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44.3: Ejemplos - Matemáticas

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44.3: Ejemplos - Matemáticas

Razones equivalentes de 71,1: 44,3

Razones equivalentes o razones iguales son dos razones que expresan la misma relación entre números. Puede usar la calculadora de razón equivalente para resolver problemas de razón y / o proporción según sea necesario ingresando su propia razón para producir una tabla similar a la "Tabla de razones equivalentes de 71.1: 44.3" que se proporciona a continuación. Esta tabla de razones proporciona una lista cada vez mayor de razones de las mismas proporciones donde el numerador y el denominador son una multiplicación directa del valor de multiplicación (mX ). Las tablas de razones son muy útiles en matemáticas para calcular y comparar razones equivalentes, aunque la mayoría probablemente usará una calculadora de razones para calcular las razones equivalentes, también es útil tener una tabla de razones en la que pueda hacer referencia cruzada rápidamente a las razones asociadas, particularmente cuando se trabaja con ecuaciones matemáticas para resolver problemas matemáticos avanzados o problemas de física. Como referencia útil, hemos incluido una tabla que proporciona enlaces a los valores de relación asociados para la relación 71.1: 44.3, por ejemplo 71.1.1: 44.3, 71.1: 44.3.1, 71.1.1: 44.3.2 y así sucesivamente. Esperamos que estas tablas de proporciones de referencia rápida le resulten útiles, ya que puede imprimirlas y enviarlas por correo electrónico a usted mismo para ayudarlo en su aprendizaje o como una ayuda de aprendizaje útil al enseñar proporciones a estudiantes de matemáticas.

¿Le resultó útil la tabla de razones equivalentes de 71.1: 44.3? Deje una calificación a continuación.


¿Qué es una ecuación paramétrica?

Una ecuación paramétrica es una forma de la ecuación que tiene una variable independiente llamada parámetro y otras variables dependen de ella. Puede haber más variables dependientes que cuando, pero no dependen unas de otras.

Es importante señalar que las representaciones de ecuaciones paramétricas no son únicas, por lo tanto, las mismas cantidades se pueden expresar de varias formas. De manera similar, las ecuaciones paramétricas no son necesariamente funciones. El método de formar ecuaciones paramétricas se conoce como parametrización. Las ecuaciones paramétricas son útiles para representar y explicar curvas como círculos, parábolas, etc., superficies y movimientos de proyectiles.

Para tener una mejor comprensión, consideremos un ejemplo de nuestro sistema planetario cuando la tierra gira alrededor del sol en su órbita con cierta velocidad. En cualquier caso, la tierra se encuentra en una posición particular en relación con los otros planetas y el sol. Ahora, surge la pregunta de cómo podemos escribir y resolver las ecuaciones para describir la posición de la tierra cuando todos los demás parámetros, como la velocidad de la tierra en su órbita, la distancia del sol, la distancia de otros planetas que giran en sus órbitas particulares. y muchos otros factores, todos son desconocidos. Entonces, las ecuaciones paramétricas entran en juego, ya que solo se puede resolver una variable a la vez.

Por lo tanto, en este caso, utilizaremos x (t) e y (t) como variables, donde t es la variable independiente, para determinar la posición de la Tierra en su órbita. Del mismo modo, también puede ayudarnos a detectar el movimiento de la tierra con respecto al tiempo.

Por lo tanto, las ecuaciones paramétricas se pueden definir más particularmente como:

"Si xey son funciones continuas de t en cualquier intervalo dado, entonces las ecuaciones

se denominan ecuaciones paramétricas y t se denomina parámetro independiente ".

Si consideramos un objeto que tiene un movimiento curvilíneo en cualquier dirección dada y en cualquier momento. El movimiento de ese objeto en el plano 2-D se describe mediante las coordenadas xey, donde ambas coordenadas son función del tiempo, ya que varían con el tiempo. Por esa razón, expresamos las ecuaciones xey en términos de otra variable llamada parámetro del que dependen tanto x como y. Entonces, podemos clasificar xey como variables dependientes yt como un parámetro independiente.

Consideremos nuevamente la analogía de la tierra explicada anteriormente. La posición de la Tierra a lo largo del eje x se representa como x (t). La posición a lo largo del eje y se representa como y (t). Juntas, estas dos ecuaciones se denominan ecuaciones paramétricas.

Las ecuaciones paramétricas nos dan más información sobre la posición y la dirección con respecto al tiempo. Varias ecuaciones no se pueden representar en forma de funciones, por lo que parametrizamos tales ecuaciones y las escribimos en términos de alguna variable independiente.

Por ejemplo, consideremos la ecuación del círculo que es:

las ecuaciones paramétricas de un círculo se dan como:

Tengamos una mejor comprensión del concepto explicado anteriormente con la ayuda de un ejemplo.

Escriba las siguientes ecuaciones rectangulares mencionadas en forma paramétrica

Evaluemos la ecuación 1:

y = 3x3 + 5x +6

Deben seguirse los siguientes pasos para convertir la ecuación en forma paramétrica

Las ecuaciones paramétricas se dan como,

Ahora considere la ecuación 2:

Deben seguirse los siguientes pasos para convertir la ecuación en forma paramétrica

Las ecuaciones paramétricas se dan como,

Resolvamos la ecuación 3:

y = x4 + 5 veces2 +8

Deben seguirse los siguientes pasos para convertir la ecuación en forma paramétrica

Las ecuaciones paramétricas se dan como,


44.3: Ejemplos - Matemáticas

Hiroshima Math. J. 44 (3), 247-259, (noviembre de 2014) DOI: 10.32917 / hmj / 1419619745

PALABRAS CLAVE: MANOVA, alta dimensión, razón de verosimilitud, Lawley-Hotelling, Bartlett-Nanda-Pillai, expansión de Edgeworth, 62H10, 62E20

Las expansiones asintóticas de la distribución nula de los estadísticos de la prueba MANOVA, incluida la razón de verosimilitud, las pruebas de Lawley-Hotelling y Bartlett-Nanda-Pillai se obtienen cuando tanto el tamaño de la muestra como la dimensión tienden al infinito asumiendo la razón de la dimensión y el tamaño de la muestra. tiende a una constante positiva menor que uno. También se obtienen las expansiones de Cornish-Fisher de los puntos porcentuales superiores. Para estudiar la precisión de las fórmulas de aproximación, se realizan algunos experimentos numéricos, comparándolos con las expansiones clásicas cuando solo el tamaño de la muestra tiende a infinito.

Hiroshima Math. J. 44 (3), 261-266, (noviembre de 2014) DOI: 10.32917 / hmj / 1419619746

PALABRAS CLAVE: Integración Cuasi-Monte Carlo (QMC), figura de mérito de Walsh, red digital, 65C05

Damos un límite inferior en la figura de mérito de Walsh (WAFOM), que estima el error de integración para la integración cuasi-Monte Carlo (QMC) mediante un conjunto de puntos llamado red digital. El logaritmo de este límite inferior es óptimo hasta un múltiplo constante, porque la existencia de conjuntos de puntos que alcanzan el orden se demostró en K. Suzuki, "Una construcción explícita de conjuntos de puntos con un gran peso mínimo de Dick", que aparece en J. Complejidad.

Hiroshima Math. J. 44 (3), 267-274, (noviembre de 2014) DOI: 10.32917 / hmj / 1419619747

PALABRAS CLAVE: Grupo de mentira, isometría, colector, 53C30, 57S25

Damos una descripción topológica de los espacios orbitales y las órbitas de algunas variedades G planas de Lorentz.

Hiroshima Math. J. 44 (3), 275-313, (noviembre de 2014) DOI: 10.32917 / hmj / 1419619748

PALABRAS CLAVE: ecuación de deriva-difusión, difusión anómala, disipación crítica, analiticidad, 35A01, 35B65, 35J60, 76D03, 35L65, 35Q35

Hiroshima Math. J. 44 (3), 315-326, (noviembre de 2014) DOI: 10.32917 / hmj / 1419619749

PALABRAS CLAVE: corrección de sesgo, GIC, selección de modelo, matriz de covarianza casi singular, SEM, parámetro de contracción, 62H12, 62F07

En el modelado de ecuaciones estructurales, los parámetros desconocidos de una matriz de covarianza se derivan minimizando la discrepancia entre una matriz de covarianza de muestra y una matriz de covarianza que tiene una estructura específica. Cuando una matriz de covarianza de muestra es una matriz casi singular, Yuan y Chan (2008) propusieron el método de estimación para utilizar una matriz de covarianza de muestra ajustada en lugar de la matriz de covarianza de muestra en la función de discrepancia. La matriz de covarianza de muestra ajustada se define agregando una matriz escalar con un parámetro de contracción a la matriz de covarianza de muestra existente. Utilizaron un valor constante como parámetro de contracción, que se eligió basándose únicamente en el tamaño de la muestra y el número de dimensiones de la observación, y no en los datos en sí. Sin embargo, seleccionar el parámetro de contracción a partir de los datos puede conducir a una mayor mejora en la predicción en comparación con el uso de un parámetro de contracción constante. Por lo tanto, proponemos un criterio de información para seleccionar el parámetro de contracción e intentamos seleccionar el parámetro de contracción mediante un método de minimización de criterio de información. El criterio de información propuesto se basa en la función de discrepancia medida por la teoría normal de máxima verosimilitud. Utilizando el método de Monte Carlo, demostramos que el criterio propuesto funciona bien en el sentido de que se mejora la precisión de la predicción de una matriz de covarianza estimada.


Las ciencias matemáticas: un informe (1968)

