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2.9: La definición precisa de un límite - Matemáticas

2.9: La definición precisa de un límite - Matemáticas



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A estas alturas, ha pasado de la definición muy informal de un límite en la introducción de este capítulo a la comprensión intuitiva de un límite. Comprender esta definición es la clave que abre la puerta a una mejor comprensión del cálculo.

Cuantificando la cercanía

Antes de enunciar la definición formal de límite, debemos introducir algunas ideas preliminares. Recuerda que la distancia entre dos puntos ayb en una recta numérica viene dada por | (a − b ) |.

  • El enunciado (| f (x) −L | <ε ) se puede interpretar como: La distancia entre (f (x) ) y L es menor que (ε ).
  • El enunciado (0 <| x − a | <δ ) se puede interpretar como: (x ≠ a ) y la distancia entre (x ) y (a ) es menor que (δ ) .

También es importante observar las siguientes equivalencias de valor absoluto:

  • El enunciado (| f (x) −L | <ε ) es equivalente al enunciado (L − ε
  • El enunciado (0 <| x − a | <δ ) es equivalente al enunciado (a − δ

Con estas aclaraciones, podemos enunciar la formal epsilon-delta definición del límite.

Definición: La Epsilon-Delta Definición del límite

Sea (f (x) ) definido para todo (x ≠ a ) sobre un intervalo abierto que contiene a. Sea L un número real. Luego

[ Displaystyle lim_ {x → a} f (x) = L ]

si, para todo (ε> 0 ), existe un (δ> 0 ), tal que si (0 <| x − a | <δ ), entonces (| f (x) −L | <ε ).

Esta definición puede parecer bastante compleja desde un punto de vista matemático, pero se vuelve más fácil de entender si la desglosamos frase por frase. El enunciado en sí implica algo llamado cuantificador universal (para cada (ε> 0 )), una cuantificador existencial (existe un (δ> 0 )), y, por último, un sentencia condicional (si (0 <| x − a | <δ ), entonces (| f (x) −L | <ε) ). Echemos un vistazo a Table, que desglosa la definición y traduce cada parte.

DefiniciónTraducción
1. Para cada (ε> 0 ),1. Para cada distancia positiva (ε ) desde (L ),
2. existe un (δ> 0 ),2. Hay una distancia positiva (δ ) de (a ),
3. tal que3. tal que
4. si (0 <| x − a | <δ ), entonces (| f (x) −L | <ε ).4. si x está más cerca que (δ ) a (a ) y (x ≠ a ), entonces (f (x) ) está más cerca que (ε ) a (L ) .

Podemos manejar mejor esta definición si observamos la definición geométricamente. La figura muestra los posibles valores de (δ ) para varias elecciones de (ε> 0 ) para una función dada (f (x) ), un número ay un límite L en a. Observe que cuando elegimos valores más pequeños de ε (la distancia entre la función y el límite), siempre podemos encontrar un (δ ) lo suficientemente pequeño como para que si hemos elegido un valor de x dentro de (δ ) de a, entonces el valor de (f (x) ) está dentro de (ε ) del límite L.

Figura ( PageIndex {1} ): Estos gráficos muestran posibles valores de (δ ), dadas elecciones sucesivamente más pequeñas de ε.

Notas de álgebra

Un hecho importante de álgebra para valores absolutos que necesitará para las pruebas con la definición de límite épsilon-delta es:

(| p |

Un hecho de álgebra para las desigualdades es:

Si (a> 0 ) y (b> 0 ) entonces (a frac {1} {b} )

El ejemplo ( PageIndex {1} ) muestra cómo puede usar esta definición para probar una declaración sobre el límite de una función específica en un valor especificado.

Ejemplo ( PageIndex {1} ): demostrar una declaración sobre el límite de una función específica

Demuestra que ( displaystyle lim_ {x → 1} (2x + 1) = 3 ).

Solución

Sea (ε> 0 ).

