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6.2: El complemento de un conjunto - Matemáticas

6.2: El complemento de un conjunto - Matemáticas


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Los resultados del aprendizaje

  1. Determina el complemento de un conjunto.
  2. Escribe el complemento de un conjunto usando la notación de conjuntos.

En la sección "Representar una desigualdad como un intervalo en una recta numérica" ​​vimos cómo graficar el complemento de un conjunto definido por una desigualdad. Los complementos aparecen con mucha frecuencia en las estadísticas, por lo que vale la pena revisar esto, pero en lugar de gráficamente nos centraremos en la notación de conjuntos. Recuerde que el complemento de un conjunto es todo lo que no está en ese conjunto. A veces es mucho más fácil encontrar la probabilidad de un complemento que del conjunto original, y existe una relación fácil entre la probabilidad de que ocurra un evento y la probabilidad de que ocurra el complemento de ese evento.

[P left (A right) = 1-P left (no : A right) nonumber ]

Ejemplo ( PageIndex {1} )

Encuentra el complemento del conjunto:

[A = left {x mid x <4 right } nonumber ]

Solución

El complemento del conjunto de todos los números que son menores que 4 es el conjunto de todos los números que son al menos tan grandes como 4. Observe que el número 4 no está en el conjunto A, ya que la desigualdad es estricta (no tiene un "="). Por lo tanto, el número 4 está en el complemento del conjunto A. En notación de conjunto:

[A ^ c = left {x mid x ge4 right } nonumber ]

Ejemplo ( PageIndex {2} )

Al calcular probabilidades, el complemento a veces es mucho más fácil que el conjunto original. Por ejemplo, suponga que lanza un dado 6 veces y quiere encontrar la probabilidad de que el número 3 salga al menos una vez. Encuentra el complemento de este evento.

Solución

Primero tenga en cuenta que el evento de al menos una vez significa que podría haber un 3, dos 3, tres 3, cuatro 3, cinco 3 o seis 3. Resulta que sería una carga lidiar con cada una de estas posibilidades. Sin embargo, el complemento es bastante sencillo. El complemento de obtener al menos un 3 es que no obtienes 3.

Ejemplo ( PageIndex {3} )

Suponga que queremos encontrar la probabilidad de que al menos 20 personas en la clase hayan hecho su tarea. Encuentra el complemento de este evento.

Solución

A veces es más fácil enumerar los resultados cercanos y luego determinar los resultados que satisfacen el evento. Finalmente, para encontrar el complemento, seleccionas el resto. Primera lista de números cerca del 20:

[..., : 17, : 18, : 19, : 20, : 21, : 22, : ... nonumber ]

Ahora, los que tienen al menos 20 son todos los que incluyen 20 y a la derecha de 20:

[20, : 21, : 22, : ... nonumber ]

Estos son los números grandes. El complemento incluye todos los números pequeños.

[..., : 17, : 18, : 19 nonumber ]

Podemos escribir esto en notación de conjuntos como:

[ left {x mid x le19 right } nonumber ] o equivalentemente [ left {x mid x <20 right } nonumber ]

Ejemplo ( PageIndex {4} )

Suponga que se elige un número al azar de los números enteros del 1 al 10. Sea A el evento de que un número sea par y menor que 8. Encuentre el complemento de A.

Solución

Primero, el conjunto de números que son pares y menores que 8 es:

[A : = : left {2, : 4, : 6 right } nonumber ]

El complemento de este conjunto son todos los números del 1 al 10 que no están en A:

[A ^ c = left {1, : 3, : 5, : 7, : 8, : 9, : 10 right } nonumber ]

Ejercicio

Suponga que se lanzan dos dados de seis caras. Sea A el evento de que el primer dado sea par o la suma de los dados sea mayor que 5 o que se hayan producido ambos. Encuentre el complemento de A.

  • Ej: encontrar la intersección de un conjunto y un complemento usando un diagrama de Venn
  • https://youtu.be/ek3QwY2gw4w

Probabilidad: Complemento

Complemento de un evento: todos los resultados que NO el evento .

Cuando el evento es Jefes, el complemento es Cruz
Cuando el evento es el complemento es
Cuando el evento es el complemento es

Entonces, el Complemento de un evento es todo el otro resultados (no los que queremos).

Y juntos, el Evento y su Complemento hacen todos los resultados posibles.


