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1.2: Funciones - Matemáticas


Si (A ) y (B ) son conjuntos, llamamos a una relación (R subconjunto A veces B ) una función con dominio (A ) si para todo (a en A ) existe uno, y solo uno, (b in B ) tal que ((a, b) in R. ) Normalmente indicamos tal relación con la notación (f: A rightarrow B, ) y escribimos (f (a) = b ) para indicar que ((a, b) en R. ) Llamamos al conjunto de todos (b en B ) tales que (f (a ) = b ) para algunos (a in A ) el rango de (f. ) Con esta notación, a menudo nos referimos a (R ) como la gráfica de (f ).

Decimos que (f: A rightarrow B ) es uno a uno si para cada (b ) en el rango de (f ) existe una (a en A ) única tal que (f (a) = b. ) Decimos que (f ) está sobre si para cada (b en B ) existe al menos un (a en A ) tal que (f (a ) = b. ) Por ejemplo, la función (f: mathbb {Z} ^ {+} rightarrow mathbb {Z} ^ {+} ) definida por (f (z) = z ^ {2 } ) es uno a uno, pero no sobre, mientras que la función (f: mathbb {Z} rightarrow mathbb {Z} ) definida por (f (z) = z + 1 ) es tanto uno a uno como sobre.

Dadas dos funciones, (g: A rightarrow B ) y (f: B rightarrow C, ) definimos la composición, denotada (f circ g: A rightarrow C, ) como la función definida por (f circ g (a) = f (g (a)) ).

Si (f: A rightarrow B ) es tanto uno a uno como sobre, entonces podemos definir una función (f ^ {- 1}: B rightarrow A ) requiriendo (f ^ {- 1} (b) = a ) si y solo si (f (a) = b ). Tenga en cuenta que esto implica que (f circ f ^ {- 1} (b) = b ) para todo (b in B ) y (f ^ {- 1} circ f (a) = a ) para todo (a en A. ) Llamamos (f ^ {- 1} ) el inverso de (f ).

Dada cualquier colección de conjuntos no vacíos, ( left {A _ { alpha} right }, alpha in I, ) asumimos la existencia de una función ( phi: I rightarrow B = bigcup_ { alpha in I} A _ { alpha}, ) con la propiedad de que ( phi ( alpha) in A _ { alpha}. ) A esta función la llamamos función de elección. La suposición de que las funciones de elección siempre existen se conoce como el axioma de elección.


1.2: Funciones - Matemáticas

Una función asigna un conjunto de entradas a un conjunto de salidas permitidas. Cada entrada se corresponde con una y solo una salida

Objetivos de aprendizaje

Conectar la notación de funciones con la notación de ecuaciones y comprender los criterios para una función válida

Conclusiones clave

Puntos clave

  • Las funciones son una relación entre un conjunto de entradas y un conjunto de salidas con la propiedad de que cada entrada se asigna exactamente a una salida.
  • Por lo general, las funciones se nombran con una sola letra, como F.
  • Las funciones se pueden considerar como una máquina en una caja que está abierta en dos extremos. Pones algo en un extremo de la caja, de alguna manera se cambia dentro de la caja y luego el resultado sale por el otro extremo.
  • Todas las funciones son relaciones, pero no todas las relaciones son funciones.

Términos clave

  • producción: La salida es el resultado o la respuesta de una función.
  • relación: Una relación es una conexión entre números en un conjunto y números en otro.
  • función: Una función es una relación en la que cada elemento de la entrada está asociado con exactamente un elemento de la salida.

Funciones

En matemáticas, un función es una relación entre un conjunto de entradas y un conjunto de salidas permitidas. Las funciones tienen la propiedad de que cada entrada está relacionada exactamente con una salida. Por ejemplo, en la función [látex] f (x) = x ^ 2 [/ látex] cualquier entrada para [látex] x [/ látex] dará una única salida.

Las funciones normalmente se nombran con una sola letra, como [latex] f [/ latex]. [latex] f (x) [/ latex] se lee & # 8221 [latex] f [/ latex] de [latex] x [/ latex] & # 8220, y representa la salida de la función [latex] f [/ latex] correspondiente a una entrada [latex] x [/ latex].
Las variables de entrada a veces se denominan argumentos de la función. Considere el siguiente ejemplo:

[látex] displaystyle f (-3) = (- 3) ^ 2 [/ látex]

En el ejemplo anterior, el argumento es [látex] x = -3 [/ látex] y la salida es [látex] 9 [/ látex]. Escribimos la función como: [latex] f (-3) = 9 [/ latex].