La primera parte de la definición comienza con "Para cada (ε> 0 )". Esto significa que debemos probar que todo lo que sigue es cierto sin importar qué valor positivo de ε se elija. Al decir "Let (ε> 0 )", indicamos nuestra intención de hacerlo.

Elija (δ = frac {ε} {2} ). ¿Por qué elegimos esto? Sigue la explicación.

La definición continúa con “existe un (δ> 0 ). ”La frase" existe "en una declaración matemática es siempre una señal para una búsqueda del tesoro. En otras palabras, debemos ir y encontrar (δ ). Entonces, ¿de dónde vino exactamente (δ = frac {ε} {2} )?

Abordamos el problema desde un punto de vista algebraico. Este es nuestro "Doodle de análisis" para descubrir qué valor usar para (δ ).

Análisis

Como en última instancia queremos | ( (2x + 1) −3 | <ε ), comenzamos manipulando esta expresión: | ( (2x + 1) −3 ) | <ε es equivalente a | (2x− 2 | <ε ), que a su vez es equivalente a (- ε <2x − 2 <ε ) (ver Nota de álgebra arriba) que es equivalente a (- frac {ε} {2}

Figura ( PageIndex {2} ) demuestra nuestra configuración épsilon-delta:

Figura ( PageIndex {2} ): demuestra nuestra configuración épsilon-delta para ( Displaystyle lim_ {x → 1} (2x + 1) = 3 ).

Después de eliminar todos los comentarios, aquí hay una versión final de la prueba:

Sea (ε> 0 ).

Elija (δ = ε / 2 ).

Suponga (0 <| x − 1 | <δ ).

En otras palabras:

(0 <| x − 1 | < frac {ε} {2} ),

entonces (- frac {ε} {2}

entonces (- ε <2x − 2 <ε )

entonces | (2x − 2 | <ε ),

entonces | ( (2x + 1) −3 ) | <ε

Por lo tanto, si (0 <| x − 1 | <δ ), entonces | ( (2x + 1) −3 ) | <ε.

Por lo tanto, según la definición de límite, ( displaystyle lim_ {x → 1} (2x + 1) = 3 ).

La siguiente estrategia de resolución de problemas resume el tipo de prueba que elaboramos en Ejemplo ( PageIndex {1} ).

Estrategia de resolución de problemas: demostrar que ( displaystyle lim_ {x → a} f (x) = L ) para una función específica (f (x) )

  1. Comencemos la demostración con la siguiente declaración: Sea (ε> 0 ).
  2. A continuación, necesitamos obtener nuestra elección para (δ ) (use el Doodle de análisis). El Doodle de análisis es un trabajo preliminar realizado para encontrar nuestra elección para (δ ). Colóquelo siempre en una página separada o en una casilla marcada como "Trabajo improvisado". Haga la siguiente declaración, llenando el espacio en blanco con nuestra elección descubierta de δ: Elija (δ = ) _______.
  3. La siguiente declaración en la demostración debería ser (en este punto, completamos nuestro valor dado para a): Suponga (0 <| x − a | <δ ).
  4. Comenzando con (0 <| x − a | <δ ), use nuestra elección de (δ ) y álgebra para llegar a (| f (x) −L | <ε ), donde (f ( x) ) y L son nuestra función (f (x) ) y nuestro límite L.
  5. Esto muestra (y debe indicar) si (0 <| x − a | <δ ), entonces (| f (x) −L | <ε ).
  6. Concluimos nuestra prueba con la afirmación: Por lo tanto, según la definición de límite, ( displaystyle lim_ {x → a} f (x) = L ).

Ejemplo ( PageIndex {2} ): demostrar una declaración sobre un límite

Completa la prueba de que ( displaystyle lim_ {x → −1} (4x + 1) = - 3 ) llenando los espacios en blanco.

Dejar _____.

Elija (δ = ) _______.

Suponga (0 <) | (x ) −_______ | (<δ ).

En otras palabras, | (x ) −_______ | (<) _______, luego _______________ luego ________________ luego _______________ ... luego __________ (<ε ).