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6 Ejemplos de uso de las matemáticas Hace muchos años, Auguste Cowte afirmó que una ciencia es una ciencia sólo en la medida en que sea matemática. La matematización de las ciencias físicas se lleva a cabo durante siglos, la de las ciencias de la vida y del comportamiento desde hace menos tiempo. La ingeniería, que es una tecnología basada en las ciencias físicas, siempre ha utilizado las matemáticas como una herramienta esencial. La matematización de una amplia variedad de otras tecnologías está en proceso. En consecuencia, una revisión exhaustiva de la penetración de las matemáticas en diversas áreas del esfuerzo humano requeriría volúmenes. En este capítulo describimos algunos ejemplos típicos: la física, una ciencia completamente matematizada casi desde sus inicios, diseño de ingeniería, una tecnología completamente matematizada, matemáticas en las ciencias ambientales más nuevas, específicamente, predicción numérica del tiempo, economía en la que la penetración de las matemáticas tiene alrededor de cien años la tecnología de gestión y operaciones en la que la matematización es un desarrollo de la Segunda Guerra Mundial. Claramente, hemos omitido muchos ejemplos importantes. Véanse, para algunos casos específicos, los ensayos de Cohen sobre matemáticas en biología, de Lederberg sobre algunos usos de las matemáticas en química y de Harris sobre lingüística matemática.7 El grado de matematización, la sofisticación de las herramientas matemáticas utilizadas y la El valor intelectual duradero alcanzado hasta ahora por el uso de las matemáticas varía ampliamente de un campo a otro, como comentaremos al final de este capítulo. 101

l Estado de las Ciencias Matemáticas MATEMÁTICAS Y FÍSICA La física es una ciencia experimental que se ocupa del mundo material que nos rodea. El objetivo, como lo definen hoy los físicos, es describir y correlacionar la multitud de fenómenos experimentales en términos de conceptos teóricos formulados en el lenguaje de las matemáticas. Por qué los fenómenos naturales deberían poder describirse en el lenguaje de las matemáticas es un tema de controversia. (Por ejemplo, E. Wigner tituló una conferencia "La eficacia irrazonable de las matemáticas en las ciencias naturales".) Sin embargo, es indiscutible, y de hecho se suele dar por sentado, que los fenómenos naturales se han descrito así con brillante éxito. Dado que la física se ocupa de mediciones cuantitativas, las matemáticas se incorporan a la física de forma natural como una ayuda para el cálculo y como una herramienta para las operaciones lógicas en los desarrollos teóricos. Las principales ramas tradicionales de las matemáticas, el álgebra, el análisis y la geometría se han utilizado ampliamente en muchos campos de investigación de la física de esta manera. Tan pronto como se desarrollaron las computadoras, los físicos empezaron a utilizarlas con gran ventaja, tanto para ayudar en el procesamiento de datos como para resolver problemas numéricos. Si bien las matemáticas desempeñan un papel importante en la física de la manera que acabamos de describir, desempeñan, al mismo tiempo, un papel mucho más importante en un nivel más fundamental. De hecho, las matemáticas proporcionan muchos de los conceptos básicos que utilizan los físicos para describir los fenómenos naturales. Por ejemplo, el concepto matemático abstracto de multiplicación no conmutativa se encuentra en la base de la mecánica cuántica. La geometría no euclidiana es el punto de partida de la relatividad general. Hay físicos que creen que la continuación analítica es un concepto matemático necesario para describir el principio físico de causalidad. Como se revisa el desarrollo de la física a través de los siglos, a partir de los primeros estudios de la astronomía y la mecánica newtoniana, pasando por la formulación del siglo XIX de los fenómenos electromagnéticos y de la teoría del calor y termodyr

amics, y luego al desarrollo moderno de la relatividad, la mecánica cuántica y la física de altas energías, uno se sorprende con la naturaleza cada vez más abstracta y sofisticada de los conceptos matemáticos que fue necesario introducir para la descripción de los fenómenos naturales. . Sin duda, tal observación estaba detrás de la observación del fallecido físico británico Jeans, de que Dios es un matemático. Algunos ejemplos de conceptos matemáticos sofisticados

En los ensayos de Dyson y Wightman en la referencia 7 se encuentran ejemplos de Matemáticas en uso 103 que se han introducido en la física en los últimos años. Citamos un artículo del gran físico P. A. M. Dirac tProc. Roy. Soc., 133, 66 (1931

: El progreso constante de la física requiere para su formulación teórica una matemática cada vez más avanzada. Esto es natural y de esperar. Lo que, sin embargo, no esperaban los investigadores científicos del siglo pasado era la forma particular que tomaría la línea de avance de las matemáticas, es decir, se esperaba que las matemáticas se volvieran cada vez más complicadas, pero que descansaran sobre una base. base permanente de axiomas y definiciones, mientras que en realidad los desarrollos físicos modernos han requerido una matemática que cambia continuamente sus fundamentos y se vuelve más abstracta. Se ha descubierto que la geometría no euclidiana y el álgebra no conmutativa, que en un momento se consideraron puramente ficciones de la mente y pasatiempos para los pensadores lógicos, son muy necesarias para la descripción de los hechos generales del mundo físico. Parece probable que este proceso de abstracción creciente continuará en el futuro y que el avance en la física se asociará con una modificación continua y generalización de los axiomas en la base de las matemáticas más que con un desarrollo lógico de cualquier un esquema matemático sobre una base fija. Muchos físicos creen que el problema central al que se enfrentan hoy en día, a saber, la estructura de los núcleos atómicos y sus partes constituyentes (también conocida como física de altas energías), puede muy bien resolverse solo mediante la introducción de conceptos matemáticos no utilizados hasta ahora en física y tal vez como aún desconocido para los matemáticos. Sea como fuere, se ha demostrado repetidamente que el sentido de la forma y la apreciación de la elegancia, la abstracción y la generalización, que son los sellos distintivos de un buen desarrollo matemático, son a menudo también las características de los nuevos avances en la percepción física. De hecho, lo que uno llama ideas físicas a menudo se deriva de propiedades de conceptos matemáticos abstractos, que resultan tener una aplicabilidad amplia y arraigada en los fenómenos naturales. Al revisar la interacción entre las matemáticas y una rama de la física, M. J. Lighthill A. Roy. Aeronauta. Soc., 64, 375 (1960)

Observó que una tarea importante de las matemáticas es generar nuevas ideas físicas, es decir,. . . ideas que han sido originadas por la investigación matemática pero que luego se vuelven susceptibles de descripción casi exclusivamente física, y cuyas propiedades, aunque primero derivadas matemáticamente, se vuelven familiares y comúnmente se describen en términos puramente físicos. El valor de las ideas físicas en el trabajo práctico, por supuesto, es su elasticidad. Siempre que sean ideas sólidas, como las que se plantean como la prueba física genuinamente apropiada.

104 El estado de las ciencias matemáticas descripción de la solución matemática de alguna clase bien definida de problema, por lo general muestran una espléndida capacidad para hacer frente a la distorsión del problema y, de hecho, a cambios radicales y complicaciones en sus condiciones, y aún así brindar la orientación adecuada sobre lo que se debe hacer. Vale la pena señalar que, de hecho, esto es válido para prácticamente todas las aplicaciones de las matemáticas. La relación entre física y matemáticas no es de ninguna manera una calle de un solo sentido. Mientras que la física utiliza conceptos matemáticos, las matemáticas se inspiran y estimulan en la necesidad de los físicos de nuevas matemáticas. La invención del cálculo, de la geometría diferencial, de la teoría ergódica, todos representan desarrollos matemáticos estimulados por problemas físicos. Citamos de un informe reciente de físicos (referencia 11, página 162

: A través de siglos de contacto íntimo, la física teórica y las matemáticas han interactuado fuertemente para su beneficio mutuo. La física teórica utiliza los conceptos desarrollados en matemáticas para formular descripciones de fenómenos naturales. Las matemáticas, a su vez, son estimuladas en su dirección de desarrollo por los problemas que plantea la física. En los últimos años, la influencia de la física teórica en el desarrollo de las matemáticas parece haberse debilitado. Sin embargo, todavía hay muchos ejemplos notables de desarrollo matemático influenciado por la física: por ejemplo, la teoría de operadores ilimitados, la teoría de representación de grupos no compactos y la teoría de distribuciones. Sería imprudente creer que los fenómenos naturales no volverán a servir, en el futuro, como en el pasado, como fuente de importantes direcciones de investigación en matemáticas. La tendencia de las matemáticas básicas en su conjunto a alejarse de la física puede ser una característica inevitable de las matemáticas de este siglo.

Véase, por ejemplo, M. Stone, "The Revolution in Mathematics", American Mathematical Monthly, 68, 715 (1961

.] Sería perjudicial para ambas disciplinas si se permitiera que esta tendencia tomara la forma extrema de aislar a los matemáticos y físicos de los contactos intelectuales mutuos. Para prevenir tal eventualidad, es muy importante que en los niveles de pregrado, posgrado y posgrado, los estudiantes tengan la oportunidad de estar expuestos a los emocionantes desarrollos básicos de cada una de las dos disciplinas.CIENCIAS MATEMÁTICAS EN INGENIERÍA Los usos de las matemáticas en ingeniería representan una de las manifestaciones más reconocidas y más importantes de la

Ejemplos de matemáticas en uso 105 matematización general de nuestra cultura. Ya sea que se analicen campos relativamente antiguos, como la ingeniería civil y mecánica, o relativamente nuevos, como la tecnología nuclear o la electrónica, se encuentra un aumento constante en la cantidad y sofisticación de las matemáticas utilizadas. La teoría de la información es un ejemplo bien conocido. Implica problemas matemáticos muy profundos, pero su espectacular desarrollo fue estimulado por la necesidad práctica de los ingenieros de comunicaciones o electrónicos de una medida del trabajo de transmitir una clase dada de mensajes a través de un medio dado. Los desarrollos modernos en aerodinámica dependen del deseo de construir aviones y misiles que vuelen a velocidades cada vez más altas. Se encuentra, como se esperaba, que cuanto más avanzada es la tecnología, más sofisticados son los conceptos básicos involucrados y más dependen de las matemáticas. A menudo es imposible comprender los conceptos utilizados por los ingenieros (incluso los básicos como la adaptación de impedancia, la reducción de la resistencia por interferencia y la resonancia subarmónica) sin utilizar las matemáticas. Una forma que toma a menudo el aumento de la matematización es el desarrollo de teorías más precisas para aprovechar los avances simultáneos en otras direcciones. Por ejemplo, con frecuencia se ha utilizado un margen de seguridad de 4: 1 en el diseño estructural. Tal factor de seguridad sería completamente inviable en el diseño de la mayoría de misiles, los misiles serían demasiado pesados ​​para despegar. A veces se utilizan márgenes de seguridad tan bajos como del 20 al 30 por ciento. Para vivir con tales factores, uno debe tener un conocimiento mucho más preciso de las fuerzas aerodinámicas, los modos naturales de vibración en el cuerpo y la distribución de la tensión de lo que necesitaría de otra manera. Por supuesto, también hay que tener muy buen control de los materiales y procesos que componen la estructura final. Sin embargo, esto simplemente ilustra el hecho común de que para aprovechar al máximo la tecnología mejorada, los avances en el aspecto teórico y en el físico deben ir de la mano. Las nuevas técnicas matemáticas, particularmente junto con las computadoras, se utilizan con frecuencia también en situaciones en las que los métodos "manuales" pasados ​​de moda serían demasiado lentos o laboriosos. Por ejemplo, el análisis de modelos matemáticos se utiliza ampliamente en la ingeniería civil moderna, un análisis hecho posible por la existencia de máquinas de computación a gran escala. La formulación matemática a menudo conduce a la programación lineal. La predicción de órbitas de satélites, guiadas y controladas, es otra actividad que implica una formulación matemática cuidadosa y cálculos numéricos extensos. Una vez que un programa computacional está bien diseñado, el trabajo es rutinario y