Complemento de un conjunto

Complemento de un conjunto
En la teoría de conjuntos, el conjunto de complementos es una de las ramas. Se dice que el conjunto de todos los elementos del conjunto universal que no están en el conjunto inicial son conjuntos complementarios. La complemento de un conjunto está representado por el símbolo A '. El conjunto es una colección del objeto. El conjunto se indica con los símbolos <>.

Complemento de un conjunto :
Complemento de un conjunto se define como el conjunto de elementos que no pertenece al conjunto dado, es decir, A, pero pertenece al conjunto Universal (U).
Calculadora relacionada:.

Complemento de un conjunto
Los elementos no contenidos en un conjunto dado. El complemento del conjunto A está indicado por AC.
Ver también .

A es el conjunto de elementos que no son miembros de A. Notación: A con una sola barra en la parte superior, o -A, o A '. .

A es un conjunto que contiene los elementos del conjunto universal.
Ejemplo : .

es el conjunto de elementos que no están en el conjunto especificado. Tenga en cuenta que esta definición solo tiene sentido con un conjunto universal definido.
ángulos complementarios: dos ángulos que suman un ángulo recto. En este caso, cada ángulo se llama complemento del otro ángulo.

Entonces A viene dada por la porción del rectángulo fuera del círculo de A. Estrictamente hablando, este es el complemento relativo U A de A relativo a U pero en un contexto donde U es el universo, se puede considerar como el complemento absoluto AC de A.

es el conjunto que contiene todos los elementos del universo que no son elementos del conjunto original. Por ejemplo, si el universo se define como, entonces el complemento de con respecto a (escrito como) es. Las cardinalidades de un conjunto y su complemento juntas equivalen a la cardinalidad del universo.

En matemáticas, el macron se usa a menudo para nombrar una barra colocada sobre un solo carácter, como, que se lee como "X-bar", para indicar la media de un conjunto de datos en estadísticas. Otros usos incluyen el


Preguntas y respuestas de matemáticas & # 8211 Complemento de un conjunto

Este conjunto de preguntas de opción múltiple de matemáticas y respuestas n. ° 038 (MCQ) se centra en el "complemento de un conjunto".

1. ¿Qué denota A 'cuando U es un conjunto universal?
a) A
b) y Phi
c) U
d) U-A
Ver respuesta

2. Si A = <2,3,5> y U es el conjunto de factores primos de 210, entonces encuentre A '.
a) <2,3,5>
b) <2,3,5,7>
c) <7>
d) y Phi
Ver respuesta

3. ¿Es (A ’)’ = A?
una verdad
b) Falso
Ver respuesta

7. Sea U = <1, 2, 3, 4, 5, 6>, A = <1,4> y B = <2,3,5>. Entonces A ’& capB’ es igual a (A & cupB) ’.
una verdad
b) Falso
Ver respuesta

8. ¿Cuál de los siguientes es igual a A & cupA '?
a) U
b) A
c) A ’
d) U ’
Ver respuesta

9. Si A es un conjunto de triángulos equiláteros, entonces A ’es ________
a) conjunto de triángulos isósceles
b) conjunto de triángulos escalenos
c) unión de conjuntos de triángulos escaleno e isósceles
d) intersección de conjuntos de triángulos escaleno e isósceles
Ver respuesta

10. ¿Cuál de los siguientes no es igual al conjunto A?
a) A & capU
b) A & cap & Phi ’
c) A & cupA ’
d) A & cup & Phi
Ver respuesta

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Complemento de un conjunto & # 8211 Definición

El complemento de un conjunto A se indica con A c o A & # 8217. El complemento del conjunto A significa conjunto universal menos conjunto A. El conjunto complementario obtiene el conjunto de elementos del conjunto universal que no están en el conjunto A.

La forma de constructor de conjuntos del complemento de conjuntos es A & # 8217 =

El diagrama de Venn del complemento de un conjunto A es

Aquí se proporcionan los puntos importantes sobre el complemento de conjuntos.

  • El conjunto y su complemento son conjuntos disjuntos.
  • El complemento de un conjunto vacío es un conjunto universal.
  • El complemento de un conjunto universal es un conjunto vacío.

¿Cómo encontrar el complemento de un conjunto?

Obtenga la explicación detallada paso a paso sobre cómo calcular el complemento de un conjunto de las siguientes secciones.

  • Al principio, debe tomar dos juegos de juego universal y cualquier juego.
  • Establecer complemento = Universal_Set & # 8211 Given_Set
  • En el conjunto de complementos resultante, debe escribir los elementos de un conjunto universal que no son elementos del conjunto dado.

