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7: Sistemas de ecuaciones y desigualdades - Matemáticas


En este capítulo, investigaremos matrices y sus inversas, y varias formas de usar matrices para resolver sistemas de ecuaciones. Sin embargo, primero estudiaremos los sistemas de ecuaciones por sí mismos: lineales y no lineales, y luego fracciones parciales.

  • 7.1: Sistemas de ecuaciones lineales: dos variables
    Un sistema de ecuaciones lineales consta de dos o más ecuaciones compuestas por dos o más variables, de modo que todas las ecuaciones del sistema se consideran simultáneamente. La solución de un sistema de ecuaciones lineales en dos variables es cualquier par ordenado que satisfaga cada ecuación de forma independiente. Los sistemas de ecuaciones se clasifican como independientes con una solución, dependientes con un número infinito de soluciones o inconsistentes sin solución.
  • 7.2: Sistemas de ecuaciones lineales con tres variables
    Un conjunto solución es un triple ordenado que representa la intersección de tres planos en el espacio. Un sistema de tres ecuaciones en tres variables se puede resolver utilizando una serie de pasos que obligan a eliminar una variable. Los pasos incluyen intercambiar el orden de las ecuaciones, multiplicar ambos lados de una ecuación por una constante distinta de cero y sumar un múltiplo distinto de cero de una ecuación a otra ecuación. Los sistemas de tres ecuaciones en tres variables son útiles para resolver problemas del mundo real.
  • 7.3: Sistemas de ecuaciones no lineales y desigualdades: dos variables
    En esta sección, consideraremos la intersección de una parábola y una línea, un círculo y una línea, y un círculo y una elipse. Los métodos para resolver sistemas de ecuaciones no lineales son similares a los de ecuaciones lineales.
  • 7.4: Resolución de sistemas con eliminación gaussiana
    Una matriz puede servir como dispositivo para representar y resolver un sistema de ecuaciones. Para expresar un sistema en forma matricial, extraemos los coeficientes de las variables y las constantes, que se convierten en las entradas de la matriz. Usamos una línea vertical para separar las entradas de los coeficientes de las constantes, esencialmente reemplazando los signos iguales. Cuando un sistema está escrito de esta forma, lo llamamos matriz aumentada.

Miniatura: posibles tipos de soluciones para los puntos de intersección de un círculo y una elipse.


Introducción a los sistemas de ecuaciones y desigualdades

Al comienzo de la Segunda Guerra Mundial, los oficiales de inteligencia y militares británicos reconocieron que derrotar a la Alemania nazi requeriría que los Aliados supieran qué estaba planeando el enemigo. Esta tarea se complicó por el hecho de que el ejército alemán transmitió todas sus comunicaciones a través de un código presuntamente imposible de descifrar creado por una máquina llamada Enigma. Los alemanes habían estado codificando sus mensajes con esta máquina desde principios de la década de 1930. No mucho después de que comenzara la guerra, los británicos reclutaron un equipo de descifradores de códigos brillantes para descifrar el código Enigma. Los descifradores de códigos utilizaron lo que sabían sobre la máquina Enigma para construir una computadora mecánica que pudiera descifrar el código. Los alemanes estaban tan seguros de que el código no se podía descifrar, que se sintieron cómodos transmitiendo todo tipo de inteligencia del campo de batalla codificada con la máquina. Pero los aliados lo habían resuelto. Y ese conocimiento de lo que los alemanes estaban planeando resultó ser una parte clave de la última victoria aliada de la Alemania nazi en 1945.

El Enigma es quizás el dispositivo criptográfico más famoso jamás conocido. Se erige como un ejemplo del papel fundamental que ha desempeñado la criptografía en la sociedad. Ahora, la tecnología ha trasladado el criptoanálisis al mundo digital.

Muchos cifrados se diseñan utilizando matrices invertibles como método de transferencia de mensajes, ya que encontrar la inversa de una matriz es generalmente parte del proceso de decodificación. Además de conocer la matriz y su inversa, el receptor también debe conocer la clave que, cuando se usa con la matriz inversa, permitirá la lectura del mensaje.