106 El estado de las ciencias matemáticas es repetitivo, pero la formulación original a menudo implica un conocimiento profundo, que sólo puede adquirirse mediante análisis matemático. El diseño de turbinas de gas es otro ejemplo del uso de computadoras. : La mecánica de fluidos, una de las áreas mejor establecidas de las matemáticas aplicadas, es importante en varios campos de la ingeniería. El ruido producido por los aviones a reacción y las ondas de choque asociadas con el vuelo supersónico deben entenderse en detalle antes de que se puedan sugerir soluciones y mejoras, y la inestabilidad de la combustión diseñada conduce a problemas críticos en el desarrollo de cohetes y al progreso sistemático en la minimización. Los efectos devastadores de los tornados no se pueden esperar hasta que la comprensión de la dinámica atmosférica haya mejorado considerablemente. El campo de la electrónica y las comunicaciones es particularmente rico en aplicaciones de las matemáticas. Algunos de estos son problemas representativos en otras disciplinas de la ingeniería. Por ejemplo, la teoría de circuitos agrupados, tanto lineales como no lineales, tiene muchos puntos de semejanza con áreas similares en mecánica. Para los medios continuos, muchos problemas en la teoría del campo electromagnético son al menos ampliamente similares a los problemas típicos de la mecánica de fluidos o la elasticidad. El diseño de antenas de radio, por ejemplo, puede basarse en efectos de interferencia de ondas similares a los que figuran en el diseño de aviones y barcos. De manera más general, el estudio de la propagación de señales de radio implica una variedad de problemas especiales que han desafiado a físicos matemáticos tan "aturdidos" como Sommerfeld ya grandes matemáticos como Hermann Weyl. En los últimos años, han surgido cuestiones matemáticas aún más complicadas en el estudio de los plasmas, un campo de importancia creciente en muchas áreas de la ingeniería eléctrica. Sin embargo, las aplicaciones más fundamentales de las matemáticas a la electrónica y las comunicaciones se encuentran en el nivel conceptual. Estos normalmente surgen de situaciones en las que las matemáticas ofrecen el mejor lenguaje para expresar tanto el problema de ingeniería original como el resultado final. Tales situaciones surgen porque la electricidad en sí misma es un intangible que difícilmente puede describirse excepto a través de las matemáticas, y porque los sistemas eléctricos son frecuentemente tan extensos y complicados que las consideraciones de regularidad y simplicidad matemáticas deben ser primordiales al diseñarlos. Quizás el ejemplo más elemental lo proporciona el concepto matemático de impedancia. Esto, aunque los ingenieros rara vez se dan cuenta, es estrictamente un artificio matemático, una cantidad `` imaginaria '' no física por medio de la cual las corrientes y tensiones reales en las que el ingeniero está finalmente interesado puede calcularse con

Ejemplos de matemáticas en uso 107 convenientemente. Su uso se convierte en una necesidad cuando nos ocupamos, como es habitual, de circuitos que contienen decenas o cientos de elementos. El uso de métodos de transformación, establecidos en la ingeniería de comunicaciones durante muchos años, proporciona otro ejemplo. Ningún ingeniero de comunicaciones podría manejar la variedad de señales que debe encontrar en la práctica sin la ayuda del concepto de espectro de frecuencias. En años más recientes, los conceptos de la lógica matemática se han convertido en una base importante para la conmutación y los circuitos de computadora. Sin embargo, el mejor ejemplo probablemente lo proporcione la teoría de la información. La identificación de la ingeniería de la comunicación y la lógica matemática como dos sistemas que se ocupan en gran medida de la manipulación de símbolos arbitrarios de acuerdo con reglas formales, hecho posible por la teoría de la información, amplió enormemente el horizonte del ingeniero de la comunicación y de un plumazo lo abrió vastas áreas de las matemáticas como fuente de ideas para cifrados y esquemas de codificación particulares. Puede suceder que el mismo objetivo de la ingeniería se cumpla mejor primero con una técnica física y luego con otra, generando nuevos problemas matemáticos a medida que evolucionan. Un ejemplo lo proporciona la topografía, que se remonta a la época clásica y puede ser considerada como generadora tanto de geometría como de trigonometría. Las técnicas básicas en este caso fueron, por supuesto, ópticas. Con la invención de otros instrumentos como el telescopio, el sextante y el cronómetro hace algunos siglos, y el mayor interés por la navegación precisa, surgieron problemas de la misma naturaleza aún más complicados. En los tiempos modernos la técnica básica es la electrónica, como la representan las redes de radio como LORAN o los satélites de navegación. Aquí las preguntas importantes giran en torno al análisis de la coherencia y otras características estadísticas de la señal. Problemas aún más complicados de análisis estadístico de señales se producen en relación con el estudio cotizado del sistema solar por medio de señales de radar que rebotan en los planetas más cercanos. Casi la situación inversa ocurre cuando varias ramas de la ingeniería pueden estar involucradas en un solo sistema. En este caso, el hecho de que todos puedan tratarse matemáticamente puede ser todo lo que mantiene unida la situación. Un ejemplo lo proporcionan los misiles, que por lo general involucran no sólo la aerodinámica y la mecánica estructural, sino también la química a través del sistema de propulsión y el revestimiento ablativo y la electrónica a través del equipo de control y guía. Todos pueden estar involucrados si, por ejemplo, se requiere el misil para ejecutar una maniobra violenta, y es solo el hecho de que todos están relativamente bien.

108 El Estado de las Ciencias Matemáticas entendido matemáticamente que permite diseñar el sistema en su conjunto. En general, los sistemas de ingeniería modernos son demasiado grandes, complejos y están integrados con precisión para ser diseñados mediante pruebas empíricas. Deben analizarse matemáticamente a fondo antes de la prueba para obtener una seguridad razonable de éxito. Estas diversas aplicaciones incluyen muchos hilos matemáticos unificadores, que merecen ser identificados como áreas de matemática aplicada que vale la pena estudiar por su propia cuenta. Una vez alcanzado este nivel básico, los conocimientos adquiridos se aplican a otras ramas de la tecnología. Así, los problemas de carga transitoria en los sistemas mecánicos se benefician de las técnicas desarrolladas originalmente para las comunicaciones, y los ingenieros químicos y aeronáuticos trabajan en los problemas del flujo sanguíneo y contribuyen al avance de la ciencia médica. UN EJEMPLO DE LAS CIENCIAS AMBIENTALES: PREDICCIÓN NUMÉRICA DEL TIEMPO Las ciencias ambientales incluyen ciencias de la tierra, oceanografía, ciencias atmosféricas, ciencias de las telecomunicaciones y aeronomía. Algunos de los problemas matemáticos más difíciles y sofisticados de las ciencias ambientales surgen de los esfuerzos por estudiar la atmósfera y los océanos por medio de modelos matemáticos en forma de sistemas de fluidos deterministas. Esto conduce a ecuaciones diferenciales parciales no lineales sujetas a condiciones iniciales y de frontera bastante generales. Los intentos más exitosos para tratar estos problemas han involucrado el uso de computadoras de alta velocidad. De especial importancia para el día a día son los métodos numéricos de predicción meteorológica que ahora se utilizan con regularidad. Los Centros Meteorológicos Nacionales proporcionan, operacionalmente, material de orientación a todos los servicios nacionales de predicción, así como a los servicios extranjeros, bajo los auspicios de las Naciones Unidas. El material de orientación consta de patrones meteorológicos y de viento a gran escala en todo el hemisferio norte. La base para esto es la solución numérica aproximada en grandes computadoras electrónicas de ecuaciones diferenciales parciales hidrodinámicas y termodinámicas que constituyen un modelo matemático para el comportamiento de la atmósfera. # De la Oficina Meteorológica, Administración de Servicios de Ciencias Ambientales, Departamento de Comercio de EE. UU. El Centro se estableció en 1954 en Suitland, Maryland, expresamente para la predicción numérica del tiempo.

Ejemplos de uso de las matemáticas 109 La idea general de la predicción matemática del tiempo data de los primeros años del siglo XX. Propuestas y experimentos pioneros detallados en predicción meteorológica a través de la solución aproximada de ecuaciones hidrodinámicas y termodinámicas relevantes se remontan al científico británico L. F. Richardsoni2 a principios de la década de 1920 & # 039. Los pronósticos de Richardson no tuvieron éxito, la razón más fundamental de esto fue su violación de un criterio de estabilidad entonces desconocido para los procesos numéricos en la solución de ecuaciones diferenciales parciales (descubierto en 1928 por Courant, Friedrichs y Lewy). Otra razón del fracaso de los pronósticos de Richardson & # 039s fue insos

cient data. No fue hasta la década de 1930 & # 039 y principios de la de 1940 & # 039 que las observaciones empíricas comenzaron a acercarse a la frecuencia y el detalle necesarios para los intentos exitosos de predicción del clima sobre una base matemática. En particular, la nueva red de observación en altitud desarrollada durante la década de 1930 y # 039 dilucidó la dinámica de la llamada corriente en chorro, un gran río de aire serpenteante, de cinco a ocho millas de altura y cientos de millas de ancho, que gira completamente alrededor del río. hemisferio norte en latitudes medias. La corriente en chorro, junto con importantes ideas de conservación de la vorticidad en su modelo matemático, se ha convertido en la clave para la predicción meteorológica a gran escala en el hemisferio norte. Una tercera dificultad que casi con certeza habría derrotado las propuestas originales de 1922 de Rich- ardson para la predicción numérica del tiempo fue la falta de muertes para la computación de alta velocidad en la intrincada y masiva escala necesaria. Había visualizado una "fábrica meteorológica" gigante con un personal estimado de 64.000 ordenadores humanos ocupados en la obtención de soluciones aproximadas para las ecuaciones diferenciales parciales apropiadas de hidrodinámica y termodinámica. Mirando hacia atrás, los expertos creen hoy que difícilmente habría sido posible organizar una operación de este tipo para producir pronósticos meteorológicos oportunos. Sin embargo, este es el tipo de tarea para la que la computadora electrónica moderna de alta velocidad está idealmente adaptada. Las primeras computadoras de este tipo aparecieron a fines de la década de 1940 y # 039.

110 La predicción meteorológica del estado de las ciencias matemáticas. Las ecuaciones relativamente simples que definen los primeros modelos para la atmósfera se han refinado y elaborado ampliamente. Los primeros modelos no mostraban ningún detalle de la estructura vertical de la atmósfera, sino más bien oralmente un promedio vertical de su movimiento. Sin embargo, a mediados de 1962, un sistema que permitía tres niveles verticales se había convertido en el principal modelo operativo del Centro Meteorológico Nacional. Este a su vez fue reemplazado, a mediados de 1966, por un modelo de seis niveles. Además, en los últimos 20 años se han logrado avances considerables en los métodos de análisis numérico utilizados en la predicción del tiempo. Sin embargo, muchos aspectos de las técnicas numéricas siguen siendo muy insatisfactorios, lo que impone graves limitaciones a los tipos de simulación que se pueden intentar. A menudo es difícil incluso distinguir entre las distorsiones introducidas por los métodos numéricos y las resultantes de deficiencias en el modelo matemático. Por lo tanto, el futuro seguirá presentando problemas desafiantes y espinosos en este campo. CIENCIAS MATEMÁTICAS EN ECONOMÍA La penetración explícita de las matemáticas no elementales en la economía comenzó hace aproximadamente un siglo con la introducción de tasas de cambio en términos de razones marginales y elasticidades. Durante muchas décadas, los economistas llevaron a cabo derivaciones con palabras o patrones gráficos en lugar de fórmulas. Estas derivaciones implicaban, por supuesto, cadenas de razonamiento simbólico y, por tanto, eran intrínsecamente matemáticas, aunque no siempre reconocidas como tales. El siglo XX ha sido testigo de un uso cada vez mayor de fórmulas y de resultados y teoremas matemáticos (véase el ensayo de Klein en la referencia 7

