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8.E: Ecuaciones no lineales (ejercicios) - Matemáticas

8.E: Ecuaciones no lineales (ejercicios) - Matemáticas


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8.1: Linealización, puntos críticos y equilibrios

Ejercicio 8.1.1: Dibuje el campo vectorial del plano de fase para:

a) (x '= x ^ 2, ~~ y' = y ^ 2 ),

b) (x '= (x-y) ^ 2, ~~ y' = - x ),

c) (x '= e ^ y, ~~ y' = e ^ x ).

Ejercicio 8.1.2: Sistemas de partidos

1) (x '= x ^ 2 ), (y' = y ^ 2 ), 2) (x '= xy ), (y' = 1 + y ^ 2 ), 3) (x '= sin ( pi y) ), (y' = x ), a los campos vectoriales de abajo. Justificar.

a) B) C)

Ejercicio 8.1.3: Encuentre los puntos críticos y linealizaciones de los siguientes sistemas.

a) (x '= x ^ 2-y ^ 2 ), (y' = x ^ 2 + y ^ 2-1 ),

b) (x '= - y ), (y' = 3x + yx ^ 2 ),

c) (x '= x ^ 2 + y ), (y' = y ^ 2 + x ).

Ejercicio 8.1.4: Para los siguientes sistemas, verifique que tengan un punto crítico en ((0,0) ) y encuentre la linealización en ((0,0) ).

a) (x '= x + 2y + x ^ 2-y ^ 2 ), (y' = 2y-x ^ 2 )

b) (x '= - y ), (y' = x-y ^ 3 )

c) (x '= ax + by + f (x, y) ), (y' = cx + dy + g (x, y) ), donde (f (0,0) = 0 ), (g (0,0) = 0 ), y todas las primeras derivadas parciales de (f ) y (g ) también son cero en ((0,0) ), es decir,

( frac { parcial f} { parcial x} (0,0) = frac { parcial f} { parcial y} (0,0) = frac { parcial g} { parcial x} (0,0) = frac { g parcial} { y parcial} (0,0) = 0 ).

Ejercicio 8.1.5: Considere (x '= (x-y) ^ 2 ), (y' = (x + y) ^ 2 ).

a) Encuentra el conjunto de puntos críticos.

b) Dibuje un diagrama de fase y describa el comportamiento cerca de los puntos críticos.

c) Encuentra la linealización. ¿Es útil para comprender el sistema?

Ejercicio 8.1.6: Considere (x '= x ^ 2 ), (y' = x ^ 3 ).

a) Encuentra el conjunto de puntos críticos.

b) Dibuje un diagrama de fase y describa el comportamiento cerca de los puntos críticos.

c) Encuentra la linealización. ¿Es útil para comprender el sistema?

Ejercicio 8.1.101: Encuentre los puntos críticos y linealizaciones de los siguientes sistemas.

a) (x '= sin ( pi y) + (x-1) ^ 2 ), (y' = y ^ 2-y ),

b) (x '= x + y + y ^ 2 ), (y' = x ),

c) (x '= (x-1) ^ 2 + y ), (y' = x ^ 2 + y ).

Ejercicio 8.1.102: Sistemas de partidos

1) (x '= y ^ 2 ), (y' = - x ^ 2 ), 2) (x '= y ), (y' = (x-1) (x + 1 ) ), 3) (x '= y + x ^ 2 ), (y' = - x ), a los campos vectoriales de abajo. Justificar.

a) B) C)

Ejercicio 8.1.103: La idea de puntos críticos y linealización también funciona en dimensiones superiores. Simplemente agranda la matriz jacobiana agregando más funciones y más variables. Para el siguiente sistema de 3 ecuaciones, encuentre los puntos críticos y sus linealizaciones:

(x '= x + z ^ 2, y' = z ^ 2-y, z '= z + x ^ 2. )

Ejercicio 8.1.1: Cualquier sistema bidimensional no autónomo (x '= f (x, y, t) ), (y' = g (x, y, t) ) se puede escribir como tres -sistema autónomo dimensional (tres ecuaciones). Escriba este sistema autónomo usando las variables (u ), (v ), (w ).