En este capítulo, investigaremos matrices y sus inversas, y varias formas de usar matrices para resolver sistemas de ecuaciones. Sin embargo, primero estudiaremos los sistemas de ecuaciones por sí mismos: lineales y no lineales, y luego fracciones parciales. No estaremos rompiendo ningún código secreto aquí, pero sentaremos las bases para futuros cursos.

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    • Autores: Jay Abramson
    • Editor / sitio web: OpenStax
    • Título del libro: Álgebra universitaria
    • Fecha de publicación: 13 de febrero de 2015
    • Ubicación: Houston, Texas
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    • URL de la sección: https://openstax.org/books/college-algebra/pages/7-introduction-to-systems-of-equations-and-inequalities

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    Esta lección fue influenciada por una actividad presentada por Ann Lawrence en la Conferencia del Consejo de Matemáticas de California 2007 en Asilomar. Esta lección trata de hacer que los estudiantes establezcan conexiones entre ideas sobre ecuaciones, desigualdades y expresiones. La lección está diseñada para brindarles a los estudiantes la oportunidad de usar vocabulario matemático con el propósito de describir, discutir y trabajar con estas cadenas de símbolos. En el proceso, se espera que los estudiantes comiencen a desarrollar instintos sobre estas cadenas numéricas simbólicas, como lo que podría ser una pregunta de prueba, cuál es el propósito de este tipo de cadena y en qué se diferencia de otros tipos de cadenas.

    La idea es que los estudiantes comiencen a recopilar información global mirando la cadena de números enteros en lugar de pensar solo en procedimientos o pasos individuales. Con suerte, los estudiantes comenzarán a ver las cadenas de símbolos como objetos matemáticos con su propio conjunto único de atributos. La lección está diseñada para abarcar varios estándares en la rama de álgebra y para ayudar a los estudiantes a hacer conexiones entre los estándares. La lección también explora varias estrategias pedagógicas destinadas a lograr una mayor participación de los estudiantes, particularmente de los estudiantes afroamericanos y latinos para ayudar a cerrar la brecha de rendimiento. Los estudiantes primero deben caminar por el salón e interactuar entre ellos para encontrar personas con cadenas de símbolos similares. A continuación, se pide a los estudiantes que se apiñen en la pizarra para discutir las distintas agrupaciones. Las tarjetas se utilizan para registrar ideas de modo que se puedan mover fácilmente si diferentes estudiantes desean hacer diferentes conexiones. Luego, los estudiantes se colocan en grupos para tener conversaciones más profundas. También se les brinda la oportunidad de escribir y reflexionar a medida que avanza la lección.


    7.3 Sistemas de ecuaciones no lineales y desigualdades: dos variables

    El cometa Halley (Figura 1) orbita el sol aproximadamente una vez cada 75 años. Su trayectoria puede considerarse una elipse muy alargada. Otros cometas siguen caminos similares en el espacio. Estas trayectorias orbitales se pueden estudiar mediante sistemas de ecuaciones. Sin embargo, estos sistemas son diferentes de los que consideramos en la sección anterior porque las ecuaciones no son lineales.

    En esta sección, consideraremos la intersección de una parábola y una línea, un círculo y una línea, y un círculo y una elipse. Los métodos para resolver sistemas de ecuaciones no lineales son similares a los de ecuaciones lineales.

    Resolver un sistema de ecuaciones no lineales mediante sustitución

    Intersección de una parábola y una línea

    Hay tres tipos posibles de soluciones para un sistema de ecuaciones no lineales que involucran una parábola y una línea.

    Posibles tipos de soluciones para puntos de intersección de una parábola y una línea

    La figura 2 ilustra posibles conjuntos de soluciones para un sistema de ecuaciones que incluye una parábola y una recta.

    • Sin solución. La línea nunca se cruzará con la parábola.
    • Una solución. La recta es tangente a la parábola y se cruza con la parábola exactamente en un punto.
    • Dos soluciones. La línea cruza el interior de la parábola y se cruza con la parábola en dos puntos.

    Cómo

    Dado un sistema de ecuaciones que contiene una línea y una parábola, encuentre la solución.

    1. Resuelve la ecuación lineal para una de las variables.
    2. Sustituye la expresión obtenida en el paso uno en la ecuación de la parábola.
    3. Resuelve para la variable restante.
    4. Verifique sus soluciones en ambas ecuaciones.

