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Integrales de línea - Matemáticas

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Objetivos de aprendizaje

  • Calcule una integral de línea escalar a lo largo de una curva.
  • Calcule una integral de línea vectorial a lo largo de una curva orientada en el espacio.
  • Utilice una integral de línea para calcular el trabajo realizado al mover un objeto a lo largo de una curva en un campo vectorial.
  • Describe el flujo y la circulación de un campo vectorial.

Estamos familiarizados con las integrales de una sola variable de la forma ( displaystyle int_ {a} ^ {b} f (x) , dx ), donde el dominio de integración es un intervalo ([a, b] ). Dicho intervalo se puede considerar como una curva en el plano (xy ) -, ya que el intervalo define un segmento de línea con extremos ((a, 0) ) y ((b, 0) ) - en otras palabras, un segmento de línea ubicado en el eje (x ) -. Supongamos que queremos integrarnos sobre alguna curva en el plano, no solo sobre un segmento de línea en el eje (x ) -. Tal tarea requiere un nuevo tipo de integral, llamado integral de línea.

Las integrales de línea tienen muchas aplicaciones para la ingeniería y la física. Y están estrechamente relacionados con las propiedades de los campos vectoriales, como veremos.

Integrales de línea escalar

Una integral de línea nos da la capacidad de integrar funciones multivariables y campos vectoriales sobre curvas arbitrarias en un plano o en el espacio. Hay dos tipos de integrales de línea: integrales de línea escalares e integrales de línea vectorial. Las integrales de línea escalar son integrales de una función escalar sobre una curva en un plano o en el espacio. Las integrales de línea vectorial son integrales de un campo vectorial sobre una curva en un plano o en el espacio. Veamos primero las integrales de línea escalar.

Una integral de línea escalar se define como se define una integral de una sola variable, excepto que para una integral de línea escalar, el integrando es una función de más de una variable y el dominio de integración es una curva en un plano o en el espacio, como opuesto a una curva en el eje (x ) -.

Para una integral de línea escalar, dejamos que (C ) sea una curva suave en un plano o en el espacio y sea ff una función con un dominio que incluya a (C ). Cortamos la curva en trozos pequeños. Para cada pieza, elegimos el punto (P ) en esa pieza y evaluamos (f ) en (P ). (Podemos hacer esto porque todos los puntos de la curva están en el dominio de (f ).) Multiplicamos (f (P) ) por la longitud del arco de la pieza ( Delta s ), sumamos el producto (f (P) Delta s ) sobre todas las piezas, y luego deje que la longitud del arco de las piezas se reduzca a cero tomando un límite. El resultado es la integral de la línea escalar de la función sobre la curva.

Para una descripción formal de una integral de línea escalar, sea (C ) una curva suave en el espacio dada por la parametrización ( vecs r (t) = ⟨x (t), y (t), z (t) ⟩ ), (A≤t≤b ). Sea (f (x, y, z) ) una función con un dominio que incluye la curva (C ). Para definir la integral de línea de la función (f ) sobre (C ), comenzamos como comienzan la mayoría de las definiciones de una integral: cortamos la curva en trozos pequeños. Divida el intervalo de parámetro ([a, b] ) en (n ) subintervalos ([t_ {i − l}, t_i] ) de igual ancho para (1≤i≤n ), donde (t_0 = a ) y (t_n = b ) (Figura ( PageIndex {1} )). Sea (t_ {i} ^ * ) un valor en el intervalo (i ^ {th} ) ([t_ {i − l}, t_i] ). Denote los extremos de ( vecs r (t_0) ), ( vecs r (t_1) ),…, ( vecs r (t_n) ) por (P_0 ),…, (P_n ). Puntos PAGI divide la curva (C ) en (n ) piezas (C_1 ), (C_2 ),…, (C_n ), con longitudes ( Delta s_1 ), ( Delta s_2 ),…, ( Delta s_n ), respectivamente. Sea (P_ {i} ^ * ) el punto final de ( vecs r (t_ {i} ^ *) ) para (1≤i≤n ). Ahora, evaluamos la función (f ) en el punto (P_ {i} ^ * ) para (1≤i≤n ). Tenga en cuenta que (P_ {i} ^ * ) está en la pieza (C_1 ) y, por lo tanto, (P_ {i} ^ * ) está en el dominio de (f ). Multiplica (f (P_ {i} ^ *) ) por la longitud ( Delta s_1 ) de (C_1 ), lo que da el área de la "hoja" con la base (C_1 ) y la altura (f (P_ {i} ^ {*}) ). Esto es análogo a usar rectángulos para aproximar el área en una integral de una sola variable. Ahora, formamos la suma ( displaystyle sum_ {i = 1} ^ {n} f (P_ {i} ^ {*}) , Delta s_i ).