8.2: Estabilidad y clasificación de puntos críticos aislados

Ejercicio 8.2.1: Para los siguientes sistemas, encuentre y clasifique los puntos críticos, también indique si los equilibrios son estables, asintóticamente estables o inestables.

a) (x '= - x + 3x ^ 2, y' = - y ) b) (x '= x ^ 2 + y ^ 2-1 ), (y' = x ) c) (x '= ye ^ x ), (y' = y-x + y ^ 2 )

Ejercicio 8.2.2: Encuentre las ecuaciones implícitas de las trayectorias de los siguientes sistemas conservadores. A continuación, busque sus puntos críticos (si los hay) y clasifíquelos.

a) (x '' + x + x ^ 3 = 0 ) b) ( theta '' + sin theta = 0 ) c) (z '' + (z-1) (z + 1) = 0 ) d) (x '' + x ^ 2 + 1 = 0 )

Ejercicio 8.2.3: Encuentre y clasifique los puntos críticos de (x '= -x ^ 2 ), (y' = -y ^ 2 ).

Ejercicio 8.2.4: Suponga (x '= - xy ), (y' = x ^ 2-1-y ). a) Muestre que hay dos sumideros espirales en ((- 1,0) ) y ((1,0) ). b) Para cualquier punto inicial de la forma ((0, y_0) ), encuentre cuál es la trayectoria. c) ¿Puede una trayectoria que comienza en ((x_0, y_0) ) donde (x_0> 0 ) gira en espiral hacia el punto crítico en ((- 1,0) )? ¿Por qué o por qué no?

Ejercicio 8.2.5: En el ejemplo (x '= y ), (y' = y ^ 3-x ) demuestre que para cualquier trayectoria, la distancia desde el origen es una función creciente. Concluya que el origen se comporta como una fuente en espiral. Sugerencia: Considere (f (t) = { bigl (x (t) bigr)} ^ 2 + { bigl (y (t) bigr)} ^ 2 ) y demuestre que tiene una derivada positiva.

Ejercicio 8.2.6: Suponga que (f ) es siempre positivo. Encuentre las trayectorias de (x '' + f (x ') = 0 ). ¿Hay puntos críticos?

Ejercicio 8.2.7: Suponga que (x '= f (x, y) ), (y' = g (x, y) ). Suponga que (g (x, y)> 1 ) para todo (x ) y (y ). ¿Hay puntos críticos? ¿Qué podemos decir sobre las trayectorias en (t ) van al infinito?

Ejercicio 8.2.101: Para los siguientes sistemas, encuentre y clasifique los puntos críticos. a) (x '= - x + x ^ 2 ), (y' = y ) b) (x '= yy ^ 2-x ), (y' = - x ) c) (x '= xy ), (y' = x + y-1 )

Ejercicio 8.2.102: Encuentre las ecuaciones implícitas de las trayectorias de los siguientes sistemas conservadores. A continuación, busque sus puntos críticos (si los hay) y clasifíquelos. a) (x '' + x ^ 2 = 4 ) b) (x '' + e ^ x = 0 ) c) (x '' + (x + 1) e ^ x = 0 )

Ejercicio 8.2.103: El sistema conservador (x '' + x ^ 3 = 0 ) no es casi lineal. No obstante, clasifique sus puntos críticos.

Ejercicio 8.2.104: Derive una clasificación análoga de puntos críticos para ecuaciones en una dimensión, como (x '= f (x) ) basada en la derivada. Un punto (x_0 ) es crítico cuando (f (x_0) = 0 ) y casi lineal si además (f '(x_0) not = 0 ). Averigüe si el punto crítico es estable o inestable según el signo de (f '(x_0) ). Explicar. Sugerencia: vea el cap. 1.6.

8.3: Aplicaciones de sistemas no lineales

Ejercicio 8.3.1: Tome el ecuación de péndulo no lineal amortiguado ( theta '' + mu theta '+ ( frac {g} {L}) sin theta = 0 ) para algunos ( mu> 0 ) (es decir, hay algo de fricción) . a) Suponga que ( mu = 1 ) y ( frac {g} {L} = 1 ) por simplicidad, encuentre y clasifique los puntos críticos. b) Haga lo mismo para cualquier ( mu> 0 ) y cualquier (g ) y (L ), pero de modo que la amortiguación sea pequeña, en particular, ( mu ^ 2 <4 ( frac {g} {L}) ). c) Explique qué significan sus hallazgos y si está de acuerdo con lo que espera en realidad.