Propiedades de los conjuntos de complementos

(ii) Ley de Complementación

Eche un vistazo a los problemas de ejemplo resueltos en el complemento del conjunto para tener una mejor idea del concepto fácilmente.

Complemento de un conjunto de ejemplos

Si ∪ = <5, 10, 15, 20, 25, 30, 35>, B = <10, 20, 30, 40, 50, 60>, evalúe el complemento del conjunto B.

B & # 8217 significa incluir los elementos del conjunto universal que no están en el conjunto B.


Alerta de notación

Hay varias formas diferentes de representar el complemento de un conjunto, como se muestra a continuación.

Todas estas notaciones tienen el mismo significado. Sin embargo, para el propósito de esta unidad instructiva, hemos optado por utilizar A' , leído como A-prime.

Veamos algunos ejemplos de complemento que involucran notación de constructor de conjuntos y conjuntos infinitos.

Ejemplo 6: Si = | n y -6 & lt n & lt 7> y B = | y número par -5 & lt y & lt 6>, entonces ¿cuál es el complemento de B?

Respuesta: B'=

Ejemplo 7: Dado = y C = , encontrar C'.

Análisis: C' consistiría en todos los números de conteo mayores que 1 que no son primos. Esto se muestra en el diagrama de Venn a continuación.

Respuesta: C'=

Resumen: Conjunto dado A, el complemento de A es el conjunto de todos los elementos del conjunto universal, que no están en A. El complemento de conjunto A se denota como A' y se lee como A-prime. La definición formal de complemento se muestra a continuación.

A'= x | x y x A >

Ejercicios

Instrucciones: Lea cada pregunta a continuación. Puede dibujar un diagrama de Venn que le ayude a encontrar la respuesta a cada ejercicio. Seleccione su respuesta haciendo clic en su botón. Los comentarios a su respuesta se proporcionan en el CUADRO DE RESULTADOS. Si comete un error, reconsidere su respuesta y luego elija un botón diferente.


Si un conjunto tiene "n" elementos, entonces el número de subconjuntos del conjunto dado es 2 n y el número de subconjuntos propios del subconjunto dado está dado por 2 n -1. Considere un ejemplo, si el conjunto A tiene los elementos, A = , entonces el subconjunto adecuado del subconjunto dado son <>, y .

En matemáticas, la expresión 3! se lee como & # 8220three factorial & # 8221 y es realmente una forma abreviada de denotar la multiplicación de varios números enteros consecutivos. Dado que hay muchos lugares a lo largo de las matemáticas y la estadística donde necesitamos multiplicar números, el factorial es bastante útil.


Sea $ A $ un subconjunto de algún universo $ U $.

Demostraremos esto demostrando que los dos conjuntos son subconjuntos el uno del otro (y, por lo tanto, deben ser iguales). No usaremos más que la definición de que si $ x en X $, entonces $ x notin X ^ C $ (y lo que sigue claramente: si $ x notin X $, entonces $ x en X ^ C $) .

Tome $ a en A $. Entonces $ a notin A ^ C $. Entonces $ a in (A ^ C) ^ C $, por definición del complemento. Entonces $ A subseteq (A ^ C) ^ C $.

Ahora tome $ a in (A ^ C) ^ C $. Eso significa $ a notin A ^ C $. Por lo tanto $ a en A $. Entonces $ (A ^ C) ^ C subseteq A $.

Como $ A subseteq (A ^ C) ^ C $ y $ (A ^ C) ^ C subseteq A $, concluimos que $ A = (A ^ C) ^ C $.

Para conocer otras técnicas, consulte aquí. Esta es, en cierto sentido, una pregunta duplicada.

Sé que es antiguo, pero así es como lo resolví usando equivalencias lógicas. Para las personas que vienen del futuro, se me pidió que lo resolviera así.

Sabemos que: $ A = $, que dice: hay una x en el conjunto de A. Y sabemos que el complemento de A es $ A ^ c = $, que dice: hay una x que no está en A.

Empezamos con $ (A ^ c) ^ c = $ se lee como: hay una x que no está en el conjunto complementario de A. Eso significa que si una x no está en el conjunto complementario de A (y el conjunto complementario de A es el conjunto que no tiene A) , entonces debe estar en A. Todo lo que hacemos es usar reglas de negación.


6.2: El complemento de un conjunto - Matemáticas

Lecturas para la sesión 5 - (continuación)

Complementar y marcar la diferencia

Recuerde que a menudo trabajamos con un conjunto específico de objetos cuando resolvemos problemas o discutimos temas. Llamamos a este conjunto de objetos un conjunto universal o universo. Por ejemplo, en el problema inicial anterior, el conjunto universal podría ser el conjunto de todos los dólares estadounidenses o el conjunto de los $ 836 que Sam tenía originalmente en la cuenta corriente.

