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3.5: Poniéndolo juntos - Sistemas de ecuaciones y desigualdades - Matemáticas

3.5: Poniéndolo juntos - Sistemas de ecuaciones y desigualdades - Matemáticas



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En este módulo, nos acercamos unos pasos a la resolución de la pregunta de $ 1,000,000 al aprender algunos de los principios básicos de los sistemas de ecuaciones. Por ejemplo, los ingenieros eléctricos pueden estar interesados ​​en definir la fuerza de una corriente que fluye a través de un circuito como se muestra en el diagrama a continuación.

Circuito eléctrico

Se puede construir y resolver un sistema de ecuaciones basado en la ley del voltaje de Kirchoff para encontrar la corriente en amperios que fluye a través de cada rama del circuito. La ley de voltaje de Kirchoff se basa en el principio de que el voltaje cambia de intensidad a medida que se mueve alrededor de un circuito. Cada ecuación del sistema representa una rama del circuito, por lo que la cantidad de ecuaciones necesarias para encontrar la corriente depende de la cantidad de ramas en el circuito. Por ejemplo, la siguiente figura muestra el circuito desde arriba con sus tres corrientes de lazo identificadas:

Circuito eléctrico con 3 corrientes de bucle

Debido a que hay tres corrientes de lazo, necesitaríamos escribir tres ecuaciones con tres variables basadas en la Ley de Kirchoff para encontrar las tres corrientes desconocidas que componen el sistema. Si tiene curiosidad por aprender más sobre la Ley de Kirchoff y las corrientes de bucle, visite este sitio.

Si continúa tomando más cursos de matemáticas, puede aprender a resolver sistemas de tres ecuaciones e incluso puede llegar a tomar un curso completo en sistemas llamado Álgebra lineal. Y a partir de ahí, puede descubrir más sobre las ecuaciones de Navier-Stokes y, quizás, ¡resolver uno de los siete problemas matemáticos más importantes del mundo!


Avanzando en línea recta

La unidad CMP4 MSA tiene 14 problemas en comparación con los 17 problemas de CMP3 MSA.

Esta unidad continúa la exploración de analizar y representar relaciones cuantitativas entre variables independientes y dependientes que se inició en el 6 ° grado. Variables y patróns unidad. Esta unidad continúa la exploración utilizando relaciones lineales como contexto para explorar lo que significa ser lineal, pero también para fortalecer el uso de expresiones lineales, ecuaciones lineales y desigualdades lineales por parte de los estudiantes. También continúa fortaleciendo la comprensión de los estudiantes sobre el razonamiento proporcional, que se exploró en varias unidades anteriores de sexto y séptimo grado, incluidas Comparación de cantidades, Estirar y encoger, y Comparar y escalar.

Dado que CMP es un plan de estudios basado en problemas contextuales, comenzar con situaciones contextuales naturalmente permite que surjan dos variables que a su vez motiva formas de expresar estas relaciones utilizando tablas, gráficos, expresiones y ecuaciones además de representaciones verbales. Esta unidad mantiene el estudio de las relaciones sobre la mesa al mismo tiempo que profundiza la comprensión de los estudiantes y sus rsquo sobre expresiones lineales, ecuaciones y = ax + by desigualdades hacha + b & lt C o hacha + b & gt C. A lo largo de la unidad, los estudiantes buscan información sobre una variable dado el valor de la otra variable. Esto se puede hacer razonando numéricamente, usando tablas, gráficos o símbolos. Las expresiones y ecuaciones surgen como una forma de expresar relaciones lineales. Por lo tanto, la situación contextual proporciona a los estudiantes una forma de escribir, interpretar y manipular expresiones lineales simbólicas, ecuaciones y desigualdades. Las situaciones contextuales también brindan a los estudiantes un contexto para desarrollar y recuperar la comprensión de la linealidad y, al mismo tiempo, desarrollar la comprensión de las expresiones y ecuaciones simbólicas lineales.

La primera Investigación comienza con el experimento de velocidad de caminata y es similar a CMP3 con algunos cambios en los nombres de Investigación y Problema para reflejar el uso de expresiones lineales y ecuaciones lineales y que las ecuaciones lineales se pueden resolver con tablas y gráficos. La Investigación 2 es similar a CMP3 con más énfasis en la relación entre los puntos de datos en una tabla y gráfico para las soluciones de ecuaciones lineales. y = ax + b. La Investigación 3 es similar a CMP3 usando bolsas y monedas para desarrollar propiedades de igualdad para resolver ecuaciones lineales. La Investigación 4 tiene los cambios más importantes. La pendiente se introduce como una forma de expresar la tasa lineal de patrones de cambio y, por lo tanto, conectar la pendiente como una relación con la tasa de cambio. La pendiente se introduce como la relación, un cambio vertical por cada unidad de cambio horizontal. Está conectado a la tasa lineal de patrones de cambio observados en la tabla. La relación entre el cambio vertical y el cambio horizontal es igual sin importar dónde se mida en una línea. Todas las relaciones (aumento: ejecución) son iguales a la tasa de cambio o coeficiente de X (o constante de proporcionalidad, si también es una relación proporcional).