Ejercicio 8.3.2: Suponga que las liebres no crecen exponencialmente, sino logísticamente. En particular, considere

[x '= (0.4-0.01y) x - gamma x ^ 2, ~~~~~ y' = (0.003x-0.3) y. ]

Para los siguientes dos valores de ( gamma ), encuentre y clasifique todos los puntos críticos en el cuadrante positivo, es decir, para (x geq 0 ) y (y geq 0 ). Luego dibuja el diagrama de fases. Discuta las implicaciones para el comportamiento a largo plazo de la población. a) ( gamma = 0.001 ), b) ( gamma = 0.01 ).

Ejercicio 8.3.3: a) Suponga que (x ) y (y ) son variables positivas. Demostrar que ( frac {y x} {e ^ {x + y}} ) alcanza un máximo en ((1,1) ). b) Suponga que (a, b, c, d ) son constantes positivas y también suponga que (x ) y (y ) son variables positivas. Mostrar que ( frac {y ^ ax ^ d} {e ^ {cx + by}} ) alcanza un máximo en (( frac {d} {c}, frac {a} {b}) ) .

Ejercicio 8.3.4: Suponga que para la ecuación del péndulo tomamos una trayectoria que da el movimiento giratorio, por ejemplo ( omega = sqrt { frac {2g} {L} cos theta + frac {2g} {L} + omega_0 ^ 2} ). Esta es la trayectoria donde la velocidad angular más baja es ( omega_0 ^ 2 ). Encuentre una expresión integral de cuánto tarda el péndulo en dar la vuelta completa.

Ejercicio 8.3.5: [desafiante] Tome el péndulo, suponga que la posición inicial es ( theta = 0 ). a) Encuentre la expresión para ( omega ) dando la trayectoria con la condición inicial ((0, omega_0) ). Sugerencia: averigüe qué debería ser (C ) en términos de ( omega_0 ). b) Encuentre la velocidad angular crucial ( omega_1 ), tal que para cualquier velocidad angular inicial más alta, el péndulo seguirá girando alrededor de su eje, y para cualquier velocidad angular inicial más baja, el péndulo simplemente se balanceará hacia adelante y hacia atrás. Sugerencia: cuando el péndulo no pasa por encima de la parte superior, la expresión para ( omega ) no estará definida para algunos ( theta ) s. c) ¿Qué crees que sucede si la condición inicial es ((0, omega_1) ), es decir, el ángulo inicial es 0 y la velocidad angular inicial es exactamente ( omega_1 )?

Ejercicio 8.3.101: Tome la ecuación de péndulo no lineal amortiguado ( theta '' + mu theta '+ ( frac {g} {L}) sin theta = 0 ) para algunos ( mu> 0 ) (es decir, hay fricción). Suponga que la fricción es grande, en particular ( mu ^ 2> 4 ( frac {g} {L}) ). a) Encuentra y clasifica los puntos críticos. b) Explique qué significan sus hallazgos y si está de acuerdo con lo que espera en realidad.

Ejercicio 8.3.102: Suponga que tenemos el sistema depredador-presa donde los zorros también mueren a una tasa constante (h ) ( (h ) zorros asesinados por unidad de tiempo): (x '= (a- por) x, ) (y '= (cx-d) y - h ). a) Encuentre los puntos críticos y las matrices jacobinas del sistema. b) Introduzca las constantes (a = 0.4 ), (b = 0.01 ), (c = 0.003 ), (d = 0.3 ), (h = 10 ). Analiza los puntos críticos. ¿Qué crees que dice sobre el bosque?

Ejercicio 8.3.103: [desafiante] Suponga que los zorros nunca mueren. Es decir, tenemos el sistema (x '= (a-by) x, ) (y' = cxy ). Encuentre los puntos críticos y observe que no están aislados. ¿Qué pasará con la población en el bosque si comienza con algunos números positivos? Sugerencia: Piense en la constante de movimiento.