. Ha sido bastante cierto que aproximadamente la mitad de los artículos que aparecen en las principales revistas de economía habrían sido rechazados diez años antes como "demasiado matemáticos". Los usos anteriores de las matemáticas en economía se centraron en el uso del cálculo como un medio para describir las interrelaciones. . El énfasis cambió lentamente a problemas de maximización o minimización, originalmente de funciones de variación suave con pocas o ninguna restricción. Los problemas que se ocupan del comportamiento apropiado que ra- tional participantes `` '', `` '' o clientes deben ser asesorados para exhibir -se entremezclaron desde una fecha temprana con problemas relacionados con los efectos de los mecanismos ideales, como la libre competencia, en la distribución de bienes y servicios. Ambas clases de problemas implican optimizar

Ejemplos de asignación de recursos de Matemáticas en uso. Hoy en día, las matemáticas de la asignación, el control y la decisión optimizados, que se analizan en el capítulo 5, tienen muchas aplicaciones en economía, y tanto los economistas como los matemáticos contribuyen a ello. Junto a la economía matemática está el área muy activa de la econometría, en la que las herramientas estadísticas, muchas de ellas desarrolladas para tal fin, son fundamentales. También en este caso, tanto los economistas como los estadísticos están contribuyendo al desarrollo de nuevas técnicas y a una nueva comprensión de las antiguas. Como en tantas otras áreas, gran parte de la economía está casi revolucionada por la disponibilidad de sistemas informáticos modernos para almacenar y digerir cantidades de datos y resolver problemas complejos, ya sea directamente o por aproximación tentativa. Grandes áreas de la economía están ahora altamente matematizadas. Por ejemplo, existen teoremas matemáticos sobre la existencia de un equilibrio económico competitivo. El estudio de los ciclos económicos conduce a sistemas de ecuaciones diferenciales similares a los que ocurren en la dinámica de los sistemas físicos. De hecho, muchos de los economistas más respetados tienen una orientación matemática. Los economistas clave conocen la mayor parte de los detalles de la teoría de control moderna y lo que se sabe acerca de la estabilidad de los sistemas no lineales, por tomar dos ejemplos, al igual que todos los matemáticos menos los más especializados. Por lo tanto, no es sorprendente que la mayoría de los miembros del Consejo de Asesores Económicos del Presidente y su personal profesional hayan sido capacitados como economistas matemáticos. Recordamos también que l. M. Keynes, el padre de la economía moderna, se había formado como matemático. La educación en economía está ahora muy orientada a las matemáticas. En la mayoría de los departamentos principales de los Estados Unidos, todos los doctores en economía deben aprender cálculo, temas seleccionados en cálculo avanzado, los elementos de álgebra lineal y probabilidad, inferencia estadística y econometría. Como base para todos, esta es una variedad impresionante, especialmente en contraste con la situación hace una, dos o tres décadas. En muchos de los principales centros de posgrado, los cursos de matemáticas adicionales están reemplazando el requisito de un segundo idioma para los candidatos a doctorado. MATEMÁTICAS EN FINANZAS Y SEGUROS La gran mayoría de la humanidad utiliza las matemáticas elementales principalmente en el manejo del dinero. De hecho, el despertar de las matemáticas en Europa durante el Renacimiento coincide aproximadamente

112 El estado de las ciencias matemáticas con la transición de una economía de trueque a una economía monetaria. La difusión universal de la alfabetización matemática rudimentaria fue concomitante del desarrollo de esa economía. En un nivel más sofisticado, las matemáticas se utilizan en los seguros, en particular en los seguros de vida, que se remontan a finales del siglo XVI. Los métodos estadísticos se han desarrollado en parte como resultado de las necesidades de las compañías de seguros. Las tablas de mortalidad estuvieron entre las primeras tablas estadísticas publicadas. La profesión actuarial es un ejemplo típico de una tecnología completamente matematizada. El florecimiento de la estadística matemática en Escandinavia durante las últimas décadas fue sin duda sembrado por la preocupación escandinava por las matemáticas de los seguros. Una de las aplicaciones más interesantes de las matemáticas en el trabajo actuarial es la extracción de un conjunto de tasas de mortalidad a partir de datos observados y la sustitución de tasas que progresan suavemente por el conjunto irregular extraído. Este es el problema clásico de la graduación que ha sido atacado de muchas formas a lo largo de los años, más recientemente en el marco de un enfoque bayesiano. Entre los primeros métodos de graduación empleados por los actuarios se encuentran varias adaptaciones del ajuste de curvas. Posteriormente, se idearon varias fórmulas de compuestos lineales para producir tasas de progresión suave, juzgadas por la reducción del error en las terceras diferencias. En los últimos años, la fórmula de graduación más utilizada ha sido la basada en una ecuación de diferencias, que representa un compromiso entre suavidad y cercanía. En el último año, se han desarrollado nuevos métodos de graduación como un problema en la estimación estadística directa de un gran conjunto de tasas de mortalidad simultáneamente, procediendo, sin embargo, de una distribución previa de las tasas & quot verdaderas & quot basadas en la probabilidad personal y haciendo uso del teorema de Bayes & # 039. Otro tipo de problema lo ilustran diversas elaboraciones de la teoría del riesgo, que se ha desarrollado como un caso especial de la teoría de los procesos estocásticos. La llamada "teoría del riesgo colectivo" centra la atención en las distribuciones de los reclamos totales de una compañía de seguros al final de un período de tiempo específico, de modo que se pueda hacer un juicio razonable sobre los límites apropiados de retención o los límites de las fluctuaciones adversas aceptables.Estos son conceptos esenciales. · - S1C .eratlOIlS en relnSUranCe. La teoría colectiva del riesgo fue desarrollada por varios actuarios escandinavos (en particular F. Lundberg, H. Cramer y CO Segerdahl) para investigar las operaciones de las compañías de seguros desde un punto de vista probabilístico o, de manera más realista, el surgimiento de ganancias en un empresa de riesgo. El modelo básico considera la distribución de

Ejemplos de uso de las matemáticas

3 reclamaciones totales de una empresa de riesgo como compuesto de dos elementos - frecuencia y gravedad, la distribución resultante de reclamaciones totales puede considerarse como un proceso estocástico estacionario con incrementos independientes y como un proceso de Poisson compuesto. En los últimos años, los supuestos fundamentales de la teoría, y por lo tanto su rango de aplicación, se han ampliado significativamente mediante el uso de modelos de probabilidad más generales que permiten ciertos tipos de fluctuaciones en las probabilidades básicas. La distribución exacta de los siniestros totales de una compañía de seguros se ha estudiado analíticamente para una variedad de supuestos. Se han desarrollado ingeniosas aproximaciones numéricas y se han realizado estudios analítico-numéricos más amplios más recientes de las distribuciones totales de reclamaciones, apoyándose ampliamente en la computadora. slmu atlon. LAS MATEMÁTICAS EN LA GESTIÓN Y LAS OPERACIONES Durante la Segunda Guerra Mundial, el uso de modelos matemáticos simples y el pensamiento matemático para estudiar la conducción de las operaciones militares se convirtió en un arte reconocido, ya que los primeros científicos y matemáticos posteriores, abogados y personas con otros antecedentes demostraron su eficacia. . Después de la guerra, los intentos de aplicar las mismas actitudes y enfoques a las operaciones comerciales e industriales y la gestión se llevaron a cabo con bastante éxito. Combinada con técnicas y pensamientos extraídos de, o sugeridos por, la economía clásica, esta línea de desarrollo ha llevado ahora a un campo activo sobre cuyos nombres EIoward Raiffa de la Universidad de Harvard ha observado: Algunos nombres que se usan más o menos indistintamente son: ciencia, análisis de operaciones, investigación de operaciones, análisis de decisiones, análisis de sistemas, análisis de costo-beneficio, programación matemática (bajo certeza e incertidumbre), decisión y control, teoría de optimización, teoría de control, matemáticas aplicadas II (el número romano I está reservado para física matemática y astronomía). Por supuesto, los investigadores y profesionales de estas áreas podrían argumentar de manera persuasiva que su título es el más apropiado y que lo que hacen es algo más amplio que lo que hacen los demás. Cualquiera que sea el título, el sabor de lo que se hace es el mismo, combinando el uso de datos numéricos sobre la experiencia operativa tan característico de las primeras aplicaciones militares con modelos matemáticos para proporcionar una guía para la acción y el juicio gerenciales. Este campo fue creado por científicos acostumbrados al uso de mathe

114 El estado de las ciencias matemáticas Tanto su espíritu como sus técnicas siempre han sido de carácter completamente matemático. Este enfoque matemático está penetrando constantemente en la práctica de la gestión y la operación. Varias de las principales escuelas de administración de empresas han llegado a la conclusión de que las matemáticas son importantes como herramienta y como lenguaje para la gestión, y que la formación para la clase profesional de directores debe incluir una dosis sustancial de este campo de muchos nombres. Por lo tanto, el cálculo, el álgebra lineal y la programación de computadoras deben ser requisitos previos para ingresar o deben tomarse al principio del programa de capacitación de posgrado. En una escuela de negocios líder (Harvard), que no está `` orientada matemáticamente '' y donde no se imponen tales requisitos, alrededor del 75 por ciento de los estudiantes que ingresan tienen al menos dos años de matemáticas universitarias, varios cursos electivos que requieren ese grado de sofisticación matemática son dado, y hay un grupo considerable de miembros de la facultad que tienen un doctorado en matemáticas o matemáticas aplicadas. Este campo está omnipresente matematizado e informatizado, pero está lejos de ser una ciencia estrictamente matemática. El patrón de sus problemas se describe frecuentemente como formular el problema, construir un modelo matemático, derivar una solución del modelo, probar el modelo y la solución, establecer el control sobre la solución e implementar la solución. Solo uno de los seis pasos es completamente matemático, los otros involucran el problema real de manera esencial. En estos otros pasos, por supuesto, hay muchas aplicaciones, algunas de ellas cruciales, de la estadística y la informática. El paso matemático, especialmente cuando se trata de problemas de gestión en lugar de operativos, a menudo se basa en conceptos y resulta en el campo de la asignación, el control y la decisión optimizados. Un buen practicante combina las características de la mayoría de la consultoría profesional y de la aplicación más efectiva de las matemáticas: abundante sentido común, disposición para producir medias respuestas en media hora, reconocimiento de sus roles clave como formulador de problemas y contribuyente a largo plazo. beneficios (en lugar de como solucionador de problemas o investigador). Sin embargo, a pesar de todo esto, y en un entorno extraño, debe conservar su habilidad como matemático. OBSERVACIONES FINALES Hemos abordado sólo algunos de los usos de los métodos matemáticos en disciplinas ajenas a las ciencias matemáticas propiamente dichas. La

El número de casos en uso aumenta constantemente, y las líneas divisorias entre las ciencias matemáticas y las ciencias que usan las matemáticas son a menudo difíciles de trazar. El uso cada vez mayor de métodos matemáticos en las ciencias biológicas se señaló anteriormente en la sección sobre La matemática de la cultura (ver página 3

y el ensayo de Hirsh Cohen en la referencia 7 analiza con más detalle una variedad de aplicaciones biomédicas de las matemáticas. Una compilación de 1967 de Thrall et al.