En el caso de una función con una sola variable de entrada, la entrada y salida de la función se pueden expresar como un par ordenado. El orden es tal que el primer elemento es el argumento y el segundo es la salida. En el ejemplo anterior, [látex] f (x) = x ^ 2 [/ látex], tenemos el par ordenado [látex] (- 3, 9) [/ látex]. Si tanto la entrada como la salida son números reales, entonces el par ordenado puede verse como las coordenadas cartesianas de un punto en el gráfico de la función.

Otra notación comúnmente usada para una función es [latex] f: X rightarrow Y [/ latex], que dice que [latex] f [/ latex] es una función que mapea valores del conjunto [latex] X [/ látex] sobre los valores del conjunto [látex] Y [/ látex].

Funciona como una máquina

Las funciones se describen a menudo como una máquina en una caja que está abierta en dos extremos. Pones algo en un extremo de la caja, se cambia dentro de la caja y luego el resultado aparece por el otro extremo. La función es la máquina dentro de la caja y está definida por lo que hace con lo que sea que le pongas.

Función de la máquina: Una función [latex] f [/ latex] toma una entrada [latex] x [/ latex] y devuelve una salida [latex] f (x) [/ latex]. Una metáfora describe la función como una & # 8220machine & # 8221, que para cada entrada devuelve una salida correspondiente.

Digamos que la máquina tiene una cuchilla que corta en dos todo lo que pones y envía la mitad de ese objeto por el otro extremo. Si pones un plátano, obtendrás medio plátano. Si pones una manzana, obtendrás media manzana.

Función de reducción a la mitad de la fruta: Esto muestra una función que toma una fruta como entrada y libera la mitad de la fruta como salida.

Dejemos que & # 8217s defina la función para tomar lo que le pones y cortarlo por la mitad. Es decir, la función divide la entrada entre dos. Si pones [látex] 2 [/ látex] obtendrás [látex] 1 [/ látex]. Si pones [látex] 57 [/ látex] obtendrás [látex] 28,5 [/ látex]. La máquina de funciones nos permite alterar expresiones. En este ejemplo, la función se escribiría como:

Funciones como una relación

Las funciones también se pueden considerar como un subconjunto de relaciones. A relación es una conexión entre los valores de un conjunto y los valores de otro. En otras palabras, cada número que ingresa está asociado con cada número que obtiene. En una función, cada número de entrada está asociado con exactamente un número de salida. En una relación, un número de entrada puede estar asociado con varios números de salida o con ninguno. Este es un hecho importante sobre las funciones que no se puede enfatizar lo suficiente: cada entrada posible a la función debe tener una y solo una salida. Todas las funciones son relaciones, pero no todas las relaciones son funciones.


Análisis funcional en matemáticas

Dijimos anteriormente que el análisis funcional se utiliza en una variedad cada vez mayor de campos. Se ha abordado en las directrices de enseñanza del Reino Unido desde 2007, pero aún no tiene un plan de estudios básico establecido. Más bien tiene la intención de fomentar la aplicación de técnicas matemáticas conocidas a situaciones cotidianas y de gran alcance.

A los estudiantes se les enseñan métodos de trabajo o principios relacionados con el análisis de funciones, siendo 3 básicos:

  • Representando - dar sentido a las situaciones y representarlas
  • Analizando - procesamiento de datos y uso de matemáticas
  • Interpretación - interpretar y presentar los resultados del análisis

El análisis de Fourier aplicado a formas de onda y describirlas como una serie de funciones trigonométricas sigue siendo uno de los mejores ejemplos de análisis funcional aplicado en matemáticas.

Obviamente, se puede utilizar una amplia gama de técnicas para un problema o situación específicos y cualquier persona en particular puede completar parte o todo el trabajo sin ayuda. Cuando sepas lo que quieres describir o analizar pero no sabes cuál es la mejor manera de hacerlo, contáctanos, porque tenemos a alguien que lo sabe.