8.4: Ciclos límite

Ejercicio 8.4.1: Demuestre que los siguientes sistemas no tienen trayectorias cerradas. a) (x '= x ^ 3 + y, y' = y ^ 3 + x ^ 2 ), b) (x '= e ^ {xy}, y' = e ^ {x + y} ), c) (x '= x + 3y ^ 2-y ^ 3, y' = y ^ 3 + x ^ 2 ).

Ejercicio 8.4.2: Formule una condición para que un sistema lineal 2 por 2 ({ vec {x} ,} '= A vec {x} ) no sea un centro usando el teorema de Bendixson-Dulac. Es decir, el teorema dice algo sobre ciertos elementos de (A ).

Ejercicio 8.4.3: Explique por qué el teorema de Bendixson-Dulac no se aplica a ningún sistema conservador (x '' + h (x) = 0 ).

Ejercicio 8.4.4: Un sistema como (x '= x, y' = y ) tiene soluciones que existen para todo el tiempo (t ), pero no hay trayectorias cerradas u otros ciclos límite. Explique por qué no se aplica el teorema de Poincaré-Bendixson.

Ejercicio 8.4.5: Las ecuaciones diferenciales también se pueden dar en diferentes sistemas de coordenadas. Supongamos que tenemos el sistema (r '= 1-r ^ 2 ), ( theta' = 1 ) dado en coordenadas polares. Encuentre todas las trayectorias cerradas y compruebe si son ciclos límite y si es así, si son asintóticamente estables o no.

Ejercicio 8.4.101: Demuestre que los siguientes sistemas no tienen trayectorias cerradas. a) (x '= x + y ^ 2 ), (y' = y + x ^ 2 ), b) (x '= - x sin ^ 2 (y) ), (y '= e ^ x ), c) (x' = xy ), (y '= x + x ^ 2 ).

Ejercicio 8.4.102: Suponga que un sistema autónomo en el plano tiene una solución (x = cos (t) + e ^ {- t} ), (y = sin (t) + e ^ {- t} ). ¿Qué puede decir sobre el sistema (en particular sobre los ciclos límite y las soluciones periódicas)?

Ejercicio 8.4.103: Demuestre que el ciclo límite del oscilador de Van der Pol (para ( mu> 0 )) no debe estar completamente en el conjunto donde (- sqrt { frac {1+ mu} { mu}}

Ejercicio 8.4.104: Suponga que tenemos el sistema (r '= sin (r) ), ( theta' = 1 ) dado en coordenadas polares. Encuentra todas las trayectorias cerradas.


MATH 412: Caos y dinámica no lineal (primavera de 2015)

Este primer curso de dinámica no lineal y caos está dirigido a estudiantes de pregrado y posgrado de nivel superior. Usaremos métodos analíticos, ejemplos concretos e intuición geométrica para desarrollar la teoría básica de los sistemas dinámicos, comenzando con ecuaciones diferenciales de primer orden y sus bifurcaciones, seguidas por el análisis del plano de fase, ciclos límite y sus bifurcaciones, y culminando con el método de Lorenz. ecuaciones, caos, mapas iterados, duplicación de períodos, renormalización, fractales y atractores extraños.

Su calificación será determinada por nueve tareas y un examen final. La tarea comprenderá el setenta por ciento de su calificación y el examen final comprenderá el treinta por ciento restante. Un total combinado de noventa por ciento o más garantizará una A, ochenta por ciento una B, setenta por ciento una C y sesenta por ciento una D.

Texto requerido Dinámica no lineal y caos (segunda edición) por Steven H. Strogatz
Horas de clase Lunes, miércoles y viernes de 11:00 a.m. a 11:50 a.m.
Ubicación de la clase Centro de aprendizaje de ciencias y matemáticas 356
Horas de oficina Lunes de 2:00 pm a 3:00 pm y miércoles de 2:00 pm a 4:00 pm
Localización de la oficina Centro de aprendizaje de ciencias y matemáticas 226


Para el caso de una sola variable, existen métodos más lentos con garantías como la bisección de intervalo y métodos más rápidos que necesitan una buena suposición inicial, como el método de Newton. En el software moderno se han combinado las buenas propiedades de los dos. El mejor método para probar es probablemente el método de Brent implementado en scipy.optimize.brentq. Otros métodos, como el método de Newton, también están disponibles en el paquete de optimización. Los métodos disponibles normalmente encontrarán alguna raíz, no todas. En ese sentido, los métodos son locales.

