquí, aplicamos la fórmula a m + n = a m .a n escribiendo 3 2x + 1 como un producto de 3 2x-1 y 3 2.

    Problema 3. Simplifica [10 [(216) 1/3 + (64) 1/3] 3] 3/4

    [10 [ (6 3 ) 1/3 + (4 3 ) 1/3 ] 3 ] 3/4

    Problema 4. Simplificar [4 0,08 * (2 0,22) 2] 10 / [16 0,16 * (2 4) 0,74 * (4 2) 0,1]

    [4 0.08 * (2 0.22 ) 2 ] 10 / [16 0.16 * (2 4 ) 0.74 * (4 2 ) 0.1 ]

    Aplicando la fórmula (a m) n = (a n) m a la parte subrayada,

    → [4 0.08 * (2 2 ) 0.22 ] 10 / [16 0.16 * (2 4 ) 0.74 * (4 2 ) 0.1 ]

    → [4 0.08 * 4 0.22 ] 10 / [16 0.16 * (2 4 ) 0.74 * (4 2 ) 0.1 ]

    Aplicando la fórmula a m .a n = a m + n al numerador,

    → [4 0.08+0.22 ] 10 / [16 0.16 * (2 4 ) 0.74 * (4 2 ) 0.1 ]

    Simplificando el denominador,

    → [4 0.3 ] 10 / [(4 2 ) 0.16 * (4 2 ) 0.74 * (4 2 ) 0.1 ]

    Aplicando la fórmula a m .a n = a m + n

    Aplicando la fórmula a m / a n = a m-n,

    Problema 5. Simplificar √ (5 + 3√2) + [1 / √ (5 + 3√2)]

    La simplificación de este tipo de expresión también significa que el denominador debe racionalizarse. Racionalizar una expresión significa eliminar cualquier raíz cuadrada presente.

    El término que racionaliza se llama conjugado. En este ejemplo, para racionalizar 5 + 3√2, usamos 5-3√2. Por lo tanto, 5-3√2 se llama conjugado de 5 + 3√2 y viceversa.

    Tenemos 5 + 3√2 en el denominador. Para eliminar la raíz cuadrada, multiplicaremos 1 / (5 + 3√2) por (5-3√2) / (5-3√2). Multiplicar con esto no altera el valor del término de ninguna manera, pero ayuda a racionalizar el denominador y simplificar la expresión.

    Aplicando la fórmula (a + b) (a-b) = a 2 & # 8211 b 2 a la parte subrayada,

    Como la expresión original se elevó al cuadrado para eliminar las raíces, debemos aplicar una raíz cuadrada a esta expresión.

    Nota: Como sabíamos que el resultado de la expresión sería positivo, pudimos elevar al cuadrado y luego sacar la raíz cuadrada de la expresión. Si existe alguna duda de que podría ser negativo, entonces nos abstendremos de hacerlo.

    Problema 6. Si a 2 + b 2 + c 2 = ab + bc + ca, simplifica [x a / x b] a-b * [x b / x c] b-c * [x c / x a] c-a

    Aplicando a m / a n = a m-n, obtenemos

    → (x a-b) a-b * (x b-c) b-c * (x c-a) c-a

    Aplicando la fórmula (a-b) 2 = a 2 + b 2 -2ab en el exponente,

    → x (a 2 + b 2 & # 8211 2ab) * x (b 2 + c 2 & # 8211 2bc) * x (c 2 + a 2 & # 8211 2ca)

    Aplicando el a m .a n = a m + n

    → x (a 2 + b 2 & # 8211 2ab + b 2 + c 2 & # 8211 2bc + c 2 + a 2 & # 8211 2ca)

    → x (2 (a 2 + b 2 + c 2 & # 8211 (ab + bc + ca)))

    Problema 7. ¿Cuál es mayor: 4 √3 o 3 √4?

    Para comparar dos surds, tienen que ser similares, es decir, tienen que ser del mismo orden.