1.2 Dominio y rango de amplificador

En palabras muy simples, "Todas las entradas posibles para una función" se llama el dominio de esa función en particular. Un dominio representa todos los valores de entrada ox.
Por otro lado, "Todas las salidas posibles debido a una entrada dada" se llama
el rango para una función en particular.
Ahora, se puede preguntar: "¿Cuál es la relación entre el dominio y el rango?"
Bueno, la respuesta es, Rango es la salida correspondiente para un Dominio / Entrada particular que es procesado por la función dada f (x). Los diagramas dados aclararán la idea.


1.2: Funciones - Matemáticas

Para los problemas 1 - 4, las funciones dadas realizan las evaluaciones de funciones indicadas.

  1. (f left (x right) = 3 - 5x - 2 ) Solución
    1. (f left (4 right) )
    2. (f left (0 right) )
    3. (f left (<- 3> right) )
    1. (f left (<6 - t> right) )
    2. (f left (<7 - 4x> right) )
    3. (f left ( derecho) )
    1. (g left (0 right) )
    2. (g left (<- 3> right) )
    3. (g left (<10> right) )
    1. (g izquierda (<> derecha) )
    2. (g left ( derecho))
    3. (g left (<- 3t + 1> derecha) )
    1. (h left (0 right) )
    2. (h left (<- frac <1> <2>> right) )
    3. (h left ( <2>> right) )
    1. (h left (<9z> right) )
    2. (h left (<- 2z> derecha) )
    3. (h left ( derecho) )
    1. (R left (0 right) )
    2. (R left (6 right) )
    3. (R izquierda (<- 9> derecha) )
    1. (R izquierda ( derecho))
    2. (R izquierda (<- 3> derecha) )
    3. (R left (< frac <1>- 1> derecha) )

    La cociente de diferencias de una función (f left (x right) ) se define como,

    Para los problemas 5 a 9, calcule el cociente de diferencias de la función dada.

    1. (f left (x right) = 4x - 9 ) Solución
    2. (g left (x right) = 6 - ) Solución
    3. (f left (t right) = 2 - 3t + 9 ) Solución
    4. ( Displaystyle y left (z right) = frac <1> <> ) Solución
    5. ( displaystyle A left (t right) = frac <<2t>> << 3 - t >> ) Solución

    Para los problemas del 10 al 17, determine todas las raíces de la función dada.

    1. (f left (x right) = - 4 - 32 ) Solución
    2. (R left (y right) = 12 + 11y - 5 ) Solución
    3. (h left (t right) = 18 - 3t - 2 ) Solución
    4. (g left (x right) = + 7 - x ) Solución
    5. (W left (x right) = + 6 - 27 ) Solución
    6. (f left (t right) = <3>>> - 7<3> >> - 8t ) Solución
    7. ( Displaystyle h left (z right) = frac<> - frac <4> <> ) Solución
    8. ( Displaystyle g left (w right) = frac <<2w>> <> + frac <> << 2w - 3 >> ) Solución

    Para los problemas 18 a 22, encuentre el dominio y el rango de la función dada.

    1. (Y left (t right) = 3 - 2t + 1 ) Solución
    2. (g left (z right) = - - 4z + 7 ) Solución
    3. (f left (z right) = 2 + sqrt <+ 1> ) Solución
    4. (h left (y right) = - 3 sqrt <14 + 3y> ) Solución
    5. (M left (x right) = 5 - left | right | ) Solución

    Para los problemas 23 a 32, encuentre el dominio de la función dada.

    1. ( Displaystyle f left (w right) = frac <<- 3w + 1 >> << 12w - 7 >> ) Solución
    2. ( Displaystyle R left (z right) = frac <5> <<+ 10 + 9z >> ) Solución
    3. ( Displaystyle g left (t right) = frac << 6t - >> << 7 - t - 4>> ) Solución
    4. (g left (x right) = sqrt <25 - > ) Solución
    5. (h left (x right) = sqrt <- - 20> ) Solución
    6. ( Displaystyle P left (t right) = frac << 5t + 1 >> << sqrt <- - 8t> >> ) Solución
    7. (f left (z right) = sqrt + sqrt ) Solución
    8. ( Displaystyle h left (y right) = sqrt <2y + 9> - frac <1> << sqrt <2 - y >>> ) Solución
    9. ( Displaystyle A left (x right) = frac <4> <> - sqrt <- 36> ) Solución
    10. (Q left (y right) = sqrt <+ 1> - sqrt [3] << 1 - y >> ) Solución

    Para los problemas 33 - 36 calcula ( left ( right) left (x right) ) y ( left ( right) left (x right) ) para cada uno de los pares de funciones dados.