Por lo tanto, si ____________________________, entonces ________________.

Por lo tanto, por _______________________________ _____________________________.

Solución

Comenzamos llenando los espacios en blanco donde las opciones están especificadas por la definición. Por lo tanto, tenemos

Sea ε (> 0 ).


TRABAJO DE RASGUÑOS:

Elija (δ ) = ??.

Aquí está nuestro Doodle de análisis:

Queremos que (| 4x + 1 - (- 3) | ) sea menor que (ε ), si (0 <) | (x - (- 1) ) | (<δ ).

Entonces, establecemos (| 4x + 1 - (- 3) | <ε ) y jugamos para obtener (x - (- 1) ) dentro del valor absoluto.

(| 4x + 1 - (- 3) | <ε ) implica (- ε <4x + 4 <ε ) implica (- frac {ε} {4}

Por tanto, vemos que debemos elegir (δ = frac {ε} {4} ).

Ahora completamos la redacción final de la prueba:


Sea ε (> 0 ).

Elija (δ = frac {ε} {4} ).

Suponga (0 <) | (x - (- 1) ) | (<δ ) (o equivalentemente, (0 <) | (x + 1 ) | (<δ ) .)

En otras palabras:

(0 <| x + 1 | < frac {ε} {4} ),

entonces (- frac {ε} {4}

entonces (- ε <4x + 4 <ε )

entonces | (4x + 4 | <ε ),

entonces | ( (4x + 1) - (- 3) ) | <ε

Por lo tanto, si (0 <| x - (- 1) | <δ ), entonces | ( (4x + 1) - (- 3) ) | <ε.

Por lo tanto, según la definición de límite, ( displaystyle lim_ {x → -1} (4x + 1) = - 3 ).

( PageIndex {1} )

Completa la prueba de que ( displaystyle lim_ {x → 2} (3x − 2) = 4 ) llenando los espacios en blanco. (Su Doodle de análisis NO está escrito en la prueba real).

Dejar _______.

Elija (δ ) = _______.

Suponga (0 <) | (x - ) ____ | (<) ____.

En otras palabras, | (x ) −_______ | (<) _______, luego _______________ luego ________________ luego _______________ ... luego __________ (<ε ).

Por lo tanto, si ____________________________, entonces ________________.

Por lo tanto, por _______________________________ _____________________________.

Insinuación

Siga el esquema de la estrategia de resolución de problemas que elaboramos en su totalidad en el ejemplo ( PageIndex {2} ).

Respuesta

Sea ε (> 0 ); elija (δ = frac {ε} {3} ); suponga (0 <| x − 2 | <δ ).

En otras palabras:

(0 <| x - 2 | < frac {ε} {3} ),

entonces (- frac {ε} {3}

entonces (- ε <3x - 6 <ε )

entonces | (3x - 6 | <ε ),

entonces | ( (3x - 2) −4 ) | <ε

Por lo tanto, si (0 <| x − 2 | <δ ), entonces | ( (3x - 2) −4 ) | <ε.

Por lo tanto, según la definición de límite, ( displaystyle lim_ {x → 2} 3x − 2 = 4 ).


Definiciones precisas para límites en el infinito

Anteriormente, usamos los términos arbitrariamente cercano, arbitrariamente grande y suficientemente grande para definir límites en el infinito de manera informal. Aunque estos términos proporcionan descripciones precisas de los límites en el infinito, no son precisos matemáticamente. Aquí hay definiciones más formales de límites en el infinito. Luego veremos cómo usar estas definiciones para probar resultados que involucran límites en el infinito.

Definición: límite en el infinito (formal)

Decimos que una función (f ) tiene un límite en el infinito, si existe un número real (L ) tal que para todo (ε> 0 ), existe (N> 0 ) tal que

[| f (x) −L | <ε ]

para todo (x> N. ) en ese caso, escribimos

[ lim_ {x → ∞} f (x) = L ]

Figura ( PageIndex {3} ): Para una función con un límite en el infinito, para todo (x> N, | f (x) −L | <ε. )

Anteriormente en esta sección, usamos evidencia gráfica en la Figura y evidencia numérica en la Tabla para concluir que ( lim_ {x → ∞} ( frac {2 + 1} {x}) = 2 ). Aquí usamos la definición formal de límite en el infinito para probar este resultado de manera rigurosa.