Nótese la similitud de esta suma con una suma de Riemann; de hecho, esta definición es una generalización de una suma de Riemann a curvas arbitrarias en el espacio. Al igual que con las sumas e integrales de Riemann de forma ( displaystyle int_ {a} ^ {b} g (x) , dx ), definimos una integral dejando que el ancho de las piezas de la curva se reduzca a cero por tomando un límite. El resultado es la integral de línea escalar de (f ) a lo largo de (C ).

Es posible que haya notado una diferencia entre esta definición de una integral de línea escalar y una integral de una sola variable. En esta definición, las longitudes de arco ( Delta s_1 ), ( Delta s_2 ),…, ( Delta s_n ) no son necesariamente las mismas; en la definición de integral de una sola variable, la curva en el eje (x ) - se divide en partes de igual longitud. Esta diferencia no tiene ningún efecto en el límite. A medida que reducimos las longitudes de arco a cero, sus valores se acercan lo suficiente como para que cualquier pequeña diferencia se vuelva irrelevante.

DEFINICIÓN: integral de línea escalar

Sea (f ) una función con un dominio que incluye la curva suave (C ) que está parametrizada por ( vecs r (t) = ⟨x (t), y (t), z (t) ⟩ ), (A≤t≤b ). La integral de línea escalar de (f ) a lo largo de (C ) es

[ int_C f (x, y, z) , ds = lim_ {n to infty} sum_ {i = 1} ^ {n} f (P_ {i} ^ {*}) , Delta s_i label {eq12a} ]

si este límite existe (t_ {i} ^ {*} ) y ( Delta s_i ) se definen como en los párrafos anteriores). Si (C ) es una curva plana, entonces (C ) se puede representar mediante las ecuaciones paramétricas (x = x (t) ), (y = y (t) ) y (a ≤t≤b ). Si (C ) es suave y (f (x, y) ) es una función de dos variables, entonces la integral de línea escalar de (f ) a lo largo de (C ) se define de manera similar como

[ int_C f (x, y) , ds = lim_ {n to infty} sum_ {i = 1} ^ {n} f (P_ {i} ^ {*}) , Delta s_i , label {eq13} ]

si existe este límite.

Si (f ) es una función continua en una curva suave (C ), entonces ( displaystyle int_C f , ds ) siempre existe. Dado que ( displaystyle int_C f , ds ) se define como un límite de las sumas de Riemann, la continuidad de (f ) es suficiente para garantizar la existencia del límite, al igual que la integral ( displaystyle int_ {a} ^ {b} g (x) , dx ) existe si (g ) es continuo sobre ([a, b] ).