En este ejemplo encontraremos una raíz de $ x ^ 3 - x ^ 2 -1 $. Siempre es bueno combinar la búsqueda de raíces con la visualización de la función para tener una idea de los puntos de partida o intervalos de interés.


8.E: Ecuaciones no lineales (ejercicios) - Matemáticas

Aquí hay un conjunto de problemas de práctica para el capítulo de Sistemas de ecuaciones de las notas de álgebra.

  1. Si desea un documento PDF que contenga las soluciones, la pestaña de descarga de arriba contiene enlaces a PDF que contienen las soluciones para el libro, el capítulo y la sección completos. En este momento, no ofrezco archivos PDF para soluciones a problemas individuales.
  2. Si desea ver las soluciones en la web, vaya a la página web del conjunto de problemas, haga clic en el enlace de la solución para cualquier problema y lo llevará a la solución a ese problema.

Tenga en cuenta que algunas secciones tendrán más problemas que otras y algunas tendrán más o menos de una variedad de problemas. La mayoría de las secciones deben tener un rango de niveles de dificultad en los problemas, aunque esto variará de una sección a otra.

Aquí hay una lista de todas las secciones para las que se han escrito problemas de práctica, así como una breve descripción del material cubierto en las notas para esa sección en particular.

Sistemas lineales con dos variables: en esta sección resolveremos sistemas de dos ecuaciones y dos variables. Usaremos el método de sustitución y el método de eliminación para resolver los sistemas en esta sección. También presentaremos los conceptos de sistemas de ecuaciones inconsistentes y sistemas de ecuaciones dependientes.

Sistemas lineales con tres variables: en esta sección trabajaremos un par de ejemplos rápidos que ilustran cómo usar el método de sustitución y el método de eliminación presentados en la sección anterior, ya que se aplican a sistemas de tres ecuaciones.

Matrices aumentadas: en esta sección veremos otro método para resolver sistemas. Introduciremos el concepto de matriz aumentada. Esto nos permitirá utilizar el método de eliminación de Gauss-Jordan para resolver sistemas de ecuaciones. Usaremos el método con sistemas de dos ecuaciones y sistemas de tres ecuaciones.

Más sobre la matriz aumentada: en esta sección revisaremos los casos de soluciones inconsistentes y dependientes de los sistemas y cómo identificarlos utilizando el método de la matriz aumentada.


8.E: Ecuaciones no lineales (ejercicios) - Matemáticas

Ecuaciones diferenciales y sistemas dinámicos: Matemáticas 645

Reunión : Martes 1:00 LGRT 111

Instructor: Luc Rey-Bellet

Oficina : 1423 J LGRT
Teléfono : 545-6020
Email : [email protected]
Horas de oficina : Martes 2: 30--3: 45, jueves 2: 30--3: 45, o con cita previa.

Texto: No hay un libro de texto oficial para la clase, ya que no seguiré ninguno en particular. Hay muchísimos libros sobre el tema, y ​​comprar el que más le convenga es una buena inversión. Aquí hay algunas recomendaciones con algunos comentarios. Algunos de ellos se reservarán en la biblioteca. El material tratado en la clase se puede encontrar, a grandes rasgos, en una combinación de Hurewicz (teoría básica de las EDO) con Verhulst o Devaney, Hirsch y Smale (más orientados hacia sistemas dinámicos apsectos).

Estoy escribiendo notas de clase. Aunque no reemplazarán un libro de texto, se publicarán aquí. Esto es una versión preliminar. Si encuentra errores tipográficos, errores, declaraciones poco claras, por favor dígame.

    Ecuaciones diferenciales no lineales y sistemas dinámicos, por Ferdinand Verhulst, Universitext, Springer.

Este es un buen libro orientado a las matemáticas aplicadas. Contiene muchos ejemplos y el material está organizado de manera muy eficiente. Sin embargo, se supone que la teoría general (existencia, unicidad, etc.) ya se conoce.