El siguiente conjunto de preguntas guía el desarrollo de todas las unidades de álgebra CMP. En unidades futuras, el estudio de la relación lineal resurge a medida que se comparan con relaciones inversas, exponenciales, cuadráticas, polinomiales o racionales.

  • Qué Cuáles son las variables en el problema?
  • Hacer las variables del problema tienen una relación lineal entre sí? Qué ¿Los patrones del problema sugieren que la relación es lineal? ¿Proporcional?
  • Cómo ¿Se puede representar la relación lineal en una situación con una descripción verbal, una tabla, una gráfica o una ecuación?
  • Cómo ¿Los cambios en una variable afectan los cambios en una variable relacionada? Cómo ¿Se capturan estos cambios en una tabla, un gráfico o una ecuación?
  • Cómo ¿Se pueden usar tablas, gráficos y ecuaciones de relaciones lineales para responder preguntas?

Los estudiantes deben poder graficar la ecuación de una línea e identificar las coordenadas de un punto. También deberían poder usar el principio de sustitución y resolver ecuaciones lineales con una variable.

Preguntas de calentamiento Dé a sus estudiantes dos ecuaciones lineales, digamos y = 2X + 4 y y = -X + 10 y pregúnteles si pueden encontrar un par ordenado que satisfaga ambas ecuaciones. Si necesitan ayuda para comenzar, sugiera un enfoque de prueba y error, p. Ej. intente sustituir (1, 1) en ambas ecuaciones. Eso debería darte

Ninguna de esas ecuaciones es verdadera, por lo que (1, 1) no satisface ninguna de las ecuaciones. Si intentan (1, 6), por otro ejemplo, deberían ver que resuelve la primera ecuación pero no la segunda.

La prueba y el error pueden ser bastante tediosos (y poco prácticos cuando la solución es una fracción o un decimal). Una vez que sus estudiantes tengan la solución (o si parece que no pueden encontrarla), sugiera graficar las dos ecuaciones. Si haces eso, deberías ver que cruzan en (2, 8). Si sustituye esos valores en las dos ecuaciones, debería ver que funciona en ambas.

Exactitud revisada En la Sección 1.5, analicé algunos problemas con el uso de gráficos para responder preguntas debido a su inexactitud inherente. Para ver esto, pida a sus alumnos que grafiquen, y = 4X + 1 y y = -2X + 10 para encontrar su intersección. El resultado exacto es (3/2, 7) pero determinar el valor exacto de la fracción puede ser difícil a partir del gráfico. Si sus estudiantes se muestran escépticos sobre esto, intente pedirles que encuentren la intersección de y = 2.4X + .7 y y = -1.8X 2 y ver qué tan lejos llegan. (La respuesta es (-0,643, -0,843) si redondea los resultados a la milésima más cercana).

El mensaje que sus estudiantes deben aprender de todo esto es que las gráficas son un método intrínsecamente inexacto y poco confiable para determinar la solución de un sistema de ecuaciones (o la intersección de dos líneas). Obtener un resultado exacto requiere los métodos analíticos que son el tema de la siguiente sección y el resto de esta.

Algunos casos especiales Encontrar la intersección de las líneas verticales y horizontales puede ser un poco desafiante para los estudiantes. Por ejemplo, si empiezas con y = 3 y X = 2, el método de sustitución no parece funcionar porque no hay X en la primera ecuación para sustituir el 2 y no hay y en la segunda ecuación para sustituir el 3 en.

En este caso, el método gráfico puede acudir en su ayuda. Haga que sus estudiantes grafiquen las líneas y = 3 y X = 2 y observe su intersección, (2, 3). Señale que el X la coordenada de la intersección es el mismo que el número en la ecuación de la línea vertical, X = 2, y el y-coordinate es el mismo que el número en la ecuación de la línea horizontal, y = 3.