Antes de ver cómo calcular una integral de línea, debemos examinar la geometría capturada por estas integrales. Suponga que (f (x, y) ≥0 ) para todos los puntos ((x, y) ) en una curva plana suave (C ). Imagine tomar la curva (C ) y proyectarla "hacia arriba" a la superficie definida por (f (x, y) ), creando así una nueva curva (C ′ ) que se encuentra en la gráfica de (f (x, y) ) (Figura ( PageIndex {2} )). Ahora soltamos una “hoja” desde (C ′ ) hasta el plano (xy ). El área de esta hoja es ( displaystyle int_C f (x, y) ds ). Si (f (x, y) ≤0 ) para algunos puntos en (C ), entonces el valor de ( displaystyle int_C f (x, y) , ds ) es el área por encima de (xy ) - plano menos el área debajo del plano (xy ) -. (Note la similitud con integrales de la forma ( displaystyle int_ {a} ^ {b} g (x) , dx ).)

A partir de esta geometría, podemos ver que la integral de línea ( displaystyle int_C f (x, y) , ds ) no depende de la parametrización ( vecs r (t) ) de (C ). Siempre que la curva sea recorrida exactamente una vez por la parametrización, el área de la hoja formada por la función y la curva es la misma. Este mismo tipo de argumento geométrico puede extenderse para mostrar que la integral de línea de una función de tres variables sobre una curva en el espacio no depende de la parametrización de la curva.

Ejemplo ( PageIndex {1} ): encontrar el valor de una integral de línea

Encuentra el valor de la integral ( displaystyle int_C 2 , ds ), donde (C ) es la mitad superior del círculo unitario.

Solución

El integrando es (f (x, y) = 2 ). La figura ( PageIndex {3} ) muestra la gráfica de (f (x, y) = 2 ), curva C, y la hoja formada por ellos. Observe que esta hoja tiene la misma área que un rectángulo con ancho ( pi ) y largo (2 ). Por lo tanto, ( Displaystyle int_C 2 , ds = 2 pi , text {unidades} ^ 2 ).

Para ver que ( displaystyle int_C 2 , ds = 2 pi ) usando la definición de integral de línea, dejamos que ( vecs r (t) ) sea una parametrización de (C ). Entonces, (f ( vecs r (t_i)) = 2 ) para cualquier número (t_i ) en el dominio de ( vecs r ). Por lo tanto,

[ begin {align *} int_C f , ds & = lim_ {n to infty} sum_ {i = 1} ^ {n} f ( vecs r (t_ {i} ^ {*} )) , Delta s_i [4pt] & = lim_ {n to infty} sum_ {i = 1} ^ {n} 2 , Delta s_i [4pt] & = 2 lim_ {n to infty} sum_ {i = 1} ^ {n} , Delta s_i [4pt] & = 2 ( text {longitud} espacio texto {de} espacio C) [4pt] & = 2 pi , text {unidades} ^ 2. end {alinear *} ]

Ejercicio ( PageIndex {1} )

Encuentra el valor de ( displaystyle int_C (x + y) , ds ), donde (C ) es la curva parametrizada por (x = t ), (y = t ), ( 0≤t≤1 ).

Insinuación

Encuentra la forma formada por (C ) y la gráfica de la función (f (x, y) = x + y ).

Respuesta

( sqrt {2} )

Tenga en cuenta que en una integral de línea escalar, la integración se realiza con respecto a la longitud del arco (s ), lo que puede hacer que una integral de línea escalar sea difícil de calcular. Para facilitar los cálculos, podemos traducir ( displaystyle int_C f , ds ) a una integral con una variable de integración que sea (t ).

Sea ( vecs r (t) = ⟨x (t), y (t), z (t)⟩ ) para (a≤t≤b ) una parametrización de (C ). Dado que asumimos que (C ) es suave, ( vecs r ′ (t) = ⟨x ′ (t), y ′ (t), z ′ (t)⟩ ) es continuo para todo ( t ) en ([a, b] ). En particular, (x ′ (t) ), (y ′ (t) ) y (z ′ (t) ) existen para todo (t ) en ([a, b] ). Según la fórmula de la longitud del arco, tenemos

[ text {longitud} (C_i) = Delta s_i = int_ {t_ {i − 1}} ^ {t_i} ‖ vecs r ′ (t) ‖ , dt. ]