Ejemplo ( PageIndex {3} ):

Usa la definición formal de límite en el infinito para demostrar que ( displaystyle lim_ {x → ∞} 2+ frac {1} {x} = 2 ).

Solución

Sea (ε> 0. ) Sea (N = frac {1} {ε} ). Por lo tanto, para todo (x> N ), tenemos

[| 2+ frac {1} {x} −2 | = | frac {1} {x} | = frac {1} {x} < frac {1} {N} = ε ]

Por lo tanto, ( displaystyle lim_ {x → ∞} 2+ frac {1} {x} = 2 ).

( PageIndex {2} )

Usa la definición formal de límite en el infinito para demostrar que ( displaystyle lim_ {x → ∞} 3− frac {1} {x ^ 2} = 3 ).

Insinuación

Sea (N = frac {1} { sqrt {ε}} ).

Respuesta

Sea (ε> 0. ) Sea (N = frac {1} { sqrt {ε}} ). Por lo tanto, para todo (x> N, ) tenemos

(∣3− frac {1} {x ^ 2} −3∣ = frac {1} {x ^ 2} < frac {1} {N ^ 2} = ε )

Por lo tanto, ( displaystyle lim_ {x → ∞} (3− frac {1} {x ^ 2}) = 3. )

Ahora dirigimos nuestra atención a una definición más precisa de un límite infinito en el infinito.

Definición: Límite infinito en el infinito (formal)

Decimos que una función (f ) tiene una límite infinito en el infinito y escribe

( Displaystyle lim_ {x → ∞} f (x) = ∞ )

si para todo (M> 0, ) existe un (N> 0 ) tal que

(f (x)> M )

para todo (x> N ) (ver Figura).

Decimos que una función tiene un límite infinito negativo en el infinito y escribimos

( Displaystyle lim_ {x → ∞} f (x) = - ∞ )

si para todo (M <0 ), existe un (N> 0 ) tal que

(f (x)

para todo (x> N ).

De manera similar, podemos definir límites como (x → −∞. )

Figura ( PageIndex {4} ): Para una función con un límite infinito en el infinito, para todo (x> N, f (x)> M. )

Aquí usamos la definición formal de límite infinito en el infinito para demostrar ( displaystyle lim_ {x → ∞} x ^ 3 = ∞ ).

Ejemplo ( PageIndex {4} ):

Usa la definición formal de límite infinito en el infinito para demostrar que ( displaystyle lim_ {x → ∞} x ^ 3 = ∞. )

Análisis de Doodle: Para algunos (M> 0 ), necesitamos un (N ) de modo que si (x> N ), obtenemos (x ^ 3> M ).

Comience con (x ^ 3> M ) y resuelva para (x ). (x> sqrt [3] {M} ). Entonces, siempre que (x> sqrt [3] {M} ), entonces (x ^ 3> M ). Entonces, elija (N = sqrt [3] {M} ).

Prueba:

Sea (M> 0. ) Elija (N = sqrt [3] {M} ). Entonces, para todo (x> N ), tenemos

(x ^ 3> N ^ 3 = ( sqrt [3] {M}) ^ 3 = M. )

Por lo tanto, según la definición de límite, ( displaystyle lim_ {x → ∞} x ^ 3 = ∞ ).

( PageIndex {3} )

Usa la definición formal de límite infinito en el infinito para demostrar que ( displaystyle lim_ {x → ∞} 3x ^ 2 = ∞. )

Insinuación

Sea (N = sqrt { frac {M} {3}} ).