Este hermoso librito (122 páginas pequeñas) contiene la teoría general de ecuaciones diferenciales hasta (e incluida) la teoría de Poincaré-Bendixson. Fue escrito en 1943 (!) Y es una hermosa pieza de escritura matemática. Algunos aspectos que quiero discutir no están incluidos y hay muy pocos ejemplos y ningún ejercicio.

Este libro fue escrito originalmente en 1963 y envejecido extremadamente bien.

Este es un libro estándar orientado a aplicaciones para sistemas dinámicos. Trata muchos resultados que generalmente no se encuentran en los libros de texto, pero se omiten muchas pruebas, incluso una elemental. Excelente como referencia, no como libro de texto.

Este es un muy buen libro, escrito con un punto de vista más geométrico. Sin embargo, es difícil, pero muy recomendable para una segunda lectura.

Esta es una introducción bastante elemental y muy clara e informativa a los sistemas dinámicos. (Me refiero aquí a la nueva edición reciente que es bastante diferente a las anteriores).

Libro de texto estándar más antiguo sobre EDO. Muy completo.

Esta es una exposición muy completa y detallada de la teoría general de ecuaciones diferenciales. Para el estudiante orientado analíticamente.

La referencia estándar si está interesado en métodos numéricos para EDO. El primer capítulo contiene un breve y eficaz resumen de la teoría general.

Programa de estudios: Este curso es una introducción a las ecuaciones diferenciales. Entre los temas a tratar:

    Parcial: Para llevar a casa, vence el lunes 8 de noviembre a las 9 a. M. Libros cerrados, pero puedes usar las notas de clase.
    Archivo PDF de mitad de período Archivo PDF de solución de mitad de período

Tarea # 1 (vence el jueves 23 de septiembre): & nbsp HW # 1 archivo PDF & nbsp & nbsp & nbsp

Tarea # 2 (vence el jueves 7 de octubre): & nbsp HW # 2 archivo PDF & nbsp & nbsp & nbsp

Tarea # 3 (vence el martes 19 de octubre): & nbsp HW # 3 archivo PDF & nbsp & nbsp & nbsp

Tarea # 4 (vence el jueves 28 de octubre): & nbsp HW # 4 archivo PDF & nbsp & nbsp & nbsp

Tarea # 5 (vence el martes 23 de noviembre): & nbsp HW # 5 archivo PDF & nbsp & nbsp & nbsp

Tarea # 6 (vence el jueves 2 de diciembre): & nbsp HW # 6 archivo PDF & nbsp & nbsp & nbsp

Tarea # 7 (vence el lunes 13 de diciembre): & nbsp HW # 7 archivo PDF & nbsp & nbsp & nbsp


Fronteras en matemáticas aplicadas

Información del título

Los sistemas de ecuaciones lineales y no lineales son la base de muchos, si no la mayoría, de los modelos de fenómenos en ciencia e ingeniería, y su solución numérica eficiente es fundamental para el progreso en estas áreas. Este es el primer libro que se publica sobre ecuaciones no lineales desde mediados de la década de 1980. Aunque enfatiza desarrollos recientes en esta área, como los métodos de Newton-Krylov, se ha incorporado material considerable sobre ecuaciones lineales. Este libro se centra en una pequeña cantidad de métodos y los trata en profundidad.

El autor proporciona un análisis completo del gradiente conjugado y las iteraciones residuales mínimas generalizadas, así como los avances recientes, incluidos los métodos de Newton-Krylov, la incorporación de la inexactitud y el ruido en el análisis, nuevas pruebas e implementaciones del método de Broyden y la globalización de los métodos de Newton inexactos.

Los ejemplos, métodos y elecciones algorítmicas se basan en aplicaciones a problemas de dimensión infinita, como ecuaciones diferenciales parciales y ecuaciones integrales. Las técnicas de análisis y prueba se construyen teniendo en cuenta la configuración dimensional infinita y los ejemplos y ejercicios computacionales se basan en el entorno MATLAB.