Si el ancho ( Delta t_i = t_i − t_ {i − 1} ) es pequeño, entonces la función ( displaystyle int_ {t_ {i − 1}} ^ {t_i} ‖ vecs r ′ (t) ‖ , dt , ≈ , ‖ vecs r ′ (t_i ^ *) ‖ , Delta t_i ), (‖ vecs r ′ (t) ‖ ) es casi constante en el intervalo ([t_ {i − 1}, t_i] ). Por lo tanto,

[ int_ {t_ {i − 1}} ^ {t_i} ‖ vecs r ′ (t) ‖ , dt , ≈ , ‖ vecs r ′ (t_ {i} ^ {*}) ‖ , Delta t_i, label {approxLineIntEq1} ]

y tenemos

[ sum_ {i = 1} ^ {n} f ( vecs r (t_i ^ *)) , Delta s_i approx sum_ {i = 1} ^ {n} f ( vecs r (t_ { i} ^ {*})) ‖ vecs r ′ (t_ {i} ^ {*}) ‖ , Delta t_i. ]

Vea la Figura ( PageIndex {4} ).

Tenga en cuenta que

[ lim_ {n to infty} sum_ {i = 1} ^ {n} f ( vecs r (t_i ^ *)) ‖ vecs r ′ (t_ {i} ^ {*}) ‖ , Delta t_i = int_a ^ bf ( vecs r (t)) ‖ vecs r ′ (t) ‖ , dt. ]

En otras palabras, a medida que los anchos de los intervalos ([t_ {i − 1}, t_i] ) se reducen a cero, la suma ( displaystyle sum_ {i = 1} ^ {n} f ( vecs r ( t_i ^ {*})) ‖ vecs r ′ (t_ {i} ^ {*}) ‖ , Delta t_i ) converge a la integral ( displaystyle int_ {a} ^ {b} f ( vecs r (t)) ‖ vecs r ′ (t) ‖ , dt ). Por lo tanto, tenemos el siguiente teorema.

Teorema: EVALUAR UNA LÍNEA ESCALAR INTEGRAL

Sea (f ) una función continua con un dominio que incluye la curva suave (C ) con parametrización ( vecs r (t) ), (a≤t≤b ). Luego

[ int_C f , ds = int_ {a} ^ {b} f ( vecs r (t)) ‖ vecs r ′ (t) ‖ , dt. label {scalerLineInt1} ]

Aunque hemos etiquetado la Ecuación ref {approxLineIntEq1} como una ecuación, se considera más exactamente una aproximación porque podemos mostrar que el lado izquierdo de la Ecuación ref {approxLineIntEq1} se acerca al lado derecho como (n to infty ). En otras palabras, dejar que el ancho de las piezas se reduzca a cero hace que la suma de la derecha sea arbitrariamente cercana a la suma de la izquierda. Desde

[‖ Vecs r ′ (t) ‖ = sqrt {{(x ′ (t))} ^ 2 + {(y ′ (t))} ^ 2 + {(z ′ (t))} ^ 2 }, ]

obtenemos el siguiente teorema, que usamos para calcular integrales de línea escalares.

Teorema: cálculo integral de la línea escalar

Sea (f ) una función continua con un dominio que incluye la curva suave (C ) con parametrización ( vecs r (t) = ⟨x (t), y (t), z (t)⟩ ), (a≤t≤b ). Luego

[ int_C f (x, y, z) , ds = int_ {a} ^ {b} f ( vecs r (t)) sqrt {({x ′ (t))} ^ 2+ { (y ′ (t))} ^ 2 + {(z ′ (t))} ^ 2} , dt. ]

Similar,

[ int_C f (x, y) , ds = int_ {a} ^ {b} f ( vecs r (t)) sqrt {{(x ′ (t))} ^ 2 + {(y ′ (T))} ^ 2} , dt ]

si (C ) es una curva plana y (f ) es una función de dos variables.