    4 √3 es un surd de 4º orden y 3 √4 es un surd de 3º orden.

    4 √3 se puede escribir como 3 1/4 y 3 √4 como 4 1/3.

    Todavía no es posible comparar. Para ello necesitamos tomar el LCM de los dos pedidos y expresarlos como excedentes de un pedido.

    1/4 se puede escribir como (1/4) * (3/3) = 3/12 Y 1/3 se puede escribir como (1/3) * (4/4) = 4/12.


    La raíz cuadrada de un entero positivo que no es un cuadrado perfecto es siempre un número irracional. La representación decimal de tal número pierde precisión cuando se redondea, y se requiere mucho tiempo para calcular sin la ayuda de una calculadora. En lugar de usar la representación decimal, la forma estándar de escribir tal número es usar la forma radical simplificada, que implica escribir el radical sin cuadrados perfectos como factores del número debajo del símbolo de la raíz.

    El proceso para poner una raíz cuadrada en forma radical simplificada implica encontrar factores cuadrados perfectos y luego aplicar la identidad a b = a × b sqrt= sqrt times sqrt a b

    , Lo que nos permite sacar la raíz de los factores cuadrados perfectos.

    Del mismo modo, las raíces de mayor grado (raíces cúbicas, cuartos, etc.) se simplifican cuando no tienen factores debajo del radical que sean potencias perfectas del mismo grado que el radical.


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    ¡Debe usar el símbolo "*" (estrella) para todas las multiplicaciones! x (x + 1) es INCORRECTO! Significa una función x de x-1 . x * (x-1) es correcto. Utilice ^ (signo de intercalación) para exponenciación. x ^ 2 significa x al cuadrado. x / 2y significa
    Recursos: Portal simplificador, ayuda para ingresar fórmulas simplificadoras (una lectura obligada).


    Simplificación de raíces cuadradas (o radicales)

    Veremos dos métodos que se pueden usar para simplificar raíces cuadradas (o radicales): el método del cuadrado perfecto y el método de factorización prima.


    Los siguientes ejemplos muestran cómo simplificar raíces cuadradas: Find Perfect Square, Find Prime Factors. Desplácese hacia abajo en la página para ver ejemplos y soluciones.

    Simplifique las raíces cuadradas usando el método del cuadrado perfecto

    1. Encuentra los cuadrados perfectos que dividirán el número en la raíz cuadrada.
    2. Escribe el número como factor de los cuadrados perfectos.
    3. Reducir los cuadrados perfectos.

    Paso 1: El cuadrado perfecto 16 divide a 48

    Paso 2: Escribe 48 como factor de 16

    Paso 3: Reducir la raíz cuadrada de 16

    ¿Cómo simplificar raíces cuadradas usando el método del cuadrado perfecto?
    El siguiente video muestra más ejemplos de simplificación de raíces cuadradas usando el método del cuadrado perfecto. El método del cuadrado perfecto es adecuado para números pequeños, por ejemplo, menos de 1000. Para números más grandes, el método de factorización prima puede ser mejor.

    Sería útil que memorizaras los primeros cinco cuadrados perfectos de números primos.
    1 2 = 1, 2 2 = 4, 3 2 = 9, 5 2 = 25, 7 2 = 49, 11 2 = 121

    Paso 1: factoriza los cuadrados perfectos
    Paso 2: Separe cuadrados perfectos usando la propiedad del producto de raíces cuadradas
    Paso 3: simplifica

    Simplifica raíces cuadradas usando el método de factorización prima

    1. Divide el número de la raíz cuadrada en factores primos.
    2. Para cada par de factores, & ldquotee uno & rdquo del signo de la raíz cuadrada
    3. Los factores restantes en el signo de la raíz cuadrada se multiplican.