Complemento de un conjunto: La complemento de un conjunto, denotado A & # 39, es el conjunto de todos los elementos del conjunto universal dado U que no estan en A .

El diagrama de Venn para el complemento del conjunto A se muestra a continuación donde la región sombreada representa A ' .

Ejemplo: Para el ejemplo de introducción de la página anterior, deje que el conjunto universal U ser los $ 836 que Sam tiene originalmente en la cuenta corriente y dejar A sea ​​el conjunto de los $ 429 del cheque. El complemento de conjunto A sería el conjunto de los $ 407 restantes en la cuenta corriente.

Ejemplo: U & # 39 = ∅ El complemento del universo es el conjunto vacío.

Ejemplo: ∅ ' = U El complemento de un conjunto vacío es el conjunto universal.

Establecer diferencia: La complemento relativo o establecer diferencia de conjuntos A y B, denotado AB, es el conjunto de todos los elementos en A que no estan en B .

El diagrama de Venn para la diferencia de conjuntos de conjuntos A y B se muestra a continuación donde la región sombreada representa AB.

Ejemplo: Para el ejemplo de introducción de la página anterior, deje que el conjunto universal U sea ​​el conjunto de todos los dólares estadounidenses, dejemos A ser el conjunto de $ 836 que Sam tiene originalmente en la cuenta corriente, y deje B sea ​​el conjunto de los $ 429 del cheque. Entonces la diferencia establecida de A y B serían los $ 407 restantes en la cuenta corriente.

Ejemplo: Dejar A = <a B C D> y B = <b, d, e>. Luego AB = <a, c> y BA = <mi>.

Ejemplo: Dejar GRAMO = <t, a, n> y H = <n, a, t>. Luego GRAMOH = ∅ .

¿Cómo debemos definir la resta de números enteros?

En el ejemplo inicial de una página anterior de esta sección, el saldo restante era la diferencia entre las cardinalidades de los conjuntos de la cuenta corriente y el cheque. Esto también funciona para el tercer ejemplo (arriba) donde

norte(GRAMO) – norte(H) = 3 – 3 = 0 = norte( ∅ ).

Pero, con el segundo ejemplo (arriba), la diferencia entre las cardinalidades no da el resultado esperado, por ejemplo,

norte(A) – norte(B) = 4 – 3 = 1 ≠ 2 = norte(AB).

En este caso, B no es un subconjunto de A. Esto conduce a la definición de conjunto para la resta de números enteros que se da en la página siguiente.


MF4 03.2 Subconjuntos, conjunto universal y complemento de un conjunto

El conjunto A es un subconjunto del conjunto B, escrito como A ⊂ B.

El conjunto A no es un subconjunto del conjunto B, escribiendo como A ⊄B.

Ejemplo :

Dado A = , B = <3, 5, 7> y C = . Determina si cada uno de los siguientes es verdadero o falso.

(a) B ⊂ A es verdadero ⇒ cada elemento de B es un elemento de A

(b) C ⊂ A es falso ⇒ todos los elementos de C no son elementos de A

  • Diagrama de Venn: se utiliza para ilustrar cuando el conjunto A es un subconjunto del conjunto B. Observe que el conjunto A está completamente dentro del conjunto B.

Ejemplo :

Dibuja un diagrama de Venn para mostrar la relación entre los conjuntos en cada uno de los siguientes pares.

  • Un conjunto vacío es un subconjunto de cualquier conjunto, como Φ ⊂ A.
  • Un conjunto es un subconjunto de sí mismo, como A ⊂ A.
  • El número de subconjuntos para un conjunto con n elementos es 2 n.

Ejemplo :

Entonces norte = 2, luego el número de subconjuntos del conjunto A = 2 2 = 4

Todos los subconjuntos del conjunto A son <> o φ, <2>, <4> y <2, 4>.

Conjunto universal

  • Conjunto universal: conjunto que contiene todos los elementos en consideración y se indica con el símbolo ξ.

Ejemplo :

(a) Enumere todos los elementos del conjunto A y establecer B.

(b) Ilustre las relaciones entre los siguientes conjuntos usando diagramas de Venn.


Ver el vídeo: Ejercicios de unión e intersección de conjuntos. Conjunto vacío y complemento de un conjunto. (Mayo 2022).