    Ejemplo 1

    Resolver un sistema de ecuaciones no lineales que representan una parábola y una línea

    Resuelve el sistema de ecuaciones.

    Solución

    Expanda la ecuación y ajústela a cero.

    ¿Podríamos haber sustituido valores de y y en la segunda ecuación para resolver x x en el ejemplo 1?

    Esto nos da el mismo valor que en la solución.

    Pruébelo # 1

    Resuelve el sistema de ecuaciones dado por sustitución.

    Intersección de un círculo y una línea

    Al igual que con una parábola y una línea, hay tres resultados posibles al resolver un sistema de ecuaciones que representan un círculo y una línea.

    Posibles tipos de soluciones para los puntos de intersección de un círculo y una línea

    La Figura 4 ilustra posibles conjuntos de soluciones para un sistema de ecuaciones que involucra un círculo y una línea.

    • Sin solución. La línea no se cruza con el círculo.
    • Una solución. La línea es tangente al círculo y se cruza con el círculo exactamente en un punto.
    • Dos soluciones. La línea cruza el círculo y lo cruza en dos puntos.

    Cómo

    Dado un sistema de ecuaciones que contiene una línea y un círculo, encuentre la solución.

    1. Resuelve la ecuación lineal para una de las variables.
    2. Sustituye la expresión obtenida en el paso uno en la ecuación del círculo.
    3. Resuelve para la variable restante.
    4. Verifique sus soluciones en ambas ecuaciones.

    Ejemplo 2

    Encontrar la intersección de un círculo y una línea por sustitución

    Encuentra la intersección del círculo dado y la línea dada por sustitución.

    Solución

    Ahora, factorizamos y resolvemos para x. X .

    Sustituye los dos X-valores en la ecuación lineal original para resolver y. y.

    Pruébelo # 2

    Resuelve el sistema de ecuaciones no lineales.

    Resolver un sistema de ecuaciones no lineales mediante eliminación

    Hemos visto que la sustitución es a menudo el método preferido cuando un sistema de ecuaciones incluye una ecuación lineal y una ecuación no lineal. Sin embargo, cuando ambas ecuaciones en el sistema tienen variables similares de segundo grado, resolverlas mediante la eliminación por adición es a menudo más fácil que la sustitución. Generalmente, la eliminación es un método mucho más simple cuando el sistema involucra solo dos ecuaciones en dos variables (un sistema de dos por dos), en lugar de un sistema de tres por tres, ya que hay menos pasos. Como ejemplo, investigaremos los posibles tipos de soluciones al resolver un sistema de ecuaciones que representan un círculo y una elipse.

    Posibles tipos de soluciones para los puntos de intersección de un círculo y una elipse

    La Figura 6 ilustra posibles conjuntos de soluciones para un sistema de ecuaciones que involucra un círculo y una elipse.

    • Sin solución. El círculo y la elipse no se cruzan. Una forma está dentro de la otra o del círculo y la elipse está a una distancia de la otra.
    • Una solución. El círculo y la elipse son tangentes entre sí y se cruzan exactamente en un punto.
    • Dos soluciones. El círculo y la elipse se cruzan en dos puntos.
    • Tres soluciones. El círculo y la elipse se cruzan en tres puntos.
    • Cuatro soluciones. El círculo y la elipse se cruzan en cuatro puntos.

    Ejemplo 3

    Resolver un sistema de ecuaciones no lineales que representan un círculo y una elipse

    Resuelve el sistema de ecuaciones no lineales.

    Solución

    Comencemos por multiplicar la ecuación (1) por −3, −3 y sumarla a la ecuación (2).

    Después de sumar las dos ecuaciones, resolvemos para y. y.

    Hay cuatro soluciones: (5, 1), (−5, 1), (5, −1) y (−5, −1). (5, 1), (−5, 1), (5, −1) y (−5, −1). Ver figura 7.

    Encuentre el conjunto de soluciones para el sistema dado de ecuaciones no lineales.