    Funciones y límites

    y = 4x + 1 define y como una función de X porque cada valor asignado a X determina exactamente un valor de y.

    X Valor de y = 4x + 1
    2 9
    1 5
    0 1
    -1/4 0
    y radic 3 4 y radic 3 + 1
    En el siguiente ejemplo y no es una función de X, ya que cada valor asignado a X determina dos valores de y.
    y = & # 177 & radic x
    si x = 4
    y = & # 177 & radic 4
    y = 2 y y = -2 Si usamos la letra F para denotar una función, entonces la ecuación

    y es una función de X Aunque F es el símbolo más comúnmente utilizado para denotar una función, se puede utilizar cualquier símbolo. Por lo tanto

    g (x) = x 2 - 4x Rango de una función
    Por cada valor dado a la variable independiente del dominio en una función, obtenemos un correspondiente y valor.

    El conjunto de todos esos y valores se llama rango de la función

    Si una función está definida por una fórmula y no hay un dominio establecido explícitamente, entonces se entiende que el dominio consta de todos los números reales para los cuales la fórmula tiene sentido y la función tiene un valor real. A esto se le llama dominio natural de la función.

    Ejemplo
    y = (x + 1) / (x - 1) - El dominio natural son todos los reales excepto 1
    Resolver y
    x = (y + 1) / (y - 1) - El rango es todos reales excepto 1
    Funciones definidas por partes


    Ejemplos de funciones sobreyectivas

    Para ver algunos de los ejemplos de funciones sobreyectivas, sigamos intentando demostrar que una función está activada.

    Veamos algunos ejemplos más y cómo probar una función.

    Es g (x) = x 2 y menos2 una función en donde (g: mathbb rightarrow mathbb) ?

    El gráfico de esta función (da como resultado una parábola) NO ES ONTO.

    En el gráfico, vemos que nunca se usan valores menores que -2 en el eje y. Dado que solo se utilizan ciertos valores de y (es decir, [2, & infin)), vemos que no todos los valores de y posibles tienen una imagen previa.

    Por lo tanto, esta no es una función sobre.

    Demuestre que una función está activada. Es g (x) = x 2 y menos2 una función en donde (g: mathbb rightarrow [-2, infty) )?

    Si el conjunto B, el codominio, se redefine para ser, del gráfico anterior podemos decir que todos los valores de y posibles se utilizan ahora o tienen al menos una imagen previa, y la función g (x) en estas condiciones es ONTO .

    Verifica tu entendimiento

    Pregunta 1: Determine cuál de las siguientes funciones f: R & rarrR es una función sobre


    Ahora, el escenario se vuelve un poco más complejo. Sin embargo, sugeriría usar esta tarea nuevamente más para la discusión y no dedicar mucho tiempo a ella.

    Aunque hay un video del Acto 1 (aquí), recomiendo saltar directamente a la pregunta mostrando el video del Acto 2.

    Entonces, los estudiantes ahora se enfrentan a esta pregunta:

    ¿Cuánto tiempo antes de que la opción & # 8220penny duplique & # 8221 sea la mejor?

    * Es posible que desee reiterar que los estudiantes reciben un centavo el primer día, luego el centavo original se convierte en dos centavos el segundo día, se convierte en cuatro centavos el tercer día, etc. *


    3.1 ¿Qué son las funciones?

    Las funciones son lo que usamos para describir cosas de las que queremos hablar matemáticamente. Sin embargo, encuentro que se me traba la lengua un poco cuando trato de definirlos.

    La definición más simple es: una función es un grupo de pares ordenados de cosas (en nuestro caso, las cosas serán números, pero pueden ser de otra manera), con la propiedad de que los primeros miembros de los pares son todos diferentes entre sí.

    Por lo tanto, aquí hay un ejemplo de una función:

    Esta función consta de tres pares, cuyos primeros miembros son (1, 2 ) y (3 ).
    Es habitual dar nombres a funciones, como (f, g ) o (h ), y si llamamos a esta función (f ), generalmente usamos la siguiente notación para describirla:

    Los primeros miembros de las parejas se llaman argumentos y todo el conjunto de ellos se llama dominio de la función. Por tanto, los argumentos de (f ) aquí son (1, 2 ) y (3 ), y el conjunto que consta de estos tres números es su dominio.