    Paso 1. Divide el número 12 en factores primos
    12 = 2 y tiempos 2 y tiempos 3

    Paso 2: Saca 2 del signo de la raíz cuadrada

    Paso 1. Divide el número 90 en factores primos

    Paso 2: Saca 3 del signo de la raíz cuadrada

    Paso 3: Multiplica 2 por 5

    ¿Cómo simplificar raíces cuadradas usando el método de factorización prima?
    El siguiente video muestra más ejemplos de simplificación de raíces cuadradas usando el método de factorización prima.
    Paso 1: factorizar en el producto de primos
    Paso 2: Encierra en un círculo los pares de factores
    Paso 3: Retire los pares y multiplique por cada número eliminado.

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    Radicales (raíces)

    Radicales (también llamado raíces) son lo que obtenemos cuando trabajamos hacia atrás desde elevar un número a un exponente son cuántas veces se multiplica un número para obtener un número. Por ejemplo, el cuadrado Raíz de 16 es 4, ya que (4 times 4 = 16 ) (multiplicamos 4 por sí mismo dos veces). Una vez más, piense en los radicales como la "ruina" de elevar el número a los poderes.

    Escribes un radical con un signo gracioso que casi parece una división: ( sqrt <<16>> = 4 ). Veremos más adelante que hay un " 2 ”Dentro del signo de la raíz cuadrada ( ( sqrt [2] <<16>> = 4 )), ya que estamos encontrando dos números multiplicados juntos que equivalen a 4. Si estamos encontrando 3 números multiplicados juntos, estamos tomando lo que llamamos el raíz cúbica de un número y ponemos un pequeño 3 en el signo raíz así:

    Tenga en cuenta que cuando tomamos incluso raíces (como raíces cuadradas), nuestra respuesta es sólo la positivo root, aunque la raíz negativa también funciona. Cuando tomamos impar raíces (como la raíz cúbica), la respuesta tiene cualquier signo que esté debajo del signo de la raíz. Intente multiplicar algunos números usted mismo para ver por qué esto es cierto. Hablaremos de esto más adelante en el Exponentes y radicales en álgebra sección.

    Algunas raíces son racional y se puede reducir a un número real, como ( sqrt <<16>> = 4 ) (así 16 se llama un cuadrado perfecto), pero la mayoría de las raíces simplemente no terminarán como un número "bueno" o un número que tenga una respuesta exacta. Por ejemplo, si pones ( sqrt <2> ) en una calculadora, obtienes algo como 1.4141213562 , pero esto es solo una aproximación, y nunca se “resuelve” realmente. Por eso, para números como estos en los que no hay una raíz exacta, su maestro le pedirá que mantenga el radical en ellos. Estos números se llaman irracional ya que realmente no podemos obtener una respuesta exacta con decimales o fracciones. (Hablaremos más sobre estos números en el Introducción al álgebra sección.)
    Algunas raíces en realidad no lo son numeros reales (números que están en la recta numérica), pero imaginario (lo que significa que en realidad no existen, pero puedes hacer cálculos con ellos), como ( sqrt <<-4>> ). Esto se debe a que no podemos multiplicar dos números para obtener un número negativo. ¡Pruébelo usted mismo! Hablaremos sobre estos diferentes tipos de números en el Introducción al álgebra sección.

    Cuando sacamos la raíz cuadrada de un número, es lo mismo que elevarlo a ( displaystyle frac <1> <2> ). Cuando sacamos la raíz cúbica de un número, es lo mismo que elevarlo a ( displaystyle frac <1> <3> ). Entonces puedes ver el patrón aquí. Esto es un poco extraño, pero es algo que querrás recordar.

    (empezar sqrt <<< <5> ^ <2> >>> = 5 \ sqrt [3] <<< <5> ^ <3> >>> = 5 \ sqrt <<< << left (<-5> right) >> ^ <2> >>> = 5 end)Si elevamos al cuadrado un número negativo, se convertirá en un número positivo y su raíz cuadrada será positiva. (No tenemos que preocuparnos por esto con raíces extrañas, ya que pueden ser negativas).


    Ver el vídeo: AMPLIFICAR FRACCIONES Super facil para principiantes (Diciembre 2021).