Respuesta

Sea (M> 0. ) Sea (N = sqrt { frac {M} {3}}) ). Entonces, para todo (x> N, ) tenemos

(3x ^ 2> 3N ^ 2 = 3 ( sqrt { frac {M} {3}}) ^ 22 = frac {3M} {3} = M )


Límites unilaterales

Así como por primera vez obtuvimos una comprensión intuitiva de los límites y luego pasamos a una definición más rigurosa de un límite, ahora revisamos los límites unilaterales. Para hacer esto, modificamos la definición épsilon-delta de un límite para dar definiciones formales épsilon-delta para los límites desde la derecha y la izquierda en un punto. Estas definiciones solo requieren ligeras modificaciones de la definición del límite. En la definición del límite por la derecha, la desigualdad (0

Definición

Límite de la derecha: Sea (f (x) ) definido sobre un intervalo abierto de la forma ((a, b) ) donde (a

[ lim_ {x → a ^ +} f (x) = L ]

si para todo (ε> 0 ), existe un (δ> 0 ), tal que si (0

Límite desde la izquierda: Sea (f (x) ) definido sobre un intervalo abierto de la forma ((b, c) ) donde (b

[ lim_ {x → c ^ -} f (x) = L ]

si para cada (ε> 0 ), existe un (δ> 0 ) tal que si (−δ

Ejemplo ( PageIndex {5} ): demostrar una declaración sobre un límite desde la derecha

Pruebalo

[lim_ {x → 4 ^ +} sqrt {x − 4} = 0. ]

Solución

Sea ε> 0.

Elija (δ = ε ^ 2 ). Dado que en última instancia queremos (∣ sqrt {x − 4} −0∣ <ε ), manipulamos esta desigualdad para obtener ( sqrt {x − 4} <ε ) o, de manera equivalente, (0

Suponga (0

( PageIndex {4} )

Encuentra (δ ) correspondiente a (ε ) para una prueba de que ( displaystyle lim_ {x → 1 ^ -} sqrt {1 − x} = 0 ).

Insinuación

Dibuja la gráfica y usa el Ejemplo como guía de resolución.

Respuesta

(δ = ε ^ 2 )

Límites infinitos

Concluimos el proceso de convertir nuestras ideas intuitivas de varios tipos de límites en definiciones formales rigurosas mediante la búsqueda de una definición formal de límites infinitos. Para tener ( displaystyle lim_ {x → a} f (x) = + ∞ ), queremos que los valores de la función (f (x) ) sean cada vez más grandes a medida que x se acerca a a. En lugar del requisito de que (| f (x) −L | <ε ) para (ε ) arbitrariamente pequeño cuando (0 <| x − a | <δ ) para (δ ) suficientemente pequeño, queremos (f (x)> M ) para M positivo arbitrariamente grande cuando (0 <| x − a | <δ ) para (δ ) suficientemente pequeño. La figura ilustra esta idea mostrando el valor de (δ ) para valores sucesivamente mayores de M.

Figura ( PageIndex {5} ): Estas gráficas trazan los valores de (δ ) de M para mostrar que ( displaystyle lim_ {x → a} f (x) = + ∞ ).

Definición

Sea (f (x) ) definido para todo (x ≠ a ) en un intervalo abierto que contenga a. Entonces, tenemos un límite infinito

[ lim_ {x → a} f (x) = + ∞ ]

si para todo (M> 0 ), existe (δ> 0 ) tal que si (0 <| x − a | <δ ), entonces (f (x)> M ).

Sea (f (x) ) definido para todo (x ≠ a ) en un intervalo abierto que contenga a. Entonces, tenemos un límite infinito negativo

[ lim_ {x → a} f (x) = - ∞ ]

si para todo (M> 0 ), existe (δ> 0 ) tal que si (0 <| x − a | <δ ), entonces (f (x) <- M ).

Temas avanzados

A continuación, se muestran algunos problemas más complejos que utilizan la definición precisa de límite. Siéntase libre de revisarlos; sin embargo, no es necesario que conozca los temas restantes de esta sección.