4 proporciona una amplia ilustración adicional de las aplicaciones de los modelos matemáticos en biología. Una omisión importante en nuestra discusión es el floreciente campo de la psicología matemática. En la referencia 13. Otro ejemplo importante de la penetración de los métodos matemáticos en áreas hasta ahora no matemáticas se encuentra en la ciencia joven de la lingüística matemática, que aplica métodos matemáticos y la forma matemática de pensar para el estudio de lenguas vivas. (Véase, por ejemplo, el ensayo de Harris en la referencia 7.) Todos los grandes bienes generan pequeños males. Cada nueva y poderosa herramienta se usa mal y sabiamente. Esto es cierto en el caso de la impresión y la potencia mecánica cuando estas herramientas eran nuevas. Hoy en día, en cualquier esfuerzo en el que las matemáticas, la estadística o la computación sean nuevas, habrá quienes utilicen estas herramientas sin avisar, como un medio de persuasión cuando la evidencia es incompleta o incluso incorrecta, o como un medio para "bendecir" conclusiones que no lo hacen. no merece apoyo. Todos los campos que ahora están bien matematizados o bien estadísticos o computarizados han sufrido estas dificultades. Los que están en proceso ahora, o los que estarán en proceso en un futuro próximo, también tendrán que sufrir. Tales dificultades a menudo ralentizan la incorporación de las matemáticas, la estadística o la informática en el corazón de un nuevo campo de aplicación. Estos retrasos son, nosotros

116 El estado de las ciencias matemáticas manipulaciones formales o numéricas, lo que probablemente se puede descuidar y lo que seguramente es insignificante. No es fácil enseñar estas cosas de manera explícita; por lo general, se aprenden mediante la experiencia en la práctica y, por lo tanto, dependen de al menos alguna facilidad con las manipulaciones en cuestión.


44.3: Ejemplos - Matemáticas

Illinois J. Math. 44 (3), 453-464, (Otoño de 2000) DOI: 10.1215 / ijm / 1256060407

PALABRAS CLAVE: 20F65, 11B99, 52C23

En el ring $ mathbf[ frac <1+ sqrt <5>> <2>] $, existe una técnica de subdivisión natural análoga a la subdivisión regular en anillos algebraicos racionales como $ mathbf[ frac <1> <2>] $. Las propiedades de este proceso de subdivisión se desarrollan utilizando la matriz asociada al mosaico de sustitución de Fibonacci. Estas propiedades se aplican para probar algunas propiedades de finitud para un grupo discreto de homeomorfismos lineales por partes.

Illinois J. Math. 44 (3), 465-478, (Otoño de 2000) DOI: 10.1215 / ijm / 1256060408

PALABRAS CLAVE: 37B10, 37B40, 37E05

Comenzamos un estudio sistemático de los sistemas dinámicos isométricos por tramos euclidianos (p.i.d.s.) con un enfoque particular en la interacción entre la geometría, la dinámica simbólica y el grupo de isometrías asociadas con p.i.d.s. Investigamos varios aspectos de la información dinámica contenida en la codificación: el crecimiento simbólico y el comportamiento periódico de codificaciones y celdas. Esta investigación teórica está motivada por los muchos ejemplos de sistemas dinámicos isométricos por partes que se encuentran recientemente en la literatura. Los sistemas dinámicos isométricos por partes son generalizaciones directas de transformaciones de intercambio de intervalo a mapas dimensionales superiores no invertibles.

Illinois J. Math. 44 (3), 479-495, (Otoño de 2000) DOI: 10.1215 / ijm / 1256060409

Sea $ M $ un colector de $ 4 $ cerrado y orientado con $ b ^ < pm> _ <2> gt 0 $. En este artículo mostramos que el espacio de formas $ 2 $ intrínsecamente armónicas transversales en una clase de cohomología fija está abierto en el espacio de formas $ 2 $ cerradas, sujeto a una condición que surge de consideraciones cohomológicas de un ideal diferencial singular.

Illinois J. Math. 44 (3), 496-515, (Otoño de 2000) DOI: 10.1215 / ijm / 1256060410

Consideramos operadores $ T ^ < delta> $ asociados con una altura localizada de multiplicadores de cono. Se muestra que $ T ^ < delta> $ es de tipo débil $ (p, p) $ para las funciones de la forma $ f (x, t) = g (| x |, t) $ si $ p = 2n / (n + 1 + 2 delta) $, lt delta lt (n- 1) / 2 $.

Illinois J. Math. 44 (3), 516-519, (Otoño de 2000) DOI: 10.1215 / ijm / 1256060411

PALABRAS CLAVE: 37E10, 37A35, 37C15, 37F15

En [6], Shub y Sullivan plantearon el problema de encontrar invariantes teóricos de medida completa para la medida analítica de Lebesgue preservando los endomorfismos en expansión de $ S ^ <1> $. En [2], el autor dio las condiciones necesarias y suficientes para que dos de esos endomorfismos sean isomorfos. Estos invariantes completos eran una mezcla de naturaleza topológica y teórica de medidas. Establecerlos requirió encontrar una ecuación de co-frontera sin un método de construcción obvio. En esta nota usamos un resultado de Arteaga para proporcionar un conjunto diferente de invariantes de isomorfismo completo, todavía de naturaleza mixta topológica y teórica de medidas, pero mucho más fácilmente comprobable que los establecidos en [2].

Illinois J. Math. 44 (3), 520-530, (otoño de 2000) DOI: 10.1215 / ijm / 1256060412

PALABRAS CLAVE: 37F10, 30D05, 37F50

Sea $ f $ una función meromórfica trascendental y sea $ U $ un dominio errante de $ f $. Bajo algunas condiciones, probamos que una función límite finita de $ <>> $ en $ U $ está en el conjunto derivado de la órbita directa del conjunto sing $ (f ^ <-1>) $ de singularidades de la función inversa de $ f $. La existencia de $ <>> $ tal que $ f ^>|_$ tiende a $ infty $ también se considera cuando $ f $ está completo. Sin embargo, si sing $ (f ^ <-l>) $ está acotado, mostramos que $ <>(z) > _^ infty $ en $ F (f) $ no tiende a $ infty $.

Illinois J. Math. 44 (3), 531-541, (Otoño de 2000) DOI: 10.1215 / ijm / 1256060413

Investigamos las resoluciones libres mínimas de los módulos cíclicos $ R / I $, donde $ I $ es una intersección casi completa en el anillo local $ R $. Nuestros resultados se refieren a varios límites binomiales inferiores para los números de Betti de la resolución. Por ejemplo, mostramos que la suma de los números Betti es al menos $ 2 ^$ donde $ d $ es la dimensión de $ R $.

Illinois J. Math. 44 (3), 542-550, (otoño de 2000) DOI: 10.1215 / ijm / 1256060414

PALABRAS CLAVE: 52C22, 41A65, 42B05, 46E30

Una conjetura de Fuglede establece que un conjunto medible acotado $ Omega subset mathbb^$, de medida 1, puede enlosar $ mathbb^$ por traducciones si y solo si el espacio de Hilbert $ L ^ <2> ( Omega) $ tiene una base ortonormal que consta de exponenciales $ e _ < lambda> (x) = exp 2 pi i langle lambda, x rangle $. Si $ Omega $ tiene la última propiedad, se llama espectral. Generalizamos un resultado de Fuglede, que un triángulo en el plano no es espectral, lo que demuestra que todo dominio convexo no simétrico en $ mathbb^$ no es espectral.

Illinois J. Math. 44 (3), 551-555, (Otoño de 2000) DOI: 10.1215 / ijm / 1256060415

PALABRAS CLAVE: 30D20, 30D35, 42A50

Si $ f $ es un producto canónico con solo ceros negativos reales y orden no integral $ rho, n (t, 0) $ es la función de conteo de cero, y $ B (r, f) = mathrm_ <0 lt theta lt pi> | log f (re ^) | $, luego $ r ^ <-q-1> B (r, f) leq pi + int_ <0> ^ < infty> < frac < varphi (t) dt>>, $ donde $ varphi (t) = t ^ <-q-1> n (t, 0) $, $ H $ es el operador de transformación de Hilbert y $ M $ es el operador máximo de Hardy-Littlewood.

Illinois J. Math. 44 (3), 556-573, (Otoño de 2000) DOI: 10.1215 / ijm / 1256060416

PALABRAS CLAVE: 58J35, 35B45, 35K05

Establecemos límites globales para el núcleo de calor de los operadores de Schrödinger $ - Delta + V $ donde $ V $ es un cierto potencial de largo alcance. Como consecuencia, encontramos algunas condiciones para que el núcleo de calor tenga un límite superior e inferior gaussiano global. Algunas de las condiciones son agudas si el potencial no cambia de signo. También proporcionamos un teorema de Liouville generalizado para operadores de Schrödinger y una versión refinada de la fórmula de trazas de Sa Barreto y Zworski [SZ].

Illinois J. Math. 44 (3), 574-592, (Otoño de 2000) DOI: 10.1215 / ijm / 1256060417

PALABRAS CLAVE: 42B20, 42B15, 42B30

Damos una condición necesaria y suficiente para que una función integrable con soporte compacto con valor medio cero en la línea esté en el espacio Hardy $ H ^ <1> ( mathbf^ <1>) $. Como corolario, obtenemos una nueva caracterización de $ H ^ <1> ( mathbf^ <1>) $ y $ p $ independencia del espectro de operadores homogéneos de Calderón-Zygmund.

Illinois J. Math. 44 (3), 593-601, (Otoño de 2000) DOI: 10.1215 / ijm / 1256060418

En este artículo tratamos una ecuación diferencial lineal con coeficientes doblemente periódicos. Examinamos las propiedades de distribución de valor de las soluciones meromórficas. Se presentan algunos ejemplos para ilustrar nuestros resultados.

Illinois J. Math. 44 (3), 602-618, (Otoño de 2000) DOI: 10.1215 / ijm / 1256060419

Estudiamos las posibles dimensiones de los grupos de automorfismos holomórficos de dominios de Reinhardt hiperbólicos. Estamos particularmente interesados ​​en el problema de caracterizar los dominios de Reinhardt con un grupo de automorfismo de dimensión prescrita.

Illinois J. Math. 44 (3), 619-632, (Otoño de 2000) DOI: 10.1215 / ijm / 1256060420

Illinois J. Math. 44 (3), 633-643, (Otoño de 2000) DOI: 10.1215 / ijm / 1256060421

PALABRAS CLAVE: 11C08, 11R09, 12E05

Sean $ f (x) $ y $ g (x) $ dos polinomios relativamente primos que tienen coeficientes enteros con $ g (0) neq 0 $. Los autores muestran que hay un $ N = N (f, g) $ tal que si $ n geq N $, entonces la parte no recíproca del polinomio $ f (x) x ^+ g (x) $ es irreducible o idénticamente 1 o $ -1 $ con ciertas excepciones claras que surgen de un teorema de Capelli. Una versión de este resultado se debe originalmente a Andrzej Schinzel. El presente documento ofrece un nuevo enfoque que permite una estimación mejorada del valor de $ N $.