Preguntas de selección múltiple Cuando estaba en la escuela secundaria, competía regularmente en concursos de matemáticas. Una parte de esas competencias fue una prueba estándar de opción múltiple. Además de aprender a hacer muchas matemáticas y hacerlo rápido, también aprendimos trucos para lidiar con exámenes de opción múltiple. Aquí hay uno que usamos regularmente que también puede ser útil con pruebas estandarizadas como el SAT. Si le pido que resuelva un sistema de ecuaciones lineales y le doy cuatro posibles soluciones entre las que elegir, en lugar de saltar con los métodos que hemos discutido hasta ahora, intente tomar cada una de las cuatro opciones y sustituirlas en las ecuaciones. en la pregunta. La opción que funciona en ambas ecuaciones tiene que ser la respuesta correcta. Este método reduce el problema a un puñado de problemas aritméticos simples que los estudiantes generalmente pueden evaluar en mucho menos tiempo del que se necesita para resolver el problema original usando métodos algebraicos.


Matemáticas del desarrollo: preálgebra, álgebra elemental y álgebra intermedia, 2da edición

Una versión digital del texto que puede personalizar y leer en línea o sin conexión. Si su instructor lo ha invitado a unirse a un curso específico de eText de Pearson para su clase, deberá comprar su eText a través del enlace de invitación al curso que proporciona.

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Qué está incluido

Una plataforma digital que ofrece ayuda cuando y donde la necesita, le permite enfocar su tiempo de estudio y brinda experiencias prácticas de aprendizaje.

Acceso instantáneo a contenido digital.

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3.5: Poniéndolo juntos - Sistemas de ecuaciones y desigualdades - Matemáticas

NOTA: el paquete Ch.5 HW no vence hasta el día de la prueba. Lo que ves en la lista cada día como tarea no se revisará hasta el día del examen.

  • Puedo resolver un sistema de ecuaciones lineales graficando.
  • Puedo escribir un sistema de ecuaciones lineales para modelar una situación (problema verbal)
  • Puedo verificar mi solución a un sistema de ecuaciones lineales.
  • Puedo resolver un sistema de ecuaciones lineales por sustitución.
  • Puedo escribir un sistema de ecuaciones lineales para modelar una situación (problema verbal)

Pon tus respuestas en tu espiral y debes hacer de 5 a 8 problemas por Khan

  • Puedo resolver un sistema de ecuaciones lineales por sustitución.
  • Puedo escribir un sistema de ecuaciones lineales para modelar una situación (problema verbal)

Revise los videos anteriores si es necesario Capítulo 5 Paquete HW
(vence el día de la prueba)

* 5.1-5.2 La evaluación está activada MARTES 25/4

(Clase de Lettieri: la clave de preevaluación está en Google Classroom)


Características

Los ejemplos y conjuntos de ejercicios únicos de Sullivan distinguen el texto

  • Ejemplos de Sullivan se presentan en un formato anotado de dos columnas que explica lo que los autores están a punto de hacer en cada paso, tal como lo haría un profesor. Estos ejemplos se leen de izquierda a derecha, para que los estudiantes comprendan lo que está logrando cada paso a medida que leen. (A menudo, los ejemplos tienen anotaciones o punteros después de cada paso, en lugar de antes).
  • Ejemplos de escaparate lleve las explicaciones un paso más allá con un formato de tres columnas que desglosa el proceso de resolución de problemas para los estudiantes. La columna de la izquierda describe un paso, la columna del medio proporciona una breve anotación, según sea necesario, para explicar el paso, y la columna de la derecha presenta el álgebra. Estos ahora también se tratan en MyLab ™ Math, como ejercicios guiados de “Cómo”, que brindan a los estudiantes apoyo paso a paso mientras resuelven un problema.
  • El programa de álgebra de Sullivan / Struve / Mazzarella está diseñado para motivar a los estudiantes a "hacer las matemáticas", en casa o en el laboratorio, a través de un conjunto completo de recursos que apoyan una variedad de entornos de aprendizaje.
  • Variedad de tipos de ejercicio en cada sección.
    • Ejercicios de desarrollo de habilidades Desarrollar la comprensión de los estudiantes de los procedimientos y habilidades al trabajar con los métodos presentados en la sección.
    • Ejercicios de práctica mixta Ofrezca una evaluación integral de habilidades pidiendo a los estudiantes que relacionen múltiples conceptos u objetivos.
    • Ejercicios de Quick Check Los ejercicios siguen los ejemplos, lo que permite a los estudiantes aplicar lo que acaban de aprender. Estos se enumeran como los primeros problemas en el conjunto de ejercicios de cada sección, lo que los hace asignables como tarea y brinda una manera fácil de consultar los ejemplos relevantes para obtener ayuda adicional. Las comprobaciones rápidas incluyen preguntas para rellenar espacios en blanco y de Verdadero / Falso para evaluar la comprensión de los estudiantes del vocabulario y las fórmulas. Las comprobaciones rápidas se enumeran como parte del conjunto de tareas y se pueden asignar en MyLab Math para los instructores.