En los Ejemplos ( PageIndex {1} ) y ( PageIndex {2} ), las demostraciones eran bastante sencillas, ya que las funciones con las que estábamos trabajando eran lineales. En el ejemplo, vemos cómo modificar la prueba para acomodar una función no lineal.

Ejemplo ( PageIndex {6} ): demostrar una declaración sobre el límite de una función cuadrática

Demuestra que ( displaystyle lim_ {x → −1} (x ^ 2−2x + 3) = 6. )

Solución

Usemos nuestro esquema de la estrategia de resolución de problemas:

1. Sea (ε> 0 ).

2. Elija (δ = min ) { (1, ε / 5 )}. Esta elección de (δ ) puede parecer extraña a primera vista, pero se obtuvo al observar nuestra última desigualdad deseada: ∣ ((x ^ 2−2x + 3) −6 ) ∣ (<ε ). Esta desigualdad es equivalente a (| x + 1 | ⋅ | x − 3 | <ε ). En este punto, la tentación de elegir simplemente (δ = frac {ε} {x − 3} ) es muy fuerte. Desafortunadamente, nuestra elección de (δ ) debe depender solo de ε y de ninguna otra variable. Si podemos reemplazar (| x − 3 | ) por un valor numérico, nuestro problema puede resolverse. Este es el lugar donde entra en juego asumir (δ≤1 ). La elección de (δ≤1 ) aquí es arbitraria. Podríamos haber utilizado cualquier otro número positivo con la misma facilidad. En algunas pruebas, puede ser necesario un mayor cuidado en esta elección. Ahora, como (δ≤1 ) y (| x + 1 | <δ≤1 ), podemos demostrar que (| x − 3 | <5 ). En consecuencia, (| x + 1 | ⋅ | x − 3 | <| x + 1 | ⋅5 ). En este punto nos damos cuenta de que también necesitamos (δ≤ε / 5 ). Por lo tanto, elegimos (δ = min ) { (1, ε / 5 )}.

3. Suponga (0 <| x + 1 | <δ ). Por lo tanto,

[| x + 1 | <1 ] y [| x + 1 | < frac {ε} {5}. ]

Dado que (| x + 1 | <1 ), podemos concluir que (- 1

[∣ (x ^ 2−2x + 3) −6∣ = | x + 1 | ⋅ | x − 3 | < frac {ε} {5} ⋅5 = ε. ]

Por lo tanto,

[ Displaystyle lim_ {x → −1} (x ^ 2−2x + 3) = 6. ]

( PageIndex {5} )

Completa la prueba de que ( displaystyle lim_ {x → 1} x ^ 2 = 1 ).

Sea (ε> 0 ); elija (δ = min ) { (1, ε / 3 )}; suponga (0 <| x − 1 | <δ ).

Dado que (| x − 1 | <1 ), podemos concluir que (- 1

Insinuación

Utilice el ejemplo como guía.

Respuesta

(∣x ^ 2−1∣ = | x − 1 | ⋅ | x + 1 | <ε / 3⋅3 = ε )

Probar leyes de límite

Ahora demostramos cómo usar la definición épsilon-delta de un límite para construir una prueba rigurosa de una de las leyes del límite. La desigualdad triangular se utiliza en un punto clave de la prueba, por lo que primero revisamos esta propiedad clave del valor absoluto.

Definición

La desigualdad triangular establece que si a y b son números reales, entonces (| a + b | ≤ | a | + | b | ).

prueba

Demostramos la siguiente ley límite: Si ( displaystyle lim_ {x → a} f (x) = L ) y ( displaystyle lim_ {x → a} g (x) = M ), entonces ( Displaystyle lim_ {x → a} (f (x) + g (x)) = L + M ).

Sea (ε> 0 ).

Elija (δ_1> 0 ) de modo que si (0 <| x − a | <δ_1 ), entonces (| f (x) −L | <ε / 2 ).

Elija (δ_2> 0 ) de modo que si (0 <| x − a | <δ_2 ), entonces (| g (x) −M | <ε / 2 ).

Elija (δ = min ) { (δ_1, δ_2 )}.