    Los segundos miembros de las parejas se denominan valores de las funciones, y el conjunto de estos se llama el distancia de la función.

    La terminología estándar para describir esta función f es:

    El valor de (f ) en el argumento (1 ) es (1 ), su valor en el argumento (2 ) es (1 ) y su valor en el argumento (3 ) es (2 ), que escribimos como (f (1) = 1, f (2) = 1, f (3) = 2 ).

    Generalmente pensamos en una función como un conjunto de asignaciones de valores (segundos miembros de nuestros pares) a argumentos (sus primeros miembros).

    La condición de que los primeros miembros de los pares sean todos diferentes es la condición de que a cada argumento en el dominio de (f ) se le asigne una único valor en su rango por cualquier función.

    Ejercicio 3.1 Considere la función (g ), definida por los pares ((1, 1), (2, 5), (3, 1) ) y ((4, 2) ). Cual es su dominio? ¿Cuál es el valor de (g ) en el argumento (3 )? ¿Qué es (g (4) )?

    Si se mete un termómetro en la boca, puede medir su temperatura, en un momento determinado. Puede definir una función (T ) o temperatura, que asigna la temperatura que mide al momento en que se quita el termómetro de la boca. Ésta es una función típica. Sus argumentos son tiempos de medición y sus valores son temperaturas.

    Por supuesto, su boca tiene una temperatura incluso cuando no la mide, y tiene una en cada instante de tiempo y hay un número infinito de esos instantes.

    Esto significa que si desea describir una función (T ) cuyo valor en cualquier momento t son las temperaturas en su boca en ese momento, no puede enumerar todos sus pares. Hay un número infinito de argumentos posibles (t ) y te llevaría una eternidad enumerarlos.

    En lugar de, empleamos un truco para describir una función (f ): generalmente proporcionamos una regla que le permite a usted, el lector, elegir cualquier argumento que desee en el dominio de (f ) y, mediante el uso de la regla, calcular el valor de su función en ese argumento. Esta regla a menudo se llama fórmula para la función. El símbolo (x ) se usa a menudo para denotar el argumento que seleccionará, y la fórmula le dice cómo calcular la función en ese argumento.

    La función más simple de todas, a veces llamada la función de identidad, es el que asigna como valor el propio argumento. Si denotamos esta función como (f ), obedece

    para (x ) en cualquier dominio que elijamos. En otras palabras, ambos miembros de sus pares son iguales dondequiera que elija definirlo.

    Podemos obtener funciones más complicadas dando reglas más complicadas (estas reglas a menudo se llaman fórmulas como ya hemos señalado). Así podemos definir funciones dando cualquiera de las siguientes fórmulas entre una infinidad de posibilidades:

    [3x, x ^ 2, x ^ 2-1, frac <3>, x ^ 3, frac, 3x + 5, x ^ 2 + 7x - 1 ]

    Éstos representan, respectivamente, (3 ) multiplicado por (x ), (x ) al cuadrado, (x ) al cuadrado menos (1 ), (3 ) dividido por (x ), (x ) al cubo, (x ) dividido por la suma del cuadrado de (x ) y (1 ), y así sucesivamente.

    Podemos construir funciones por aplicando las operaciones de suma, resta, multiplicación y división a copias de (x ) y números de la forma que consideremos adecuada para hacerlo.

    Hay dos características muy interesantes de las funciones que construimos de esta manera, y la primera se aplica a todas las funciones.

    Podemos hacer un dibujo de una función, llamada su grafico, en una hoja de papel cuadriculado, en una hoja de cálculo, en un gráfico o con una calculadora gráfica. Podemos hacerlo tomando pares argumento-valor de la función y describiendo cada uno por un punto en el plano, con la coordenada (x ) dada por el argumento y la coordenada y dada por el valor de su par.

    Por supuesto, es imposible trazar todos los pares de una función que tiene un dominio infinito, pero podemos tener una idea bastante clara de cómo se ve su gráfico tomando quizás cien puntos espaciados uniformemente en cualquier intervalo de interés para nosotros. Esto suena como algo increíblemente tedioso de hacer y solía serlo, pero ahora no lo es. En una hoja de cálculo, el trabajo principal es ingresar a la función una vez (con su argumento dado por la dirección de alguna otra ubicación). Eso y algo de copia es todo lo que tiene que hacer, y con práctica se puede hacer en (30 ) segundos para una amplia variedad de funciones.