    Apoyo adicional para estudiantes de nivel Sullivan

    • ¡NUEVO! Códigos de respuesta rápida (QR) ahora aparecen en cada apertura de sección, en ejercicios de nivel de sección y como parte de las pruebas de capítulo. Vinculan a los estudiantes a los videos y applets que están disponibles para esa sección, brindándoles recursos al alcance de la mano.
    • Problemas de "¿Está preparado para esta sección?" Ponga a prueba la comprensión de los estudiantes del material de requisito previo para cada nueva sección.
    • Explicando los problemas de conceptos Pida a los estudiantes que expliquen conceptos con sus propias palabras.
    • Varios ejercicios para ayudar a los estudiantes a comprender
      • Aplicación de los ejercicios de conceptos Pida a los estudiantes que apliquen los conceptos matemáticos a situaciones del mundo real.
      • Ampliación de los ejercicios de conceptos vaya más allá de lo básico, utilizando una variedad de problemas para agudizar las habilidades de pensamiento crítico de los estudiantes.
      • Ejercicios de repaso de síntesis Ayude a los estudiantes a comprender el “panorama general” del álgebra, una vez que tengan una base conceptual suficiente para construir a partir de su trabajo en los capítulos R al 4. Los ejercicios de revisión de síntesis piden a los estudiantes que realicen una sola operación (sumar, resolver, etc. varios objetos (polinomios, expresiones racionales, etc.). Luego se le pide al estudiante que discuta las similitudes y diferencias al realizar la misma operación en los diferentes objetos.
      • Ejercicios tecnológicos se incluyen al final del conjunto de ejercicios de una sección, permiten el uso de tecnología gráfica, como calculadoras gráficas, GeoGebra o Demos para resolver problemas. Estos ejercicios son completamente opcionales.
      • Los problemas cuyo número es verde tienen soluciones completas resueltas en el video que se encuentra en MyLab Math.
      • Los problemas con un icono de triángulo se centran en conceptos de geometría.

      Ayudar a los estudiantes a unir las ideas

      • El panorama general: ponerlo todo junto (inicio del capítulo) Las características se basan en cómo comenzamos cada capítulo en el aula, con un bosquejo rápido de lo que planeamos cubrir. Estas secciones unen conceptos y técnicas al resumir el material cubierto anteriormente y luego relacionar estas ideas con el material futuro.
      • Uniendo los conceptos (repaso a mitad de capítulo) Hay grupos de ejercicios en cada capítulo, en el punto apropiado del capítulo, que sirven como repaso, sintetizando el material introducido hasta ese punto en el capítulo. Los ejercicios de estas revisiones de mitad de capítulo se eligen cuidadosamente para ayudar a los estudiantes a ver el "panorama general".
      • Aprendizaje de repaso acumulativo: El álgebra es un proceso de construcción y la construcción implica un refuerzo considerable. Los ejercicios de Revisión acumulativa al final de cada capítulo impar, comenzando con el Capítulo 1, ayudan a los estudiantes a reforzar y solidificar su conocimiento al revisar conceptos y usarlos en contexto. Las revisiones acumulativas de cada capítulo par se pueden encontrar en el Centro de recursos del instructor. Las respuestas a todos los problemas de revisión acumulativa aparecen al final del texto.

      También disponible con MyLab Math.

      MyLab ™ Math es un programa en línea de tareas, tutoriales y evaluación diseñado para trabajar con este texto para involucrar a los estudiantes y mejorar los resultados. Dentro de su entorno estructurado, los estudiantes practican lo que aprenden, prueban su comprensión y siguen un plan de estudio personalizado que les ayuda a absorber el material del curso y comprender conceptos difíciles.

      • El curso de MyLab Math incluye tareas asignadas y preestablecidas, basado en la experiencia de los autores, ayudando a los estudiantes e instructores a aprovechar al máximo nuestro curso MyLab Math.
        • Los instructores tienen la capacidad de enseñar inmediatamente con tareas asignadas o preestablecidas, pero también pueden editar o eliminar tareas según sea necesario. Las asignaciones para cada sección se componen de dos partes:
        1) Ejercicios de aprendizaje, exploración y revisión rápida: estas tareas se componen de ejercicios prácticos, ejercicios de subprograma, videos y problemas de revisión rápida.

        2) Ejercicios de tarea

        Las asignaciones están estructuradas de modo que los estudiantes cubran un curso típico mientras emplean de 2 a 3 horas fuera de clase por cada hora de crédito de la clase semanalmente. Esto se basa en datos derivados por los autores de las Terceras Ediciones.