    Graficar una desigualdad no lineal

    Todas las ecuaciones en los sistemas que hemos encontrado hasta ahora han involucrado igualdades, pero también podemos encontrar sistemas que involucran desigualdades. Ya hemos aprendido a graficar desigualdades lineales graficando la ecuación correspondiente y luego sombreando la región representada por el símbolo de desigualdad. Ahora, seguiremos pasos similares para graficar una desigualdad no lineal para que podamos aprender a resolver sistemas de desigualdades no lineales. Una desigualdad no lineal es una desigualdad que contiene una expresión no lineal. Graficar una desigualdad no lineal es muy similar a graficar una desigualdad lineal.

    Cómo

    Dada una desigualdad limitada por una parábola, dibuja una gráfica.

    1. Grafica la parábola como si fuera una ecuación. Este es el límite de la región que es el conjunto de soluciones.
    2. Si el límite está incluido en la región (el operador es ≤ ≤ o ≥ ≥), la parábola se representa gráficamente como una línea continua.
    3. Si el límite no está incluido en la región (el operador es & lt o & gt), la parábola se representa gráficamente como una línea discontinua.
    4. Pruebe un punto en una de las regiones para determinar si satisface el enunciado de desigualdad. Si el enunciado es verdadero, el conjunto de soluciones es la región que incluye el punto. Si el enunciado es falso, el conjunto de soluciones es la región del otro lado de la línea límite.
    5. Sombrea la región que representa el conjunto de soluciones.

    Ejemplo 4

    Graficar una desigualdad para una parábola

    Representa gráficamente la desigualdad y & gt x 2 + 1. y & gt x 2 + 1.

    Solución

    El gráfico se muestra en la Figura 9. Podemos ver que el conjunto de soluciones consta de todos los puntos dentro de la parábola, pero no en el gráfico en sí.

    Graficar un sistema de desigualdades no lineales

    Ahora que hemos aprendido a graficar desigualdades no lineales, podemos aprender a graficar sistemas de desigualdades no lineales. Un sistema de desigualdades no lineales es un sistema de dos o más desigualdades en dos o más variables que contienen al menos una desigualdad que no es lineal. Graficar un sistema de desigualdades no lineales es similar a graficar un sistema de desigualdades lineales. La diferencia es que nuestra gráfica puede resultar en más regiones sombreadas que representan una solución que las que encontramos en un sistema de desigualdades lineales. La solución a un sistema no lineal de desigualdades es la región del gráfico donde se superponen las regiones sombreadas del gráfico de cada desigualdad, o donde las regiones se cruzan, denominada región factible.

    Cómo

    Dado un sistema de desigualdades no lineales, dibuje una gráfica.


    Hojas de trabajo de opción múltiple

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    Hoja de trabajo de sistemas de ecuaciones 2 & # 8211 Esta hoja de trabajo de álgebra de 16 problemas te ayuda a practicar la búsqueda de la solución a un sistema de ecuaciones. Conectará valores en cada sistema para determinar qué valores hacen que las ecuaciones sean verdaderas. Este conjunto presenta muchos números enteros negativos y algunas variables interesantes como & # 8220-x y # 8221 y & # 8220-y & # 8221.
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    Hoja de trabajo de sistemas de ecuaciones 3 & # 8211 Esta hoja de trabajo de álgebra de 16 problemas te ayuda a practicar la búsqueda de la solución a un sistema de ecuaciones. Conectará valores en cada sistema para determinar qué valores hacen que las ecuaciones sean verdaderas. Este conjunto presenta muchos números enteros negativos y algunas variables interesantes como & # 8220-x y # 8221 y & # 8220-y & # 8221. Para darle un giro adicional, algunos de estos sistemas de ecuaciones tendrán más de una solución o incluso sin solución!
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    Esta es una serie progresiva que comienza fácilmente con enteros en su mayoría positivos y todas las ecuaciones en la forma estándar de ax + por = c. Por el segundo conjunto de problemas, valores más negativos e incluso ecuaciones difíciles como -x - (-y) = -7 introducido. El último conjunto de ejercicios incluso incluye sistemas con infinitas soluciones o sin solución!