Este libro sobre métodos iterativos para ecuaciones lineales y no lineales puede ser utilizado como tutorial y referencia por cualquiera que necesite resolver sistemas de ecuaciones no lineales o grandes sistemas lineales. También se puede utilizar como libro de texto para cursos introductorios en ecuaciones no lineales o métodos iterativos o como material de referencia para un curso introductorio en análisis numérico a nivel de posgrado. Suponemos que el lector está familiarizado con el análisis numérico elemental, el álgebra lineal y las ideas centrales de los métodos directos para la solución numérica de sistemas lineales densos como se describe en textos estándar como [7], [105] o [184].

Nuestro enfoque es centrarnos en una pequeña cantidad de métodos y tratarlos en profundidad. Aunque este libro está escrito en un entorno de dimensión finita, hemos seleccionado para su cobertura principalmente algoritmos y métodos de análisis que se extienden directamente al caso de dimensión infinita y cuya convergencia se puede analizar a fondo. Por ejemplo, la formulación y el análisis sin matriz para GMRES y el gradiente conjugado casi no cambian en un entorno de dimensión infinita. El análisis del método de Broyden presentado en el Capítulo 7 y las implementaciones presentadas en los Capítulos 7 y 8 son diferentes de los clásicos y también se extienden directamente a un escenario de dimensión infinita. Los ejemplos y ejercicios de cálculo se centran en discretizaciones de problemas de dimensión infinita, como ecuaciones integrales y diferenciales.

Presentamos un número limitado de ejemplos computacionales. Estos ejemplos están destinados a proporcionar resultados que puedan utilizarse para validar las propias implementaciones del lector y dar una idea de cómo funcionan los algoritmos. Los ejemplos no están diseñados para ofrecer una imagen completa del rendimiento ni para ser un conjunto de problemas de prueba.


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8.E: Ecuaciones no lineales (ejercicios) - Matemáticas

Una ecuación es lineal si se puede escribir en la forma

donde es la variable y y son constantes. La parte crucial de esta definición es que la frase se puede escribir, porque la mayoría de las ecuaciones lineales no ocurren en una forma tan simple como la anterior.

Soluciones de una ecuación lineal

Supongamos. En ese caso, hay una y solo una solución, a saber

Supongamos y. En esta situación tenemos una ecuación como y claramente hay sin solución.


Infinitas soluciones

Claramente no hay otras posibilidades, y notamos el hecho importante de que una ecuación lineal puede tener ninguna, una o infinitas soluciones. No es posible, por ejemplo, que una ecuación lineal tenga dos soluciones.

El quid de la resolución de una ecuación lineal es reconocer que la ecuación es lineal y convertirla a la forma simple anterior. En el resto de esta página, se ilustrará este proceso para ecuaciones cada vez más complejas.

A continuación, verá varios ejemplos de cómo una ecuación cuya linealidad no es obvia se puede convertir en una ecuación claramente lineal. Los ejemplos cubren la mayoría o todas las técnicas requeridas para esta clase, pero, por supuesto, la lista no es ni mucho menos exhaustiva.

Restamos y en ambos lados y obtenemos la ecuación lineal nueva y equivalente


8.E: Ecuaciones no lineales (ejercicios) - Matemáticas

En la edición de enero / febrero de 2000 de Computing in Science and Engineering, Jack Dongarra y Francis Sullivan seleccionaron 10 algoritmos con la mayor influencia en la ciencia, el análisis numérico y la ingeniería en el siglo XX. En marzo de 2016, Nick Higham (presidente de SIAM, 2017-2018) presentó una lista ligeramente revisada. En este curso cubriremos las motivaciones, ideas, historia e impacto futuro de estos diez algoritmos.

Requisitos previos: Pasión por los algoritmos numéricos.

  • Métodos de Newton y cuasi-Newton,
  • Factorizaciones matriciales (LU, Cholesky, QR)
  • Algoritmos SVD, QR y QZ,
  • Métodos de Montecarlo,
  • Transformada rápida de Fourier,
  • Métodos subespaciales de Krylov,
  • JPEG,
  • Rango de página,
  • Método simplex y
  • Filtro de Kalman.

Menciones honoríficas: métodos de arranque, método multipolar rápido y clasificación rápida.