        • ¡EXPANDIDO! Programa de video brinda a los estudiantes ayuda puntual en casa, en el laboratorio o para revisar una gran cantidad de recursos de video en el curso de MyLab Math. Los recursos de video incluyen:
          • Vídeos de autor en acción el autor principal Mike Sullivan imparte conferencias en clase e interactúa con una audiencia estudiantil en vivo. Los estudiantes tienen acceso a un maestro principal independientemente de dónde y cuándo estén estudiando.
          • Clips de solución de nivel de ejemplo
          • Vídeos de preparación para la prueba del capítulo Ayude a los estudiantes durante su momento más propicio para la enseñanza, cuando se están preparando para un examen con soluciones paso a paso para los ejercicios que se encuentran en cada Examen de capítulo.
          • ¡NUEVO! Códigos de respuesta rápida (QR) ahora aparecen en cada apertura de sección, en ejercicios de nivel de sección y como parte de las pruebas de capítulo. Cada código vincula a los estudiantes a los videos y applets que están disponibles para esa sección, brindándoles recursos al alcance de la mano.
          • ¡NUEVO! Catalizadores de aprendizaje ayuda a los instructores a generar debates en clase, personalizar conferencias y promover el aprendizaje entre pares con análisis en tiempo real. Como herramienta de respuesta de los estudiantes, Learning Catalytics utiliza los teléfonos inteligentes, tabletas o computadoras portátiles de los estudiantes para involucrarlos en tareas y pensamientos más interactivos.

          Nuevo en esta edición

          Apoyo adicional para estudiantes de nivel Sullivan

          • Códigos de respuesta rápida (QR) ahora aparecen en cada apertura de sección, en ejercicios de nivel de sección y como parte de las pruebas de capítulo. Vinculan a los estudiantes a los videos y applets que están disponibles para esa sección, brindándoles recursos al alcance de la mano.

          También disponible con MyLab Math.

          MyLab ™ Math es un programa en línea de tareas, tutoriales y evaluación diseñado para trabajar con este texto para involucrar a los estudiantes y mejorar los resultados. Dentro de su entorno estructurado, los estudiantes practican lo que aprenden, prueban su comprensión y siguen un plan de estudio personalizado que les ayuda a absorber el material del curso y comprender conceptos difíciles.

          • Programa de video brinda a los estudiantes ayuda puntual en casa, en el laboratorio o para revisar una gran cantidad de recursos de video en el curso MyLab Math. Los recursos de video incluyen:
            • Vídeos de autor en acción el autor principal Mike Sullivan imparte conferencias en clase e interactúa con una audiencia estudiantil en vivo. Los estudiantes tienen acceso a un maestro principal independientemente de dónde y cuándo estén estudiando.
            • Clips de solución de nivel de ejemplo
            • Vídeos de preparación para la prueba del capítulo Ayude a los estudiantes durante su momento más propicio para la enseñanza, cuando se están preparando para una prueba con soluciones paso a paso para los ejercicios que se encuentran en cada Prueba de capítulo.
            • Códigos de respuesta rápida (QR) ahora aparecen en cada apertura de sección, en ejercicios de nivel de sección y como parte de las pruebas de capítulo. Cada código vincula a los estudiantes a los videos y subprogramas que están disponibles para esa sección, brindándoles recursos al alcance de la mano.
            • Catalizadores de aprendizaje ayuda a los instructores a generar debates en clase, personalizar conferencias y promover el aprendizaje entre pares con análisis en tiempo real. Como herramienta de respuesta de los estudiantes, Learning Catalytics utiliza los teléfonos inteligentes, tabletas o computadoras portátiles de los estudiantes para involucrarlos en tareas y pensamientos más interactivos.

            Álgebra intermedia

            1. Álgebra de funciones
            Encuentra el dominio de una función y escríbelo en notación de intervalo.
            Conoce la gama de funciones simples.
            Leer el dominio, rango y valores de funciones de sus gráficas.
            Evalúe f (x), (f + g) (x), (f & # 8211g) (x), (fg) (x), (f / g) (x),
            Utilice las pruebas de línea vertical y horizontal.
            Prueba si una función es uno a uno.
            Prueba si una función tiene una inversa y encuentra la función inversa.

            2. Desigualdades
            Resuelve desigualdades lineales.
            Resuelve desigualdades lineales compuestas.
            Convierte desigualdades de valor absoluto en desigualdades lineales compuestas y resuelve.