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    7: Sistemas de ecuaciones y desigualdades - Matemáticas

    Después de completar el tema Resolver ecuaciones lineales y desigualdades, los estudiantes podrán

    • Describir relaciones funcionales para situaciones problemáticas dadas y escribir ecuaciones y desigualdades para responder preguntas que surgen de las situaciones.
    • analizar situaciones que involucran funciones lineales y formular ecuaciones lineales y desigualdades para resolver problemas
    • investigar métodos para resolver ecuaciones lineales y desigualdades usando operaciones inversas
    • aplicar técnicas para resolver ecuaciones en una variable para resolver ecuaciones literales
    • aplicar técnicas para resolver ecuaciones en una variable para encontrar una ecuación que represente la inversa de una función lineal
    • usar modelos, tablas y gráficos concretos para verificar soluciones al resolver ecuaciones lineales y desigualdades
    • interpretar y determinar la razonabilidad de las soluciones a ecuaciones lineales y desigualdades para contextos dados
    • graficar ecuaciones lineales y desigualdades en una recta numérica y en el plano
    • escribir desigualdades en dos variables dadas una gráfica y una tabla de valores.

    Habilidades prerrequisito

    Para tener éxito con el material de este tema, los estudiantes ya deben comprender los siguientes conceptos:


    7: Sistemas de ecuaciones y desigualdades - Matemáticas

    Problemas de palabras

    A veces, se pueden usar sistemas de ecuaciones para modelar problemas verbales. Pasemos directamente a un ejemplo.

    Ejemplo: La escuela a la que va Matt está vendiendo boletos para una actuación coral. En el primer día de venta de boletos, la escuela vendió 12 boletos para adultos y 3 boletos para estudiantes por un total de $ 129. La escuela recibió $ 104 el segundo día vendiendo 2 boletos para adultos y 6 boletos para estudiantes. Encuentre el precio de un boleto de adulto y el precio de un boleto de estudiante.

    Solución: Dejar a ser el precio de un boleto de adulto, y dejar s representan el precio de un boleto de estudiante. El primer día de la función se vendieron las 12 entradas para adultos al precio de a y se vendieron 3 boletos para estudiantes al precio de s. La suma de sus ventas fue de $ 129. Podemos modelar esto por

    Usando un razonamiento similar, podemos modelar el segundo día de ventas por

    ¡La combinación de estas dos ecuaciones nos da un sistema que podemos resolver! Usamos eliminación:

    (- 24a - 6s = - 258 )
    (2a + 6s = 104 )

    Es decir, un boleto de adulto cuesta $ 7. Luego, al sustituir (a = 7 ) en la segunda ecuación, tenemos

    (2a + 6s = 104 )
    (2 left (7 right) + 6s = 104 )
    (14 + 6s = 104 )
    (6s = 90 )
    (s = 15 )

    Es decir, un boleto de estudiante cuesta $ 15.

    Otro ejemplo: La clase del último año de la escuela secundaria A y la escuela secundaria B planeó viajes separados al parque acuático. La clase de último año de la escuela secundaria A alquiló y llenó 8 camionetas y 4 autobuses con 256 estudiantes. La escuela secundaria B alquiló y llenó 4 camionetas y 6 autobuses con 312 estudiantes. Cada camioneta y cada autobús transportaban el mismo número de estudiantes. ¿Cuántos estudiantes puede llevar una furgoneta? ¿Cuántos estudiantes puede llevar un autobús?

    Solución: Dejar v sea ​​el número de estudiantes que puede llevar una camioneta. Dejar B sea ​​el número de estudiantes que puede llevar un autobús. La situación de la escuela secundaria A puede ser modelada por

    De manera similar, la situación de la escuela secundaria B puede ser modelada por

    Resolvemos el sistema mediante eliminación

    (8v + 4b = 256 )
    (- 8v - 12b = - 624 )

    Es decir, un autobús tiene capacidad para 46 estudiantes. Sustituyendo 46 en la primera ecuación se obtiene

    (8v + 4b = 256 )
    (8v + 4 left (<46> right) = 256 )
    (8v + 184 = 256 )
    (8v = 72 )
    (v = 9 )

    Es decir, cada camioneta tiene capacidad para 9 estudiantes.

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    Ver el vídeo: Introducción a las desigualdades (Diciembre 2021).