Illinois J. Math. 44 (3), 644-666, (otoño de 2000) DOI: 10.1215 / ijm / 1256060422

PALABRAS CLAVE: 11S40, 14F99, 55N30, 55N35, 57R19

Introducimos una teoría de homología con soportes y con coeficientes en un haz. Tiene una descripción muy explícita de las cadenas en términos de una triangulación de un espacio ambiental, lo que hace que la teoría sea útil para propósitos de integración. Demostramos un teorema de dualidad de Poincaré que establece que nuestros módulos de homología son isomorfos a los módulos clásicos de cohomología de gavilla con soportes. Este teorema es un ingrediente principal en la demostración de un criterio sobre la desaparición de integrales de valor principal real en términos de cohomología. Explicamos brevemente cómo las integrales de valor principal real aparecen como residuos de polos de distribuciones $ | f | ^$ y como coeficientes de expansiones asintóticas de integrales oscilantes.


Ejemplo: nueva bicicleta deportiva

¡Has diseñado un nuevo estilo de bicicleta deportiva!

Ahora quiere hacer muchos de ellos y venderlos con fines de lucro.

Tu costos van a ser:

Basado en bicicletas similares, puede esperar Ventas para seguir esta "curva de demanda":

Por ejemplo, si establece el precio:

  • a

    Ejemplo: crucero por el río

    Un crucero por el río de 3 horas recorre 15 km río arriba y luego regresa. El río tiene una corriente de 2 km por hora. ¿Cuál es la velocidad del barco y cuánto duró el viaje río arriba?

    Hay dos velocidades en las que pensar: la velocidad que hace el barco en el agua y la velocidad relativa a la tierra:

    • Dejar X = velocidad del barco en el agua (km / h)
    • Dejar v = la velocidad relativa a la tierra (km / h)

    Debido a que el río fluye río abajo a 2 km / h:

    • al ir río arriba, v = x − 2 (su velocidad se reduce en 2 km / h)
    • al ir río abajo, v = x + 2 (su velocidad aumenta en 2 km / h)

    Podemos convertir esas velocidades en tiempos usando:

    (viajar 8 km a 4 km / h toma 8/4 = 2 horas, ¿verdad?)

    Y sabemos que el tiempo total es de 3 horas:

    tiempo total = tiempo aguas arriba + tiempo aguas abajo = 3 horas

    tiempo total = 15 / (x − 2) + 15 / (x + 2) = 3 horas

    Ahora usamos nuestras habilidades de álgebra para resolver para "x".

    Primero, deshazte de las fracciones multiplicando por (x-2)(x + 2):

    Lleva todo a la izquierda y simplifica:

    ¡Es una ecuación cuadrática! Resolvámoslo usando la fórmula cuadrática:

    Dónde a, B y C son del
    Ecuación cuadrática en "forma estándar": ax 2 + bx + c = 0

    , solo regalas 70.000 bicicletas
  • a $ 350, no venderás bicicletas en absoluto
  • a $ 300 podrías vender 70,000 − 200×300 = 10,000 bicicletas

Entonces . cual es el mejor precio? ¿Y cuántos deberías hacer?

¡Hagamos algunas ecuaciones!

La cantidad que vende depende del precio, así que use "P" para el precio como variable

  • Ventas unitarias = 70,000 - 200P
  • Ventas en dólares = Unidades × Precio = (70,000 - 200P) × P = 70,000P - 200P 2
  • Costos = 700,000 + 110 x (70,000 - 200P) = 700,000 + 7,700,000 - 22,000P = 8,400,000 - 22,000P
  • Beneficio = Costos de ventas = 70,000P - 200P 2 - (8,400,000 - 22,000P) = −200P 2 + 92,000P - 8,400,000

Beneficio = −200P 2 + 92,000P - 8,400,000

Sí, una ecuación cuadrática. Resolvamos este completando el cuadrado.

Resolver: −200P 2 + 92,000P - 8,400,000 = 0

Paso 1 Dividir todos los términos por -200

Paso 2 Mover el término numérico al lado derecho de la ecuación:

Paso 3 Complete el cuadrado en el lado izquierdo de la ecuación y equilibre esto agregando el mismo número al lado derecho de la ecuación:

(b / 2) 2 = (−460/2) 2 = (−230) 2 = 52900

Paso 4 Saca la raíz cuadrada en ambos lados de la ecuación:

Paso 5 Reste (-230) de ambos lados (en otras palabras, sume 230):

Que nos dice eso? Dice que la ganancia es CERO cuando el precio es $ 126 o $ 334

Pero queremos conocer el beneficio máximo, ¿no es así?

¡Está exactamente a mitad de camino! A $ 230


Beneficio = −200P 2 + 92,000P - 8,400,000

El mejor precio de venta es $230y puedes esperar:

  • Ventas unitarias = 70,000 - 200 x 230 = 24,000
  • Ventas en dólares = $ 230 x 24,000 = $ 5,520,000
  • Costos = 700,000 + $ 110 x 24,000 = $ 3,340,000
  • Beneficio = $ 5,520,000 - $ 3,340,000 = $2,180,000

Una empresa muy rentable.


Prefacio a la primera edición ix

Prefacio a la segunda edición xiii

Prefacio a la tercera edición xv

1 Trasfondo matemático 3

1.2 Funciones y límites 7

1.3 Medidas y distribuciones de masa 11

1.4 Notas sobre la teoría de la probabilidad 17

1.5 Notas y referencias 24

2 Dimensión de recuento de cajas 27

2.1 Dimensiones del recuento de cajas 27

2.2 Propiedades y problemas de la dimensión de recuento de cajas 34

* 2.3 Dimensiones modificadas del recuento de cajas 38

2.4 Algunas otras definiciones de dimensión 40

2.5 Notas y referencias 41

3 Hausdorff y medidas y dimensiones de embalaje 44

3.2 dimensión de Hausdorff 47

3.3 Cálculo de la dimensión de Hausdorff & # 8211 ejemplos simples 51

3.4 Definiciones equivalentes de la dimensión de Hausdorff 53

* 3.5 Medidas y dimensiones del embalaje 54

* 3.6 Definiciones más precisas de la dimensión 57

3.9 Notas y referencias 63

4 Técnicas para calcular dimensiones 66

4.2 Subconjuntos de medida finita 75

4.3 Métodos teóricos potenciales 77

* 4.4 Métodos de transformada de Fourier 80

4.5 Notas y referencias 81

5 Estructura local de fractales 83

5.4 Notas y referencias 96

6 Proyecciones de fractales 98

6.1 Proyecciones de conjuntos arbitrarios 98

6.2 Proyecciones de conjuntos s de dimensión integral 101

6.3 Proyecciones de conjuntos arbitrarios de dimensión integral 103

6.4 Notas y referencias 105

7 Productos de fractales 108

7.2 Notas y referencias 116

8 Intersecciones de fractales 118

8.1 Fórmulas de intersección para fractales 119

* 8.2 Conjuntos con gran intersección 122

8.3 Notas y referencias 128

PARTE II APLICACIONES Y EJEMPLOS 131

9 Sistemas de función iterada & # 8211 conjuntos auto-similares y auto-afines 133

9.1 Sistemas de funciones iteradas 133

9.2 Dimensiones de conjuntos auto-similares 139

9.5 Aplicaciones para codificar imágenes 155

* 9.6 Funciones Zeta y dimensiones complejas 158

9.7 Notas y referencias 167

10 ejemplos de la teoría de números 169

10.1 Distribución de dígitos de números 169

10.2 Fracciones continuas 171

10.3 Aproximación diofántica 172

10.4 Notas y referencias 176

11 Gráficas de funciones 178

11.1 Dimensiones de los gráficos 178

* 11.2 Autocorrelación de funciones fractales 188

11.3 Notas y referencias 192

12 Ejemplos de matemáticas puras 195

12.1 La dualidad y el problema de Kakeya 195

12.2 Conjetura de Vitushkin & # 8217s 198

12.4 Grupos y anillos fractales 201

12.5 Notas y referencias 204

13 Sistemas dinámicos 206

13.1 Repelentes y sistemas de funciones iteradas 208

13.3 Transformaciones de estiramiento y plegado 213

13.5 Sistemas dinámicos continuos 220

* 13.6 Teoría de divisores pequeños 225

* 13.7 Exponentes y entropías de Lyapunov 228

13.8 Notas y referencias 231

14 Iteración de funciones complejas & # 8211 Conjuntos de Julia y conjunto de Mandelbrot 235

14.1 Teoría general de los conjuntos de Julia 235

14.2 Funciones cuadráticas & # 8211 el conjunto de Mandelbrot 243

14.3 Conjuntos de Julia de funciones cuadráticas 248

14.4 Caracterización de cuasicírculos por dimensión 256

14.5 Método de Newton & # 8217s para resolver ecuaciones polinomiales 258

14.6 Notas y referencias 262

15 fractales aleatorios 265

15.1 Un conjunto Cantor aleatorio 266

15.2 Percolación fractal 272

15.3 Notas y referencias 277

16 Movimiento browniano y superficies brownianas 279

16.1 Movimiento browniano en & # 8477 279

16.2 Movimiento browniano en & # 8477n 285

16.3 Movimiento browniano fraccional 289

16.4 Superficies brownianas fraccionales 294

16.5 Procesos estables L & # 233vy 296

16.6 Notas y referencias 299

17 Medidas multifractales 301

17.1 Análisis multifractal grueso 302

17.2 Análisis multifractal fino 307

17.3 Multifractales auto-similares 310

17.4 Notas y referencias 320

18 Aplicaciones físicas 323

18.1 Digitación fractal 325

18.2 Singularidades de potenciales electrostáticos y gravitacionales 330

18.3 Dinámica de fluidos y turbulencia 332

18.5 Fractales en finanzas 336

18.6 Notas y referencias 340


Números positivos y negativos

Los números positivos son cualquier número mayor que cero, por ejemplo: 1, 2.9, 3.14159, 40000 y 0.0005. Para cada número positivo, hay un número negativo que es su opuesto. Escribimos el opuesto de un número positivo con un signo negativo o menos delante del número, y llamamos a estos números números negativos. Los opuestos de los números en la lista anterior serían: -1, -2.9, -3.14159, -40000 y -0.0005. Los números negativos son menores que cero (vea la recta numérica para una explicación más completa de esto). De manera similar, el opuesto de cualquier número negativo es un número positivo. Por ejemplo, el opuesto de -12,3 es 12,3.
No consideramos que el cero sea un número positivo o negativo.
La suma de cualquier número y su opuesto es 0.
La firmar de un número se refiere a si el número es positivo o negativo, por ejemplo, el signo de -3.2 es negativo y el signo de 442 es positivo.
También podemos escribir números positivos y negativos como fracciones o números mixtos.

Las siguientes fracciones son todas iguales:

Los siguientes números mixtos son todos iguales:

La recta numérica

La recta numérica es una recta etiquetada con números positivos y negativos en orden creciente de izquierda a derecha, que se extiende en ambas direcciones. La recta numérica que se muestra a continuación es solo una pequeña parte de la recta numérica de -4 a 4.