  • Algoritmos y punto flotante, artículo de wikipedia de error de Pentium
  • Factorización de QR, Más sobre QR, Fórmula de BMI, bmi_data
  • Algoritmo QR
  • Subespacio de Krylov
  • FFT
  • JPEG, secuencia de comandos MATLAB JPEG.m
  • Rango de página
  • Rosenbrock
  • Notas FMM

Las notas de la clase están escritas en Julia y publicadas usando Jupyter. Hoja de trucos de Julia

Fecha y hora: Martes, 11:40 - 12:45, Malott 406
Instructores: Alex Townsend.

Proyecto del curso: el proyecto del curso puede estar relacionado con un algoritmo de los diez primeros. Con suerte, el proyecto estará en el interés de investigación del estudiante. El informe del proyecto debe redactarse como una publicación de 5 a 7 páginas, es decir, debe ser claro y conciso. Es una buena idea utilizar LaTeX para la composición tipográfica. Seleccione un proyecto lo antes posible.

Fechas importantes: 2 y 4 de mayo, presentación del alumno en clase. Los informes escritos deben presentarse el 4 de mayo. Información del proyecto

Factorización de matrices: pdf
Algoritmo QR: pdf
Métodos del subespacio de Krylov: pdf
Transformada rápida de Fourier: pdf, Mat-vecs, procesamiento de señales
JPEG: pdf
Cuasi-Newton: pdf
Símplex:
Monte Carlo:
PageRank: pdf
Método rápido multipolar:


Sobre la solución numérica de ecuaciones de Black-Scholes no lineales

Las ecuaciones no lineales de Black-Scholes han atraído cada vez más interés durante las últimas dos décadas, ya que proporcionan valores más precisos al tener en cuenta supuestos más realistas, como los costos de transacción, los riesgos de una cartera desprotegida, las preferencias de los grandes inversores o los mercados sin liquidez tienen un impacto en el precio de las acciones), la volatilidad, la deriva y el precio de la opción en sí.

En este artículo nos centraremos en varios modelos de la clase más relevante de ecuaciones de Black-Scholes no lineales para opciones europeas y americanas con una volatilidad en función de diferentes factores, como el precio de la acción, el tiempo, el precio de la opción y sus derivados debido a costos de transacción. Abordaremos analíticamente el precio de la opción transformando el problema de una opción de compra europea en una ecuación de convección-difusión con un término no lineal y el problema de límite libre para una opción de compra estadounidense en una ecuación parabólica no local totalmente no lineal definida en un dominio fijo siguiendo la fórmula de Ševčovič. ocurrencia. Finalmente, presentaremos los resultados de diferentes esquemas de discretización numérica para opciones europeas para varios modelos de volatilidad, incluyendo el modelo de Leland, el modelo de Barles y Soner y el modelo de metodología de precios ajustada al riesgo.


6.6 Ecuaciones exponenciales y logarítmicas

En 1859, un terrateniente australiano llamado Thomas Austin liberó a 24 conejos en la naturaleza para cazarlos. Debido a que Australia tenía pocos depredadores y abundante comida, la población de conejos se disparó. En menos de diez años, la población de conejos se contaba por millones.

El crecimiento poblacional incontrolado, como en los conejos salvajes en Australia, puede modelarse con funciones exponenciales. Las ecuaciones resultantes de esas funciones exponenciales se pueden resolver para analizar y hacer predicciones sobre el crecimiento exponencial. En esta sección, aprenderemos técnicas para resolver funciones exponenciales.

Usar bases semejantes para resolver ecuaciones exponenciales

La primera técnica involucra dos funciones con bases similares. Recuerde que la propiedad uno a uno de las funciones exponenciales nos dice que, para cualquier número real b, b, S, S y T, T, donde b & gt 0, b ≠ 1, b & gt 0, b ≠ 1, b S = b T b S = b T si y solo si S = T. S = T.

En otras palabras, cuando una ecuación exponencial tiene la misma base en cada lado, los exponentes deben ser iguales. Esto también se aplica cuando los exponentes son expresiones algebraicas. Por lo tanto, podemos resolver muchas ecuaciones exponenciales usando las reglas de los exponentes para reescribir cada lado como una potencia con la misma base. Luego, usamos el hecho de que las funciones exponenciales son uno a uno para igualar los exponentes entre sí y resolver la incógnita.


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