            3. Sistemas lineales
            Resolver sistemas de 2 ecuaciones lineales en 2 incógnitas.
            Evalúe un determinante de 2x2.
            Resolver sistemas de 3 ecuaciones lineales en 3 incógnitas.
            Conocer la regla de Cramers para soluciones de sistemas lineales.
            Interpretar geométricamente un sistema de 2 ecuaciones lineales en 2 incógnitas.
            Interpretar geométricamente un sistema de 3 ecuaciones lineales en 3 incógnitas.
            Identifique los sistemas lineales como consistentes o inconsistentes.
            Identifica si un sistema lineal es dependiente.
            Identifique si un sistema lineal tridimensional es un libro, una carpa o un rincón.
            Sepa cómo saber si dos planos son paralelos, coincidentes o se cruzan en una línea dadas sus ecuaciones.

            4. Polinomios
            Conoce la definición de polinomio.
            Encuentra el grado de un monomio.
            Calcula el grado de un polinomio.
            Sumar, restar y multiplicar polinomios.
            Divide polinomios usando división larga.
            Factorizar polinomios
            Memoriza productos especiales.
            Resuelve ecuaciones polinomiales factorizando y usando la regla del producto cero.
            Comprende el teorema del resto.
            Factoriza un polinomio encontrando las raíces de la ecuación & # 8220polynomial = 0 & # 8221.

            5. Expresiones racionales
            Encuentre la MCD de polinomios factorizando y encontrando los factores comunes.
            Simplifica expresiones racionales encontrando el MCD.
            Resuelve ecuaciones racionales multiplicando ambos lados por el MCD.

            6. Notación radical y notación exponencial racional
            Conoce las leyes de los exponentes.
            Conocer las definiciones de exponentes negativos y exponentes fraccionarios.
            Comprender la definición de raíz cuadrada, raíz cúbica y raíz enésima.
            Escribe raíces usando tanto la notación radical como la notación exponencial racional.
            Simplifica expresiones con radicales. Sepa qué significa simplificado para los radicales.
            Simplifica expresiones con exponentes racionales.
            Saber qué significa simplificado para expresiones de exponentes racionales con y sin exponentes negativos.
            Convierta entre notación de exponente racional y notación radical.

            7. Ecuaciones radicales y ecuaciones con exponentes racionales
            Resuelve ecuaciones con una expresión de raíz cuadrada elevando ambos lados al cuadrado.
            Resuelve ecuaciones con 2 expresiones de raíz cuadrada elevando ambos lados al cuadrado.
            Resuelve ecuaciones con 2 expresiones de raíz cuadrada y una expresión lineal elevando ambos lados al cuadrado dos veces.
            Resolver ecuaciones con radicales (raíces) deshaciendo.
            Resolver ecuaciones con exponentes racionales elevando a la potencia recíproca.
            Sepa cuándo podría introducirse una solución adicional.
            Verifique el dominio para ver si la solución está permitida.

            8. Números complejos Aprenda la definición de i.
            Simplifica expresiones con raíces cuadradas de números negativos.
            Conoce la definición de un número complejo y la forma estándar de un número complejo.
            Encuentra las partes real e imaginaria de un número complejo poniéndolo en forma estándar.
            Recuerde que la parte imaginaria de un número complejo es el coeficiente de i. No contiene i.
            Evalúe i elevado a cualquier potencia entera.
            Simplifica expresiones con números complejos.
            Suma y resta números complejos.
            Multiplica números complejos frustrando.

            9. Funciones de logaritmo
            Conoce la definición de un logaritmo.
            Funciones de registro de gráficos.
            Encuentre el dominio y rango de funciones logarítmicas.
            Convierte entre expresiones logarítmicas y exponenciales.
            Memorice las propiedades básicas de los registros.
            Convierta entre notación expandida y notación logarítmica única.
            Simplifique las expresiones logarítmicas.
            Sepa cómo usar y simplificar expresiones con ln.
            Resuelva ecuaciones con registros con la incógnita en cualquiera de las tres posiciones posibles.
            Valores aproximados en calculadora, redondeando correctamente.
            Utilice log para la base 10 y ln para la base e en el caluclador.

            10. Funciones exponenciales
            Memoriza las leyes de los exponentes.
            Conoce la definición de una función exponencial.
            Identifica funciones exponenciales como crecimiento o decadencia.
            Grafica funciones exponenciales.
            Encuentra el dominio y rango de funciones exponenciales.
            Convierte entre expresiones logarítmicas y exponenciales.
            Simplifica expresiones exponenciales.
            Resuelve ecuaciones exponenciales.
            Valores aproximados con calculadora, redondeando correctamente.
            Encuentre un modelo exponencial para el crecimiento de la población dados los datos.
            Encuentre las constantes de crecimiento y el tiempo de duplicación dados los datos o fórmulas para el crecimiento de la población.