Para dos lugares diferentes en la recta numérica, el número de la derecha es mayor que el número de la izquierda.

4 & gt -2, 1 & gt -0,5, -2 & gt -4 y 0 & gt -15

Valor absoluto de números positivos y negativos

El número de unidades que un número es desde cero en la recta numérica. El valor absoluto de un número es siempre un número positivo (o cero). Especificamos el valor absoluto de un número norte escribiendo norte entre dos barras verticales: | norte |.

Sumar números positivos y negativos

1) Al sumar números del mismo signo, sumamos sus valores absolutos y le damos al resultado el mismo signo.

2 + 5.7 = 7.7
(-7.3) + (-2.1) = -(7.3 + 2.1) = -9.4
(-100) + (-0.05) = -(100 + 0.05) = -100.05

2) Al sumar números de los signos opuestos, tomamos sus valores absolutos, restamos el menor del mayor y damos al resultado el signo del número con el valor absoluto mayor.

7 + (-3.4) = ?
Los valores absolutos de 7 y -3,4 son 7 y 3,4. Restar el menor del mayor da 7 - 3.4 = 3.6, y dado que el valor absoluto mayor fue 7, le damos al resultado el mismo signo que 7, por lo que 7 + (-3.4) = 3.6.

8.5 + (-17) = ?
Los valores absolutos de 8.5 y -17 son 8.5 y 17. Restando el menor del mayor da 17 - 8.5 = 8.5, y dado que el valor absoluto mayor fue 17, le damos al resultado el mismo signo que -17, entonces 8.5 + ( -17) = -8,5.

-2.2 + 1.1 = ?
Los valores absolutos de -2,2 y 1,1 son 2,2 y 1,1. Restar lo más pequeño de lo más grande da 2.2 - 1.1 = 1.1, y dado que el valor absoluto más grande fue 2.2, le damos al resultado el mismo signo que -2.2, entonces -2.2 + 1.1 = -1.1.

6.93 + (-6.93) = ?
Los valores absolutos de 6,93 y -6,93 son 6,93 y 6,93. Restar el menor del mayor da 6,93 - 6,93 = 0. El signo en este caso no importa, ya que 0 y -0 son lo mismo. Tenga en cuenta que 6,93 y -6,93 son números opuestos. Todos los números opuestos tienen la propiedad de que su suma es igual a cero. Dos números que suman cero también se denominan inversos aditivos.

Restar números positivos y negativos

Restar un número es lo mismo que sumar su opuesto.

En los siguientes ejemplos, convertimos el número restado a su opuesto y sumamos los dos números.
7 - 4.4 = 7 + (-4.4) = 2.6
22.7 - (-5) = 22.7 + (5) = 27.7
-8.9 - 1.7 = -8.9 + (-1.7) = -10.6
-6 - (-100.6) = -6 + (100.6) = 94.6

Tenga en cuenta que el resultado de restar dos números puede ser positivo o negativo, o 0.

Multiplicar números positivos y negativos

Para multiplicar un par de números si ambos tienen el mismo signo, su producto es el producto de sus valores absolutos (su producto es positivo). Si los números tienen signos opuestos, su producto es el opuesto del producto de sus valores absolutos (su producto es negativo). Si uno o ambos números es 0, el producto es 0.

En el producto a continuación, ambos números son positivos, por lo que solo tomamos su producto.
0.5 × 3 = 1.5

En el producto a continuación, ambos números son negativos, por lo que tomamos el producto de sus valores absolutos.
(-1.1) × (-5) = |-1.1| × |-5| = 1.1 × 5 = 5.5

En el producto de (-3) × 0,7, el primer número es negativo y el segundo es positivo, por lo que tomamos el producto de sus valores absolutos, que es | -3 | × | 0,7 | = 3 × 0.7 = 2.1, y dale a este resultado un signo negativo: -2.1, entonces (-3) × 0.7 = -2.1

En el producto de 21 × (-3,1), el primer número es positivo y el segundo es negativo, por lo que tomamos el producto de sus valores absolutos, que es | 21 | × | -3,1 | = 21 × 3,1 = 65,1, y dale a este resultado un signo negativo: -65,1, entonces 21 × (-3,1) = -65,1.

Para multiplicar cualquier número de números:

1. Cuente el número de números negativos en el producto.
2. Tome el producto de sus valores absolutos.
3. Si el número de números negativos contados en el paso 1 es par, el producto es solo el producto del paso 2, si el número de números negativos es impar, el producto es el opuesto del producto del paso 2 (dé el producto en paso 2 un signo negativo). Si alguno de los números del producto es 0, el producto es 0.

2 × (-1.1) × 5 (-1.2) × (-9) = ?
Contando el número de números negativos en el producto, vemos que hay 3 números negativos: -1,1, -1,2 y -9. A continuación, tomamos el producto de los valores absolutos de cada número: 2 × | -1,1 | × 5 × | -1,2 | × | -9 | = 2 × 1,1 × 5 × 1,2 × 9 = 118,8
Como había un número impar de números, el producto es el opuesto de 118,8, que es -118,8, por lo que 2 × (-1,1) × 5 (-1,2) × (-9) = -118,8.

División de números positivos y negativos

Para dividir un par de números si ambos tienen el mismo signo, divida el valor absoluto del primer número por el valor absoluto del segundo número.
Para dividir un par de números si ambos tienen signos diferentes, divida el valor absoluto del primer número por el valor absoluto del segundo número y dé a este resultado un signo negativo.

En la siguiente división, ambos números son positivos, por lo que dividimos como de costumbre.
7 ÷ 2 = 3.5

En la siguiente división, ambos números son negativos, por lo que dividimos el valor absoluto del primero por el valor absoluto del segundo.
(-2.4) ÷ (-3) = |-2.4| ÷ |-3| = 2.4 ÷ 3 = 0.8

En la división (-1) ÷ 2.5, ambos números tienen signos diferentes, por lo que dividimos el valor absoluto del primer número por el valor absoluto del segundo, que es | -1 | ÷ | 2.5 | = 1 ÷ 2.5 = 0.4, y dé a este resultado un signo negativo: -0.4, entonces (-1) ÷ 2.5 = -0.4.

En la división 9,8 ÷ (-0,7), ambos números tienen signos diferentes, por lo que dividimos el valor absoluto del primer número por el valor absoluto del segundo, que es | 9,8 | ÷ | -0,7 | = 9,8 ÷ 0,7 = 14, y dale a este resultado un signo negativo: -14, por lo que 9,8 ÷ (-0,7) = -14.

Coordenadas

Las coordenadas numéricas son pares de números que se utilizan para determinar puntos en una cuadrícula, en relación con un punto especial llamado origen. El origen tiene coordenadas (0,0). Podemos pensar en el origen como el centro de la cuadrícula o el punto de partida para encontrar todos los demás puntos. Cualquier otro punto de la cuadrícula tiene un par de coordenadas (x, y). El valor x o la coordenada x indica cuántos pasos a la izquierda o la derecha está el punto desde el punto (0,0), al igual que en la recta numérica (el negativo está a la izquierda del origen, el positivo está a la derecha del origen). El valor y o la coordenada y indica cuántos pasos hacia arriba o hacia abajo está el punto desde el punto (0,0), (lo negativo es hacia abajo desde el origen, lo positivo es hacia arriba desde el origen). Usando coordenadas, podemos dar la ubicación de cualquier punto en la cuadrícula que queramos simplemente usando un par de números.

El origen a continuación es donde se encuentran el eje xy el eje y. El punto A tiene coordenadas (2.3,3), ya que está 2.3 unidades hacia la derecha y 3 unidades hacia arriba desde el origen. El punto B tiene coordenadas (-3,1), ya que está 3 unidades hacia la izquierda y 1 unidad hacia arriba desde el origen. El punto C tiene coordenadas (-4, -2,5), ya que está 4 unidades a la izquierda y 2,5 unidades hacia abajo desde el origen. El punto D tiene coordenadas (9.2, -8.4) está 9 unidades a la derecha y 8.4 unidades hacia abajo desde el origen. El punto E tiene coordenadas (-7,6.6) está 7 unidades a la izquierda y 6.6 unidades hacia arriba desde el origen. El punto F tiene coordenadas (8, -5,7), está 8 unidades a la derecha y 5,7 unidades hacia abajo desde el origen.

Comparación de números positivos y negativos

Podemos comparar dos números diferentes mirando sus posiciones en la recta numérica. Para dos lugares diferentes en la recta numérica, el número de la derecha es mayor que el número de la izquierda. Tenga en cuenta que todo número positivo es mayor que cualquier número negativo.

9.1 & gt 4, 6 & gt -9.3, -2 & gt -8 y 0 & gt -5.5
-2 & lt -13, -1 & lt -0.5, -7 & lt -5, y -10 & lt 0.1

Recíprocos de números negativos

El recíproco de una fracción positiva o negativa se obtiene cambiando su numerador y denominador, el signo de la nueva fracción permanece igual. Para encontrar el recíproco de un número mixto, primero convierta el número mixto en una fracción impropia, luego cambie el numerador y el denominador de la fracción impropia. Observe que cuando multiplica fracciones negativas con sus recíprocos, el producto es siempre 1 ( NO -1).

¿Cuál es el recíproco de -2/7? Simplemente cambiamos el numerador y el denominador, y mantenemos el mismo signo: -7/2.

¿Cuál es el recíproco de - 5 1/8? Primero, convertimos a una fracción impropia negativa: -5 1/8 = - 41/8, luego cambiamos el numerador y el denominador, y mantenemos el mismo signo: - 8/41.


Beneficios de los enigmas para niños

Sabes que a tus alumnos les gustan, pero ¿sabías que hay muchas razones adicionales para hacer de los acertijos una actividad habitual en el aula?

Un estudio sobre la capacidad de atención de los niños de seis años descubrió que los niños a los que se les dio acertijos estaban más atentos que los que recibieron un plan de estudios escolar regular, lo que demuestra que los acertijos son eficaces para aumentar la capacidad de atención de los niños.

Los enigmas para niños también pueden:

  • Fortalecer las habilidades de resolución de problemas y pensamiento crítico.
  • Fomentar el pensamiento lateral y construir nuevas perspectivas.
  • Mejorar las habilidades cognitivas como la memoria y la velocidad de procesamiento.
  • Inspirar el trabajo en equipo y la comunicación.
  • Involucrar a los estudiantes y motivarlos a aprender
  • Proporcionar los descansos necesarios del trabajo de clase tradicional.

44.3: Ejemplos - Matemáticas

Rocky Mountain J. Math. 44 (3), 705-716, (2014) DOI: 10.1216 / RMJ-2014-44-3-705

PALABRAS CLAVE: Gráfico unitario, gráfico unitario, gráfico total, gráfico de anillo, plano exterior, 05C10, 13M05

En este artículo, investigamos cuando las gráficas unitarias, unitarias y totales son gráficas de anillo, y también estudiamos el caso de que sean planas externas.