Tenga en cuenta que una consecuencia de este teorema es la ecuación (ds = ‖ vecs r ′ (t) ‖ , dt ). En otras palabras, el cambio en la longitud del arco puede verse como un cambio en el dominio (t ) -, escalado por la magnitud del vector ( vecs r ′ (t) ).

Ejemplo ( PageIndex {2} ): Evaluación de una integral de línea

Encuentra el valor de la integral ( displaystyle int_C (x ^ 2 + y ^ 2 + z) , ds ), donde (C ) es parte de la hélice parametrizada por ( vecs r (t) = ⟨ Cos t, sin t, t⟩ ), (0≤t≤2 pi ).

Solución

Para calcular una integral de línea escalar, comenzamos por convertir la variable de integración de la longitud del arco (s ) a (t ). Entonces, podemos usar la Ecuación ref {eq12a} para calcular la integral con respecto a (t ). Tenga en cuenta que

[f ( vecs r (t)) = { cos} ^ 2 t + { sin} ^ 2 t + t = 1 + t nonumber ]

y

[ sqrt {{(x ′ (t))} ^ 2 + {(y ′ (t))} ^ 2 + {(z ′ (t))} ^ 2} = sqrt {{(- sin (t))} ^ 2 + { cos} ^ 2 (t) +1} = sqrt {2}. nonumber ]

Por lo tanto,

[ int_C (x ^ 2 + y ^ 2 + z) , ds = int_ {0} ^ {2 pi} (1 + t) sqrt {2} , dt. sin número]

Observe que la Ecuación ref {eq12a} tradujo la integral de línea difícil original en una integral manejable de una sola variable. Desde

[ begin {align *} int_ {0} ^ {2 pi} (1 + t) sqrt {2} , dt & = { left [ sqrt {2} t + dfrac { sqrt { 2} t ^ 2} {2} right]} _ {0} ^ {2 pi} [4pt]
& = 2 sqrt {2} pi + 2 sqrt {2} { pi} ^ 2, end {align *} ]

tenemos

[ int_C (x ^ 2 + y ^ 2 + z) , ds = 2 sqrt {2} pi + 2 sqrt {2} { pi} ^ 2. sin número]

Ejercicio ( PageIndex {2} )

Evalúa ( displaystyle int_C (x ^ 2 + y ^ 2 + z) ds ), donde C es la curva con parametrización ( vecs r (t) = ⟨ sin (3t), cos (3t)⟩ ), (0≤t≤ dfrac { pi} {4} ).

Insinuación

Utilice la versión de dos variables de la definición de integral de línea escalar (Ecuación ref {eq13}).

Respuesta

[ dfrac {1} {3} + dfrac { sqrt {2}} {6} + dfrac {3 pi} {4} ]

Ejemplo ( PageIndex {3} ): Independencia de parametrización

Encuentra el valor de la integral ( displaystyle int_C (x ^ 2 + y ^ 2 + z) , ds ), donde (C ) es parte de la hélice parametrizada por ( vecs r (t) = ⟨ Cos (2t), sin (2t), 2t⟩ ), (0≤t≤π ). Observe que esta función y curva son las mismas que en el ejemplo anterior; la única diferencia es que la curva se ha vuelto a parametrizar para que el tiempo corra el doble de rápido.