            11. Cuadráticas Memoriza la fórmula cuadrática.
            Evalúe el disciminante de una ecuación cuadrática.
            Identifica la naturaleza de las raíces de una ecuación cuadrática a partir del discriminante.
            Dadas las raíces de una ecuación cuadrática, calcula la ecuación.
            Resolver una ecuación cuadrática mediante el método de raíz cuadrada o factorización o fórmula cuadrática.
            Reconoce una cuadrática oculta.
            Grafica e identifica todos los puntos relevantes para parábolas horizontales y verticales.

            12. Círculos y teorema del binomio
            Encuentra el punto medio de un segmento de línea que conecta dos puntos.
            Calcula la distancia entre dos puntos.
            Completa el cuadrado para escribir la ecuación de un círculo en forma estándar.
            Identifica el centro y el radio de un círculo dada la ecuación.
            Grafica la ecuación de un círculo.
            Expanda binomios usando la fórmula binomial.
            Evaluar coeficientes binomiales.
            Simplifica expresiones con factoriales.

            13. Gráficos
            Memoriza las gráficas básicas de potencias, raíces, exponenciales, registros, parábolas y círculos.
            Sepa cómo traducir gráficos horizontal y verticalmente.
            Sepa cómo reflejar gráficas sobre la línea y = x.
            Sepa cómo reflejar gráficas sobre el eje xoy.

            Exámenes
            Lunes 8 de diciembre el 2, 3, 5 (desigualdades, sistemas lineales, expresiones racionales)
            Martes 9 de diciembre el 4,6,7 (polinomios, notación de exponente radical y racional en expresiones y ecuaciones)
            Miércoles 10 de diciembre los días 1,9,10,11 (álgebra de funciones, funciones logarítmicas, funciones exponenciales, cuadráticas)
            Jueves 11 de diciembre en 8,12,13 arriba (números complejos, círculos y teorema del binomio, gráficas)


            Matrices

            La forma tradicional de pensar sobre las matrices es como sistemas de ecuaciones lineales. Por ejemplo, puede tener las siguientes dos ecuaciones:

            2 x + 3 y = 4 'rol = "presentación" tabindex = "0"> 2 x + 3 y = 4 2 x + 3 y = 4 6 x + 2 y = 1' rol = "presentación" tabindex = "0 "> 6 x + 2 y = 1 6 x + 2 y = 1

            Esas dos ecuaciones le dicen acerca de dos relaciones entre las variables x 'rol = "presentación" tabindex = "0"> x x e y' rol = "presentación" tabindex = "0"> y y. Con esas dos relaciones, puede resolver cuáles son esas variables.

            Si solo tiene una ecuación, no tiene suficiente información para resolver tanto x 'rol = "presentación" tabindex = "0"> x x e y' rol = "presentación" tabindex = "0"> y y. De hecho, podrían ser cualquier cosa que satisfaga la relación, o cualquier cosa en la línea 2 x + 3 y = 4 'rol = "presentación" tabindex = "0"> 2 x + 3 y = 4 2 x + 3 y = 4 , que después de un poco de álgebra, podemos representar así:

            2 x + 3 y = 4 'role = "presentación" tabindex = "0"> 2 x + 3 y = 4 2 x + 3 y = 4 3 y = 4 & amp # x2212 2 x' role = "presentación" tabindex = "0"> 3 y = 4 - 2 x 3 y = 4 - 2 xy = 4 & amp # x2212 2 x 3 'role = "presentación" tabindex = "0"> y = 4 - 2 x 3 y = 4 - 2 x 3

            Y si graficara esa línea, vería que la solución válida que satisface esa relación existe en cualquier lugar de esa línea.


            Dinámica

            Dragomir N. Nenchev,. Teppei Tsujita, en Humanoid Robots, 2019

            4.12.5 Resumen y conclusiones

            Se ha confirmado que la eliminación directa, el principio de restricción mínima de Gauss & # x27, la proyección de espacio nulo de Maggi & # x27 y los métodos de proyección de espacio de rango producen ecuaciones idénticas: (4.168), (4.180), (4.195) y ( 4.204), respectivamente. Su equivalencia se confirmó en las siguientes condiciones:

            la dinámica se proyecta sobre N ⁎ (J c),

            el respectivo proyector de espacio nulo está parametrizado como en (4.192),

            la fuerza generalizada arbitraria Q a se establece como en (4.194).

            Estas condiciones son relevantes en el caso de ideal restricciones, por lo que el movimiento siempre está en armonía con el principio de restricción mínima de Gauss. Con una fuerza de entrada generalizada dada, el movimiento se determina de una manera única. Esto también implica la unicidad de todos los componentes: el multiplicador de Lagrange & # x27s (4.170), la fuerza de restricción generalizada (4.169), la aceleración generalizada no restringida q ¨ u, y la aceleración generalizada consistente con la restricción con sus dos componentes mostradas en (4.174) (el componente lineal, tangencial q ¨ my el componente no lineal dependiente del estado en la dirección normal).