Rocky Mountain J. Math. 44 (3), 717-731, (2014) DOI: 10.1216 / RMJ-2014-44-3-717

PALABRAS CLAVE: 13A05, 13A15, 13F99

Sea $ R $ un anillo conmutativo con identidad. Para $ a, b en R $, defina $ a $ y $ b $ como textit, denotado $ a sim b $, si $ a mid b $ y $ b mid a $, entonces $ a = rb $ y $ b = sa $ para algunos $ r, s en R $. Estamos interesados ​​en el caso en el que $ r $ y $ s $ pueden tomarse o deben tomarse como divisores o unidades distintos de cero. Estudiamos anillos, $ R $, llamados textit, que tienen la propiedad de que, siempre que $ a sim b $ para $ a, b en R $, existen divisores no cero $ r, s en R $ con $ a = rb $ y $ b = sa $ y suena $ R $, llamado textitsimplificables>, que tienen la propiedad de que, para $ a, b en R $ distintos de cero con $ a sim b $, siempre que $ a = rb $ y $ b = sa $, entonces $ r $ y $ s $ deben ser divisores no nulos.

Rocky Mountain J. Math. 44 (3), 733-742, (2014) DOI: 10.1216 / RMJ-2014-44-3-733

PALABRAS CLAVE: Fuerte preservación de conmutatividad, Anillo, álgebra de von Neumann, 16N60., 16U80

Suponga que $ R $ es un anillo unital que tiene un elemento idempotente $ e $ que satisface $ a < R> e = 0 $ implica $ a = 0 $ y $ a < R> (1-e) = 0 $ implica $ a = 0 $. En este artículo, nuestro objetivo es caracterizar el mapa $ f: < R> rightarrow < R> $, $ f $ es sobreyectiva y $ [f (x), f (y)] = [x, y] $ para todos $ x, y en < R> $. Se muestra que $ f (x) = alpha x + xi (x) $ para todos $ x in < R> $, donde $ alpha in < Z> (< R>) $, $ alpha ^ 2 = 1 $, y $ xi $ es un mapa de $ < R> $ en $ < Z> (< R>) $. Como aplicación, se obtiene una caracterización de mapas sobreyectivos no lineales que conservan una conmutatividad fuerte en álgebras de von Neumann sin sumandos centrales de tipo $ I_1 $.

Rocky Mountain J. Math. 44 (3), 743-752, (2014) DOI: 10.1216 / RMJ-2014-44-3-743

PALABRAS CLAVE: Anillo débilmente coherente, anillo coherente, imagen homomórfica, extensión de anillo trivial, Localización, producto directo, 13F05, 13B05, 13A15, 13D05, 13B25

En este artículo, definimos anillos débilmente coherentes y examinamos la transferencia de esta propiedad a imágenes homomórficas, extensiones de anillos triviales, localizaciones y productos directos finitos. Estos resultados proporcionan ejemplos de anillos débilmente coherentes que no son anillos coherentes. Mostramos que la clase de anillos débilmente coherentes no es estable bajo localización. Además, mostramos que la clase de anillos débilmente coherentes y la clase de anillos fuertemente coherentes $ 2 $ no son comparables.

Rocky Mountain J. Math. 44 (3), 753-777, (2014) DOI: 10.1216 / RMJ-2014-44-3-753

PALABRAS CLAVE: mapeos armónicos, univalentes, cercanos a convexos, en forma de estrella y convexos, estimaciones de coeficientes, funciones hipergeométricas gaussianas, producto de Hadamard (convolución), 30C45

En este artículo, obtenemos criterios de coeficientes para que una función armónica normalizada definida en el disco unitario sea cercana a la convexa y completamente similar a una estrella, respectivamente. Usando estas condiciones de coeficiente, presentamos diferentes clases de funciones armónicas cercanas a convexas (respectivamente, completamente en forma de estrella) que involucran funciones hipergeométricas gaussianas.Además, presentamos una caracterización de convolución para una clase de funciones armónicas univalentes discutidas recientemente por Mocanu, y luego por Bshouty y Lyzzaik en 2010. Nuestro enfoque proporciona ejemplos de polinomios armónicos que son casi convexos y estrellados, respectivamente.

Rocky Mountain J. Math. 44 (3), 779-790, (2014) DOI: 10.1216 / RMJ-2014-44-3-779

Sea $ Om_1, Om_2 $ regiones suavemente delimitadas y doblemente conectadas en el plano complejo. Establecemos una ley de transformación para el Szeg H kernel bajo mapeos holomórficos adecuados. Esto amplía los resultados conocidos relacionados con los mapeos biholomórficos entre regiones conectadas múltiples, así como los mapeos holomórficos adecuados de regiones conectadas múltiples a regiones simplemente conectadas.

Rocky Mountain J. Math. 44 (3), 791-807, (2014) DOI: 10.1216 / RMJ-2014-44-3-791

PALABRAS CLAVE: Squarefree, factorización, número de Bernoulli, 11A51

Derivamos expresiones para el número de factorización de enteros positivos en factores libres de cuadrados con orden sin contar y para el promedio asintótico de estas factorizaciones.

Rocky Mountain J. Math. 44 (3), 809-851, (2014) DOI: 10.1216 / RMJ-2014-44-3-809

PALABRAS CLAVE: 19K35, 20N02, 46L55

Definimos y proporcionamos un análisis básico de varios tipos de productos cruzados mediante conjuntos semimultiplicativos, y luego probamos un homomorfismo de descenso teórico $ KK $ para conjuntos semimultiplicativos de acuerdo con el homomorfismo de descenso para grupos discretos.

Rocky Mountain J. Math. 44 (3), 853-863, (2014) DOI: 10.1216 / RMJ-2014-44-3-853

Sea $ E / k $ una curva elíptica con CM por $ Oc $. Determinamos una fórmula para (una generalización de) la constante aritmética local de [< bf5>] en casi todos los números primos de buena reducción. Aplicamos esta fórmula a las curvas CM definidas sobre $ q $ y podemos describir extensiones $ F / q $ sobre las cuales crece el rango $ Oc $ de $ E $.

Rocky Mountain J. Math. 44 (3), 865-876, (2014) DOI: 10.1216 / RMJ-2014-44-3-865

Ofrecemos una clase concreta de anillos en los que existe un ideal primario con respecto al ideal máximo que tiene una sola valoración de Rees.

Rocky Mountain J. Math. 44 (3), 877-893, (2014) DOI: 10.1216 / RMJ-2014-44-3-877

Rocky Mountain J. Math. 44 (3), 895-912, (2014) DOI: 10.1216 / RMJ-2014-44-3-895

PALABRAS CLAVE: $ O ^ * $ - álgebra, $ EW ^ * $ - álgebra, $ GW ^ * $ - álgebra, $ W ^ * $ - producto tensorial, $ GW ^ * $ - producto tensorial, propiamente $ W ^ * $ -infinito $ GW ^ * $ - álgebra, 46M05, 47L60

El término $ GW ^ * $ - álgebra significa un $ W ^ * $ - álgebra generalizada y corresponde a una generalización ilimitada de un álgebra de von Neumann estándar. Fue introducido por el segundo autor nombrado en 1978 para desarrollar la teoría de Tomita-Takesaki en álgebras de operadores ilimitados. En esta nota consideramos los productos tensoriales de álgebras de operadores ilimitados que dan como resultado un álgebra $ GW ^ * $ -. Se encuentra la existencia y unicidad del producto tensorial $ GW ^ * $ -, mientras que se introducen álgebras $ GW ^ * $ - "correctamente $ W ^ * $ - infinitas" y se investiga su estructura.

Rocky Mountain J. Math. 44 (3), 913-936, (2014) DOI: 10.1216 / RMJ-2014-44-3-913

PALABRAS CLAVE: Sistemas de operador, conjetura QWEP, suma directa de $ C ^ * $ - álgebras, 46L07, 46L06

Este trabajo está motivado por el resultado de R udulescu

citar en la comparación de $ C ^ * $ - normas de tensor en $ C ^ * ( F_n) otimes C ^ * ( F_n) $.

Para $ C ^ * $ unitales - álgebras $ A $ y $ B $, hay inclusiones naturales de $ A $ y $ B $ en el producto unital libre $ A ast_1 B $, el producto tensorial máximo $ A otimes_ < max> B $ y el producto tensorial mínimo $ A otimes_ < min> B $. Estas inclusiones definen tres estructuras de sistema de operador en la suma interna $ A + B $. Utilizando en parte ideas de la teoría del entrelazamiento cuántico, probamos varias interrelaciones entre estos tres sistemas operadores. Como aplicación, los presentes resultados producen una mejora significativa con respecto al límite de R udulescu. Al mismo tiempo, esta estrecha comparación es tan general que no puede considerarse como evidencia para la conjetura de QWEP.

Rocky Mountain J. Math. 44 (3), 937-951, (2014) DOI: 10.1216 / RMJ-2014-44-3-937

PALABRAS CLAVE: Teorema del punto fijo, cono, problema de valor límite no lineal, solución positiva, 34B15, 34B18

Consideramos un problema de valor de frontera de cuarto orden de tres puntos de tipo focal. Se obtienen algunas estimaciones superiores e inferiores para las soluciones positivas del problema. Se establecen las condiciones suficientes para la existencia e inexistencia de soluciones positivas al problema. Se incluye un ejemplo para ilustrar los resultados.

Rocky Mountain J. Math. 44 (3), 953-974, (2014) DOI: 10.1216 / RMJ-2014-44-3-953

PALABRAS CLAVE: ecuación diferencial fraccionaria, conjuntos parcialmente ordenados, teorema de punto fijo, método de solución superior e inferior, solución positiva, 26A33, 34B18, 34B27

En este artículo, tratamos el siguiente problema de contorno integral de ecuaciones diferenciales fraccionarias no lineales con $ p $ -operador laplaciano begin empezar D_ <0 +> ^ < gamma> ( phi_p (D_ <0 +> ^ < alpha> u (t))) + f (t, u (t)) = 0, quad 0 lt t lt 1, u (0) = u '(0) = 0, quad u' (1) = int_0 ^ eta u (s) , ds, quad D_ <0 +> ^ < alpha > u (t) | _= 0, end final donde lt gamma lt 1 $, $ 2 lt alpha lt 3 $, $ D_ <0 +> ^ < alpha> $ es la derivada fraccionaria estándar de Riemann-Liouville, $ phi_p (s) = | s | ^s, p & gt1 $, $ ( phi_p) ^ <-1> = phi_q $, $ <1> /

+<1>/= 1 $. Mediante las propiedades de la función de Green, el método de solución superior e inferior y el teorema del punto fijo en conjuntos parcialmente ordenados, se establece alguna nueva existencia y unicidad de soluciones positivas al problema de valor límite anterior. Como aplicaciones, se presentan ejemplos para ilustrar los principales resultados.


Ver el vídeo: clase ejemplo PSU intervalo de confianza (Julio 2022).


Comentarios:

  1. Voodoolmaran

    SÚPER cuento de hadas!

  2. Gardazilkree

    Creo que están equivocados. soy capaz de demostrarlo. Escríbeme por MP, te habla.

  3. Briggere

    Especialmente registrado en el foro para contarle mucho para su consejo. ¿Como puedo agradecerte?

  4. Orvil

    está absolutamente de acuerdo con la comunicación anterior

  5. Mika'il

    f horno usted



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