Solución

Como en el ejemplo anterior, usamos la Ecuación ref {eq12a} para calcular la integral con respecto a (t ). Tenga en cuenta que (f ( vecs r (t)) = { cos} ^ 2 (2t) + { sin} ^ 2 (2t) + 2t = 2t + 1 ) y

[ begin {align *} sqrt {{(x ′ (t))} ^ 2 + {(y ′ (t))} ^ 2 + {(z ′ (t))} ^ 2} & = sqrt {(- sin t + cos t + 4)} [4pt] & = 22
end {alinear *} ]

entonces tenemos

[ begin {align *} int_C (x ^ 2 + y ^ 2 + z) ds & = 2 sqrt {2} int_ {0} ^ { pi} (1 + 2t) dt [4pt ] & = 2 sqrt {2} Big [t + t ^ 2 Big] _0 ^ { pi} [4pt] & = 2 sqrt {2} ( pi + { pi} ^ 2). end {alinear *} ]

Tenga en cuenta que esto concuerda con la respuesta del ejemplo anterior. El cambio de parametrización no modificó el valor de la integral de línea. Las integrales de línea escalar son independientes de la parametrización, siempre que la curva sea recorrida exactamente una vez por la parametrización.

Ejercicio ( PageIndex {3} )

Evalúa la integral de línea ( displaystyle int_C (x ^ 2 + yz) , ds ), donde (C ) es la línea con parametrización ( vecs r (t) = ⟨2t, 5t, −t⟩ ), (0≤t≤10 ). Reparametrizar C con parametrización (s (t) = ⟨4t, 10t, −2t⟩ ), (0≤t≤5 ), recalcular la integral de línea ( displaystyle int_C (x ^ 2 + yz) , ds ), y observe que el cambio de parametrización no tuvo efecto sobre el valor de la integral.

Insinuación

Utilice la ecuación ref {eq12a}.

Respuesta

Ambas integrales de línea son iguales a (- dfrac {1000 sqrt {30}} {3} ).

Ahora que podemos evaluar integrales de línea, podemos usarlas para calcular la longitud del arco. Si (f (x, y, z) = 1 ), entonces

[ begin {align *} int_C f (x, y, z) , ds & = lim_ {n to infty} sum_ {i = 1} ^ {n} f (t_ {i} ^ {*}) , Delta s_i [4pt] & = lim_ {n to infty} sum_ {i = 1} ^ {n} , Delta s_i [4pt] & = lim_ {n to infty} text {longitud} (C) [4pt] & = text {longitud} (C). end {alinear *} ]

Por lo tanto, ( displaystyle int_C 1 , ds ) es la longitud del arco de (C ).

Ejemplo ( PageIndex {4} ): Calcular la longitud del arco

Un cable tiene una forma que se puede modelar con la parametrización ( vecs r (t) = ⟨ cos t, sin t, t⟩ ), (0≤t≤4 pi ). Calcula la longitud del cable.

Solución

La longitud del cable viene dada por ( displaystyle int_C 1 , ds ), donde (C ) es la curva con parametrización ( vecs r ). Por lo tanto,

[ begin {align *} text {La longitud del cable} & = int_C 1 , ds [4pt] & = int_ {0} ^ {4 pi} || vecs r ′ ( t) || , dt [4pt] & = int_ {0} ^ {4 pi} sqrt {(- sin t) ^ 2 + cos ^ 2 t + t} dt [4pt ] & = int_ {0} ^ {4 pi} sqrt {1 + t} dt [4pt] & = left. dfrac {2 {(1 + t)} ^ { frac {3} {2}}} {3} right | _ {0} ^ {4 pi} [4pt] & = frac {2} {3} left ((1 + 4 pi) ^ {3 / 2} −1 derecha). end {alinear *} ]

Ejercicio ( PageIndex {4} )

Encuentre la longitud de un cable con parametrización ( vecs r (t) = ⟨3t + 1,4−2t, 5 + 2t⟩ ), (0≤t≤4 ).

Insinuación

Encuentra la integral de línea de uno sobre la curva correspondiente.

Respuesta

(4 sqrt {17} )


Ver el vídeo: Clase 09 - Integrales de Línea - Calculo Vectorial Varias Variables (Julio 2022).


Comentarios:

  1. Akinosida

    Sin opciones ....

  2. Eustatius

    Soy definitivo, lo siento, pero no podrías pintar un poco más en detalle.



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