            En un sistema real, sin embargo, las restricciones nunca son ideales; siempre hay algo de fricción y flexibilidad en las juntas de contacto. Esto hace que las ecuaciones de restricción no sean homogéneas y requiere un control activo de las fuerzas de restricción. Especialmente, en los robots multilimb / finger / leg, el control de estas fuerzas es esencial para la propulsión y manipulación basadas en reacciones. Dicho control se puede lograr de infinitas formas, ya que las fuerzas generalizadas Q u y Q a, que aparecen en (4.181) y (4.189), respectivamente, pueden elegirse libremente. El primero es relevante para el control de la fuerza tangencial, el segundo asegura la controlabilidad en la dirección normal y, por lo tanto, de la fuerza interna. Observe también que, mediante la elección de Q u, el vector multiplicador de Lagrange & # x27s (4.177), la fuerza de restricción Q c (4.179) y la fuerza de restricción que mantiene Q m (4.181) se determinarán de una manera única. Además, recuerde que las restricciones no ideales harán que el movimiento del sistema no sea integrable en el nivel de aceleración. Como consecuencia, puede aparecer una deriva de la velocidad de la articulación, que requerirá un control del movimiento interno (auto-movimiento).


            Demuestre esta desigualdad $ 25ab + 25a + 10b le38 $

            Nota $ 25ab + 25a + 10b = (5a-4) (5b-3) + 40a + 30b-12 $ Use la desigualdad AM-GM tenemos $ (5a-4) (5b-3) le dfrac <1> <2>[(5a-4)^2+(5b-3)^2]=dfrac<1> <2> [50-40a-30b] $ entonces $ 25ab + 25a + 10b le 20a + 15b + 13 = 5 [4a + 3b] + 13 $ y usemos la desigualdad de Cauchy-Schwarz tenemos $ 25 = [4 ^ 2 + 3 ^ 2] [a ^ 2 + b ^ 2] ge (4a + 3b) ^ 2 $ entonces tenemos $ 25ab + 25a + 10b le 5 cdot 5 + 13 = 38 $

            Solo de otra manera: una vez que conozca las condiciones de igualdad, todo lo que necesita asegurarse es usar desigualdades que las mantengan. En este caso, necesita encontrar límites para $ ab, a, b $ en términos de $ a ^ 2, b ^ 2 $. Entonces, las siguientes desigualdades parecen prometedoras $ (3a-4b) ^ 2 ge 0, quad (5a-4) ^ 2 ge 0, quad (5b-3) ^ 2 ge 0 $ Estos dan los límites: $ 24 ab le 9a ^ 2 + 16b ^ 2, quad 40a le 16 + 25a ^ 2, quad 30b le 9 + 25b ^ 2 $

            Poniéndolo juntos, tenemos $ 25ab + 25a + 10b le frac <25> <24> (9a ^ 2 + 16b ^ 2) + frac <25> <40> (16 + 25a ^ 2) + frac <10> <30> (9 + 25b ^ 2) = 13 + 25 (a ^ 2 + b ^ 2) = 38 $

            A partir de las condiciones dadas, podemos escribir, $ a = sin theta, b = cos theta, theta in (0, pi / 2) $. Entonces, la función objetivo se convierte en $ f ( theta) = 25/2 sin 2 theta + 25 sin theta + 10 cos theta f '( theta) = 25 cos 2 theta + 25 cos theta-10 sin theta $ Iguala esto a $ para obtener una solución de $ theta $, creo que se trata de resolver una ecuación cúbica $ 100 cos ^ 3 theta-71 cos theta + 21 = 0 $ que da como resultado tres soluciones reales, una de las cuales, que maximiza la función, es $ cos theta = frac <3> <5>, implica sin theta = frac <4> <5>, sin 2 theta = frac <24> <25> implica f ( theta) le 38, forall theta in (0, pi / 2) $.

            Escribamos $ a = (4 + u) / 5 $ y $ b = (3-v) / 5 $. La condición $ a ^ 2 + b ^ 2 = 1 $ se convierte en

            La desigualdad $ 25ab + 25a + 10b le38 $ se convierte en

            Poniendo estos juntos, la desigualdad es equivalente a

            que se aplica a todos los $ u $ y $ v $.

            Note, it's easy to see from $a^2+b^2=1$ that $u$ and $v$ cannot have opposite signs, which makes the equivalent inequality completely obvious, but the inequality holds in general.


            Ver el vídeo: CÓMO RESOLVER SISTEMAS DE INECUACIONES LINEALES. Método gráfico (Agosto 2022).