    La segunda característica interesante es que podemos ingresar a cualquier función formado sumando, restando, multiplicando, dividiendo y realizando otra operación más, en el contenido de alguna dirección muy fácilmente en una hoja de cálculo o calculadora gráfica. No solo eso, estos dispositivos tienen algunas otras funciones integradas que también podemos usar.

    Estos dos hechos significan que podemos ver cualquier función formada sumando, restando, multiplicando o dividiendo copias de la función de identidad (x ) y otras funciones integradas, y cualquier número que queramos, y ver cómo se comportan, con esfuerzo muy limitado.

    Pronto veremos que podemos usar el mismo procedimiento utilizado para graficar funciones para graficar sus derivadas (aún no las hemos definido), pero eso es adelantarnos a la historia. Sin embargo, debe darse cuenta de que también podemos calcular derivadas para la mayoría de las funciones numéricamente con solo una pequeña cantidad de esfuerzo.

    Ejercicio 3.2 ¿Cuál es el valor de la función (x ^ 2 + 3 ) en (x = 5 )? ¿En el argumento (10 ​​)?


    Escribir funciones racionales

    Ahora que hemos analizado las ecuaciones para funciones racionales y cómo se relacionan con una gráfica de la función, podemos usar la información proporcionada por una gráfica para escribir la función. Una función racional escrita en forma factorizada tendrá un X-intercepto donde cada factor del numerador es igual a cero. (Se produce una excepción en el caso de una discontinuidad removible.) Como resultado, podemos formar un numerador de una función cuya gráfica pasará por un conjunto de X-intercepta mediante la introducción de un conjunto correspondiente de factores. Asimismo, debido a que la función tendrá una asíntota vertical donde cada factor del denominador es igual a cero, podemos formar un denominador que producirá las asíntotas verticales al introducir un conjunto de factores correspondiente.

    Una nota general: escribir funciones racionales a partir de intersecciones y asíntotas

    Si un función racional posee X-intercepta en [látex] x =_<1>, _<2>, …, _ [/ latex], asíntotas verticales en [latex] x =_<1>,_ <2>, puntos,_ [/ látex] y no [látex]_= texto_ [/ latex], entonces la función se puede escribir en la forma:

    donde los poderes [latex]

    _ [/ látex] o [látex]_ [/ latex] en cada factor se puede determinar mediante el comportamiento del gráfico en la intersección o asíntota correspondiente, y el factor de estiramiento a se puede determinar dado un valor de la función distinto del X-intercepción o por la asíntota horizontal si es diferente de cero.

    Cómo: Dada una gráfica de una función racional, escribe la función.

    1. Determina los factores del numerador. Examine el comportamiento del gráfico en la X-intercepciones para determinar los ceros y sus multiplicidades. (Esto es fácil de hacer cuando se encuentra la función & # 8220simplest & # 8221 con multiplicidades pequeñas, como 1 o 3, pero puede ser difícil para multiplicidades más grandes, como 5 o 7, por ejemplo).
    2. Determina los factores del denominador. Examine el comportamiento en ambos lados de cada asíntota vertical para determinar los factores y sus potencias.
    3. Utilice cualquier punto claro del gráfico para encontrar el factor de estiramiento.

    Ejemplo 12: Escribir una función racional a partir de intersecciones y asíntotas

    Escribe una ecuación para la función racional que se muestra en la Figura 22.

    Solución

    El gráfico parece tener X-intercepta en [látex] x = -2 [/ látex] y [látex] x = 3 [/ látex]. En ambos, el gráfico pasa por la intersección, lo que sugiere factores lineales. La gráfica tiene dos asíntotas verticales. El de [látex] x = -1 [/ látex] parece exhibir un comportamiento básico similar al de [látex] frac <1> [/ latex], con el gráfico dirigiéndose hacia el infinito positivo por un lado y dirigiéndose hacia el infinito negativo por el otro. La asíntota en [látex] x = 2 [/ látex] muestra un comportamiento similar a [látex] frac <1> <^ <2>> [/ latex], con el gráfico dirigiéndose hacia el infinito negativo en ambos lados de la asíntota.

    Podemos usar esta información para escribir una función de la forma

    Para encontrar el factor de estiramiento, podemos usar otro punto claro en el gráfico, como el y-interceptar [látex] left (0, -2 right) [/ látex].


    Ver el vídeo: Funciones (Diciembre 2021).