Suponga (0 <| x − a | <δ ).

Por lo tanto,

(0 <| x − a | <δ_1 ) y (0 <| x − a | <δ_2 ).

Por eso,

(| (f (x) + g (x)) - (L + M) | = | (f (x) −L) + (g (x) −M) | )

(≤ | f (x) −L | + | g (x) −M | )

(< frac {ε} {2} + frac {ε} {2} = ε ).

Ahora exploramos lo que significa que no exista un límite. El límite ( displaystyle lim_ {x → a} f (x) ) no existe si no hay un número real L para el cual ( displaystyle lim_ {x → a} f (x) = L ) . Por lo tanto, para todos los números reales L, ( displaystyle lim_ {x → a} f (x) ≠ L ). Para entender lo que esto significa, miramos cada parte de la definición de ( displaystyle lim_ {x → a} f (x) = L ) junto con su opuesto. En la Tabla se da una traducción de la definición.

DefiniciónOpuesto
1. Existe (ε> 0 ) de modo que
2. existe un (δ> 0 ), de modo que2. para cada (δ> 0 ),
3. si (0 <| x − a | <δ ), entonces (| f (x) −L | <ε ).3. Hay una x que satisface (0 <| x − a | <δ ) de modo que (| f (x) −L | ≥ε ).

Finalmente, podemos enunciar lo que significa que no exista un límite. El límite ( displaystyle lim_ {x → a} f (x) ) no existe si para cada número real L, existe un número real (ε> 0 ) de modo que para todo (δ> 0 ), hay una x que satisface (0 <| x − a | <δ ), de modo que (| f (x) −L | ≥ε ). Apliquemos esto en el ejemplo para mostrar que no existe un límite.

Ejemplo ( PageIndex {7} ): Mostrar que no existe un límite

Muestre que ( displaystyle lim_ {x → 0} frac {| x |} {x} ) no existe. La gráfica de (f (x) = | x | / x ) se muestra aquí:

Solución

Suponga que L es candidato a límite. Elija (ε = 1/2 ).

Sea (δ> 0 ). Ya sea (L≥0 ) o (L <0 ). Si (L≥0 ), entonces sea (x = −δ / 2 ).

Por lo tanto,

(| x − 0 | = ∣− frac {δ} {2} −0∣ = frac {δ} {2} <δ )

y

(∣ frac {∣− frac {δ} {2} ∣} {- frac {δ} {2}} - L∣ = | −1 − L | = L + 1≥1> frac {1 } {2} = ε ).

Por otro lado, si (L <0 ), entonces sea (x = δ / 2 ). Por lo tanto,

(| x − 0 | = ∣ frac {δ} {2} −0∣ = frac {δ} {2} <δ )

y

(∣ frac {∣ frac {δ} {2} ∣} { frac {δ} {2}} - L∣ = | 1 − L | = | L | + 1≥1> frac {1} {2} = ε ).

Por lo tanto, para cualquier valor de L, ( displaystyle lim_ {x → 0} frac {| x |} {x} ≠ L. )

Conceptos clave

  • La noción intuitiva de un límite puede convertirse en una definición matemática rigurosa conocida como definición épsilon-delta del límite.
  • La definición épsilon-delta puede usarse para probar afirmaciones sobre límites.
  • La definición épsilon-delta de un límite puede modificarse para definir límites unilaterales.

Glosario

epsilon-delta definición del límite
( displaystyle lim_ {x → a} f (x) = L ) si para cada (ε> 0 ), existe un (δ> 0 ) tal que si (0 <| x− a | <δ ), luego (| f (x) −L | <ε )
desigualdad triangular
Si a y b son números reales, entonces (| a + b | ≤ | a | + | b | )

Colaboradores

  • Gilbert Strang (MIT) y Edwin “Jed” Herman (Harvey Mudd) con muchos autores contribuyentes. Este contenido de OpenStax tiene una licencia CC-BY-SA-NC 4.0. Descárguelo gratis en http://cnx.org.